8.2 立体图形的直观图 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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8.2 立体图形的直观图 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有（ ）
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③菱形的直观图是菱形；④正方形的直观图是正方形.
A．① B．①② C．③④ D．①②③④
2．若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．下图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作，垂足为点，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
4．已知△ABC是边长为a的正三角形，那么△ABC平面直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（ ）
A．45° B．135°
C．90° D．45°或135°
6．已知水平放置的按"斜二测画法"得到如图所示的直观图，其中，,那么是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
7．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
8．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为，，，四棱锥的高为.如果按的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
9．下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形，在斜二测画法下，其直观图不是全等三角形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，与轴交于点，其中，，则原图形是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
二、填空题
11．用斜二测画法画出的水平放置的一角为60°，边长是4的菱形的直观图的面积是 .
12．如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是 .（填序号）①；②；③；④.
13．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 .
14．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，如图，其中有一边长为4，则此正方形的面积是 .
三、解答题
15．如图所示，梯形中，，试画出它的直观图.
16．如图，四边形是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.
17．用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形的直观图.
参考答案
1．B
由斜二测画法规则知：三角形的直观图仍然是三角形，所以①正确；
根据平行性不变知，平行四边形的直观图还是平行四边形，所以②正确；
根据两轴的夹角为45°或135°知，菱形的直观图不再是菱形，所以③错误；
根据平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度减半知，正方形的直观图不再是正方形，所以④错误.
故选：B.
2．A
解：由斜二测画法知：平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变，
平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变，
故选：A
3．A
利用面积公式求出原的高，进而求出，然后在直角三角形中求解即可
由题可知，在中，，
因为的面积为16，，
所以，，，
因为， 轴于点，
所以，
故选：A.
4．A
正三角形的高为,在直观图中的长度为,
故△A′B′C′的高,故其面积,故应选A.
5．D
根据直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°即可得答案
因∠A的两边分别平行于x轴、y轴，
故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，
即∠A′＝45°或135°.
故选：D.
6．A
根据斜二测画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状，可得结论．
解：根据斜二测画法还原在直角坐标系的图形，如图
则，，
所以是一个等边三角形
故选：A.
7．B
根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，由梯形面积公式求解.
解：如图，恢复后的原图形为一直角梯形，
所以.
故选：B.
8．C
由比例尺可知，长方体的长宽、高和棱锥的高分别为，，和，再结合直观图，知在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为，，，.
故选：C.
9．C
【解析】根据平面图形直观图的斜二测画法规则判断，首先判断与坐标平行的线段长度的变化．如三角形的底和高．
C中，前者在斜二测画法下所得的直观图中，底边不变，高变为原来的，后者在斜二测画法下所得的直观图中，高不变，底边变为原来的，故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等.
故选：C.
10．C
在直观图中，，所以，易知，原图形中，，，，，所以，从而原图形的四边相等，但与不垂直，所以原图形为菱形.
故选：C.
11．
菱形的面积为 其直观图的面积
故答案为：
12．③
还原，可知且，进而通过图形可判断出结果.
由直观图画出如图所示
其中，①错误；，②错误；
，③正确，④错误
故答案为：③
13．4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.
由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高，应分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合直观图，与x,z轴平行的直线长度不变，与y轴平行的直线长度为原图的，则图形的尺寸应为4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.
14．16或64
分O'A'=4和O'C'=4两种情况可得结果.
若O'A'=4，则正方形边长为4，其面积为16；若O'C'=4，则正方形边长为8，面积为64.
故答案为：16或64.
15．见解析
第一步：如图①所示，在梯形中，以边所在直线为轴，点为原点，建立平面直角坐标系；如图②所示，画出对应的轴、轴，使
第二步：在图①中，过点作轴，垂足为点；在图②中，在轴上取，
过点作轴，使
再过点作轴，且使
第三步：连接，并擦去轴与轴多余的部分及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形就是所求作的直观图.
16．图像见解析，
画出平面直角坐标系，使点与原点重合，在轴上取点，使，再在轴上取点，使，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，则四边形为正方形的原图形，如图所示.
易知四边形为平行四边形.
∵，，
∴，即原图形的面积为.
17．见解析
根据斜二测画法的规则作衅．
（1）过点作轴，垂足为，如图①所示.
（2）画出相应的轴、轴，使，如图②所示，在轴上取点，，使得，；在轴上取点，使得；过点作轴，使.
（3）连接，，并擦去轴、轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形就是所求的直观图.
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