8.1 基本立体图形 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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8.1 基本立体图形 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．下列命题中为真命题的是（ ）
A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B．棱柱的每个面都是平行四边形
C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D．正四棱柱是平行六面体
2．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
3．一个长方形的两边长分别为和，将其绕一边进行旋转，能得到不同的圆柱的种数为（ ）
A． B． C． D．
4．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A． B． C． D．
5．如图在一根长11，外圆周长6的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（ ）

A．61 B． C． D．
6．当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度、音速满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
8．如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，在三棱柱中，三条棱、、两两垂直，且，分别经过三条棱、、作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为、、，则、、的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是 ．
12．如图，正方体被平面和平面分别截去三棱锥和三棱锥后，得到一个n面体，则n的值为 ；棱数为 .
13．如图，已知圆柱的高为h，底面半径为，轴截面为矩形，在母线上有一点，且，在母线上取一点，使，则圆柱侧面上P、Q两点的最短距离为 ．

14．如图，在正方中，分别是的中点，存在过点的平面与平面平行，平面截该正方体得到的截面面积为

15．连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α（0°<α<360°），使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，则这个八面体的旋转轴共有 条．
16．已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是 ．
三、解答题
17．如图，在三棱柱中，分别是，的中点，连接，试判断几何体是什么几何体，并指出它的底面与侧面.
18．单位正方体中，和上各有一点E，F，且，过A，E，F作正方体的截面，是否可能是正三角形？正方形？
参考答案
1．D
对于A，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故A错误；
对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误；
对于C，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故C错误；
对于D，正四棱柱是平行六面体，故D正确.
故选：D.
2．B
三棱台中，沿平面截去三棱锥，
剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．
故选：B
3．B
将长方形分别绕着长或宽进行旋转，可得两种不同的圆柱.
故选：B.
4．B
根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B正确．
如图所示：
因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，
即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是．
故选：B．
5．A
圆柱形柱体的高为11，外圆周长6，
又铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，
则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：
其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长6，高为圆柱的高11，
则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．
此时铁丝的长度最小值为：．
故选：A．

6．B
如图所示：

该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆圆心为，为马赫锥的母线，
由题意，
而是锐角，所以，
又，所以，
该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为.
故选：B.
7．C
A选项，，所以几何体不是三棱台，A选项错误.
B选项，，所以几何体不是三棱台，B选项错误.
C选项，，所以几何体是三棱台，C选项正确.
D选项，该几何体可能是三棱柱，D选项错误.
故选：C
8．B
设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得.

设的中点为，连接（不与点重合），，，，
所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图，
在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，
在中利用余弦定理可得，

所以的周长的最小值为．
故选：B．
9．A
解：依题意可得圆柱的底面半径，高
将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，，
问题转化为在上找一点，使最短，
作关于的对称点，连接，令与交于点，
则得的最小值就是为．
故选：A
10．A
由于、、两两垂直，如图可还原成长方体，连接，与交于点，
则平面将三棱锥体积平分，那么点到平面的距离，
有，则，同理即可得到、，比较即可得解.
如图还原成长方体，连接，与交于点，
则平面将三棱锥体积平分，点到平面的距离，
有，则，
同理，，
而，，，
∴，因此，
故选：A.
11．（，+∞）
由正三棱锥可得四边形EFGH为矩形，并可得其边长与三棱锥棱长关系，从而可得面积S的范围.
∵棱锥P﹣ABC为底面边长为1的正三棱锥
∴AB⊥PC
又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，
∴EH//FG//AB 且EH＝FGAB，
EF//HG //PC且EF＝HGPC
则四边形EFGH为一个矩形
又∵PC，∴EF，
∴S= EF EH，
∴四边形EFGH的面积S的取值范围是（，+∞），
故答案为:（，+∞）
12． 7 11
正方体被平面和平面分别截去三棱锥和三棱锥后,可得如图几何体，则几何体为七面体，棱数为11条.
故答案为：7；11.
13．
如图，把圆柱的半个侧面展开，是一个下长为，宽为的矩形，
，，过作，为垂足，所以，
即可把放在一个直角边为和的直角三角形中，
根据勾股定理可得：.
故答案为：.
14．
分别取的中点，连接，
可证平面平面，则存在过点的平面与平面平行，
正六边形是平面截该正方体得到的截面，
截面的面积是，
故选：C.

15．13
由题设，八面体所有棱长都相等，
所有以为轴旋转可以与自身重合，共3条；
过正方形对边中点的直线为旋转轴，旋转可以与自身重合，共有6条轴；
过八面体相对面中心为旋转轴，旋转可以与自身重合，共有4条轴.
故答案为：13
16．/
先计算出圆锥的高，然后分析轴截面三角形顶角的大小，结合三角形面积公式求解出截面面积的最大值.
圆锥的高为，
因为，且为锐角，
所以，所以，
不妨设任意两条母线的夹角为，
则截面面积，
当且仅当时取等号，此时两条母线的夹角为，
所以，
故答案为：.
17．几何体是三棱台.面是下底面，面是上底面，面，面和面是侧面
分别是的中点，且，，，
.
，且延长后交于一点.
又面与面平行，
∴几何体是三棱台.
其中面是下底面，面是上底面，面，面和面是侧面.
18．答案见解析
如图，设截面和或其延长线交于G．

当时，∵，，∴，此时截面为菱形，但它不会是正方形．
事实上，作，与交于M（或其延长线），连接AG，EF，BD，AC，
由知，，而，，
由此可见菱形AEGF的对角线不相等，∴此菱形不可能是正方形．
当，时，此时截面为五边形，但不可能是正五边形（见前例）（如图）．

当时，截面是正．
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