8.6.3 平面与平面垂直 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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8.63 平面与平面垂直 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．已知a，b表示不同的直线，，，表示不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，a垂直于内两条直线，则
C．若，，，则
D．若，，，则
2．在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，空间四边形的各边都相等，分别是的中点，下列四个结论中不正确的是（ ）

A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
4．中和殿是故宫外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°.若取，则下列结论不正确的是（ ）
A．正四棱锥的底面边长为24m B．正四棱锥的高为
C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的侧面积为
5．如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，且，，M为BD的中点，则平面EFGH与平面ACM（ ）
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．可能不相交 D．交线与HE不垂直
6．已知矩形ABCD所在的平面（如图所示），图中互相垂直的平面有（ ）
A．1对 B．2对
C．3对 D．6对
二、多选题
7．在正方体中，下列结论正确的是（ ）．
A． B．平面
C．直线与所成的角为 D．二面角的大小为
8．在如图所示的三棱锥中，，面，，下列结论正确的为（ ）
A．直线与平面所成的角为
B．二面角的正切值为
C．到面的距离为
D．异面直线
三、填空题
9．在正三棱柱中，，则直线到平面的距离为
10．三棱锥中，，，，，则二面角的大小为 ．
11．四面体中，，底面为等腰直角三角形，，为中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面 ．（只填序号）
①平面②平面③平面④平面⑤平面
12．在三棱锥中，平面平面ABC，，为等边三角形，若，则三棱锥外接球的体积为 ．
四、解答题
13．如图，三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC．求证：平面PAB⊥平面PBC．
14．如图所示，在三棱柱中，点D是AB的中点．
(1)求证：平面．
(2)若平面ABC，，，，求二面角的平面角的余弦值．
15．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若是面积为的等边三角形，求四棱锥的体积.
参考答案
1．D
对A，，，，如图，
，
显然，不一垂直，故A错误；
对B，a垂直于内两条直线，若两条直线不相交，不能推出，
由面面垂直的判定定理，不能推出，故B错误；
对C，，，，则可能垂直、平行、相交不垂直，如图
满足条件，但，故C错误；
对D，，可推出，由，可推出，故D正确.
故选：D
2．C
取是中点，连接，，确定是二面角的平面角，计算得到答案.
如图所示：是中点，连接，，设正方体边长为，
，则；，则，
平面，平面，
故是二面角的平面角，故.
故选：C
3．C
A选项，连接，由于分别是的中点，
所以，由于平面，平面，
所以平面，所以A选项正确.

B选项，连接，
由于三角形和三角形是等边三角形，
是的中点，所以，
由于平面，所以平面，B选项正确.

C选项，几何体是正四面体，
设在底面上的射影为，连接，则平面，
且是等边三角形的中心，
连接，由于分别是的中点，
所以是等边三角形的中位线，所以，
所以平面与平面不垂直，C选项错误.

D选项，连接，
同理B选项的分析可得平面，
由于平面，所以平面平面，所以D选项正确.

故选：C
4．D
如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，
则为的中点，连接，，，
则平面，，
则为侧面与底面所成的锐二面角，
设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，
这个角接近，取，，
则．
在中，，解得，故底面边长为，
正四棱锥的高为，
侧面积为，
体积，
故ABC正确，D错误.
故选：D．
5．B
根据面面垂直的判定定理判断．
由与相交得两平面相交，
因为，，M为BD的中点，所以，
又，平面，所以平面，
分别是中点，则，所以平面，
平面，所以平面平面，
另外，图形中同理可得，，设，，
由，平面，平面，得平面，
又平面，而平面平面，则，
由平面，平面，得，而，
所以，选项D错误；
故选：B．
6．D
平面，则过的平面，平面，平面都与平面垂直，已有3对，
平面，平面，则，，，平面，因此平面，而平面，因此有平面平面，同理平面平面，
另外由于两两垂直，因此可证平面与平面垂直，
因此莁有6对垂直平面．
故选：D．
7．BCD
A.通过确定四边形是矩形，不是正方形来判断；B.通过来判断；C.通过为直线与所成的角来判断；D.通过为二面角的平面角来判断.
对于A：明显四边形是矩形，但不是正方形，故其对角线不垂直，即错误，A错误；
对于B：明显，且平面，平面，故平面，B正确；
对于C：因为，则即为直线与所成的角，
又为等边三角形，所以，即直线与所成的角为，C正确；
对于D：因为面，则为二面角的平面角，又，所以二面角的大小为，D正确；
故选：BCD.
8．AC
根据线面角的定义判断A，取取中点为，连接，即可得到为二面角的平面角，从而判断B，利用等体积法判断C，利用线面垂直的性质推出矛盾，即可判断D.
因为面，故为直线与平面所成的角，
又，所以，
故直线与平面所成的角是，故A正确；
取中点为，连接，
因为面，
面，所以、、，，
所以，，，
故为二面角的平面角，
则，故二面角的正切值为，故B错误；
因为，所以，设到面的距离为，
则，解得，故C正确；
若，又面，面，所以，
又，面，所以面，面，
所以，与矛盾，故D错误；
故选：AC.
9．
先作出直线上的点到平面的垂线段，然后利用勾股定理求出垂线段的长度即可.
在正三棱柱中，在底面内作，
因为平面底面，平面底面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
所以即为直线到平面的距离，
因为为等边三角形，且，
所以直线到平面的距离为.
故答案为：.
10．/
P在底面的射影是斜边的中点，设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，则∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．
解：因为AB＝10，BC＝8，CA＝6 所以底面为直角三角形，
又因为PA＝PB＝PC，
所以P在底面的射影为直角三角形ABC的外心，且为AB中点．
设AB中点为D过D作DEAC，垂足为E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，
因为平面，平面，所以,
又因为平面,
所以平面,又平面,
所以,
所以∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角．
因为PD为三角形PAB的中线，所以可算出PD＝4，
所以tan∠PED 所以∠PED＝60°，
即二面角P﹣AC﹣B的大小为60°.
故答案为：60°．
11．①②，①⑤，②⑤（选对一组即可）
根据题意可先证直线平面；平面，从而可得出结论.
因为，，为中点，所以，,所以平面；
又平面，平面，所以可知①⑤垂直，②⑤垂直；
又底面为等腰直角三角形，，
所以，所以，所以平面；
又平面，所以可知①②垂直；
故答案可以是①②，①⑤，②⑤（选对一组即可）
12．
设的中点为，连接,三棱锥外接球的球心在直线上，解方程即得解.
解：设的中点为，连接,
因为平面平面ABC，所以三棱锥外接球的球心在直线上，
设球的半径为,由题得, ,
所以,
在直角△中，.
所以三棱锥外接球的体积为.
故答案为：
13．证明见解析
要证平面PAB⊥平面PBC，只要证其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面即可，转化为线面垂直，根据所给条件即可得证.
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，
∴PA⊥平面ABC．
又BC 平面ABC，∴PA⊥BC．
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB 平面PAB，PA 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB．
又BC 平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC．
14．(1)证明见解析．
(2)．
（1）连接交于点，连接，由中位线定理得，从而可得线面平行；
（2）证明平面，得是二面角的平面角，然后在三角形中求得其余弦值．
（1）连接交于点，连接，如图，
则是中点，又是中点，所以，
平面，平面，所以平面；
（2）平面，平面，所以，
又，是中点，所以，
，平面，所以平面，
平面，所以，所以是二面角的平面角，
由，，，得，，，所以，
．
15．（I）详见解析；（II）.
（I）根据平面PAD⊥底面ABCD可得CD⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面PCD；
（II）设AD的中点为E，连接PE，BE，证明PE⊥平面ABCD，根据勾股定理计算AE，BE，从而可计算出棱锥的体积．
（Ⅰ）∵平面底面，平面底面，
∴平面
又∵平面
∴平面平面
（Ⅱ）如图，
设的中点为，连接，
∵
∴
∵平面底面，平面底面
∴底面
∵是面积为的等边三角形
∴
∵是的中点，，，
∴四边形为矩形，
∴，故
∴是等腰直角三角形，故
∴在直角三角形中有
∴
∴直角梯形的面积为
∴
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