8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（　　）
A．12 B． C． D．
2．某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
3．四棱台的两底面分别是边长为和的正方形，各侧棱长都相等，高为，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ）

A． B．
C． D．
5．已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，斜高为1，则该正三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正四棱锥的底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，在多面体中，四边形为矩形，，，，，到平面的距离为3，则多面体的体积为（ ）

A．18 B．15 C．12 D．9
8．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则 .
10．如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为 ．

11．棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，构成的几何体的表面积为 ．

12．已知侧棱长为5，高为4的正四棱锥被平行于底面的平面所截，截去一个高为2的正四棱锥，所得的棱台的体积为 ．
13．在棱长为的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为
14．“升”是我国古代测量粮食的一种容器，在“升”装满后用手指成筷子沿升口刮平，这叫“平升”，如图所示的“升”，从内部测量，其上、下底面均为正方形，边长分别为和，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，那么这个“升”的“平升”可以装 mL的粮食．（结果保留整数）
三、解答题
15．正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1，求：
(1)求棱锥的侧棱长和斜高；
(2)求棱锥的表面积.
16．已知长方体中，，求：

(1)长方体表面积；
(2)三棱锥的体积．
17．已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.
(1)求它的表面积；
(2)求它的体积.
18．如图（1），埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．已知该金字塔高约146.5m，底面边长约232m，求这座金字塔的侧面积和体积（分别精确到和）．

19．如图，某几何体的下部分是长 宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：

(1)该几何体的体积；
(2)若要将几何体下部分表面刷上涂料（除底面），求需要刷涂料的表面积.
参考答案
1．C
利用三角形面积公式及四面体表面积的意义计算即得.
棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，
其表面积为：.
故选：C
2．D
当该几何体为正四面体时，其表面积为．
当该几何体为正四棱锥时，其表面积为．
当该几何体为正三棱柱时，其表面积为．
当该几何体为正方体时，其表面积为．
故选：D．
3．C
解：由题意可知，该四棱台为正四棱台，如图：过顶点作底面于,由正四棱台的特征可知，在底面对角线上，根据四边形为等腰梯形，所以，
过 作，连接,则，
由于底面，底面，所以,又，平面,
所以平面, 平面, 故 ,因此是侧面梯形的高，
设侧面梯形的高为，所以 ，

，消去得，
∴，可得，
∴.
故选：C.
4．A
正六棱柱的六个侧面面积之和为，
正六棱柱的底面面积为，
如图所示，正六棱台中，，
过点分别作垂直于底面于点，
连接相交于点，则分别为的中点，
过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高，
其中，，，
由勾股定理得，故，

所以正六棱台的斜高为，
故正六棱台的侧面积为，
又正六棱台的下底面面积为，
所以该花灯的表面积为．
故选：A．
5．D
利用已知条件算出上下底面的面积和棱台的高，再由体积公式计算.
由正三棱台的结构特征知，其上、下底面分别是边长为4和6的等边三角形，如图所示，
为两底面的中心，则为的中点，过作下底面垂线，垂足为，

，，，
棱台的高，
该正三棱台的上底面的面积为，下底面的面积为，
所以正三棱台的体积．
故选：D
6．C
由题意首先求出正四棱锥的高，再求出底面对角线长度的一半，最后由勾股定理即可得解.
设四棱锥的高为，根据已知条件可得，所以，
而，所以这个四棱锥的侧棱长为．
故选：C．
7．B
将多面体补形为三棱柱，过点F作平面平面与直线AB，DC分别交于点P，Q，且满足，利用，进行计算即可.
如图，可将多面体补形为三棱柱，
过点F作平面平面与直线AB，DC分别交于点P，Q，
且满足，由题知，
易知平面FPQ，∴，
连接EB，EC，则，∴．

故选：
8．A
如图所示：
过点作与点，不妨设上下底面圆圆心分别为，半径分别为，圆台的高，
由题意母线长为，其母线与底面所成的角为，即，
从而，，
又圆台的上、下底面半径之比为，即，
所以，圆台上下两个底面的面积分别为，
由圆台体积公式可知.
故选：A.
9．2
根据三棱柱侧面积公式即可求解.
因为正三棱柱的所有棱长均为，所以三棱柱的侧面是边长为的正方形，
所以侧面积，所以.
故答案为：2
10．
首先根据正棱台的侧面积得到斜高为1，再计算正棱台的高即可.
如图所示：

设正四棱台的侧高为，高为，
棱台的侧面积，所以.
所以.
故答案为：
11．
在原正方体纸盒上，分别将四点两两相连，如图所示，
因为为正方体的面对角线，
所以，
所以为正四面体，
所以表面积为：，
故答案为：．

12．21
如图正四棱锥，其中底面于，
侧棱，高，所以，
所以下底面边长，
因为平面平行于底面，且，,
所以在与相似，且，
所以，
则正方形面积，正方形面积，
所得的棱台体积为.
故答案为：21
13．/0.125
根据锥体体积公式即可求解.
由于平面，
所以,
故答案为：

14．1167
根据题意画出正四棱台的直观图，其中底面是边长为20cm的正方形，底面是边长为10cm的正方形，侧面等腰梯形的高cm，记底面ABCD和底面的中心分别为与，则是正四棱台的高，

过作平面的垂线，垂足为，则，且,,
则,,
则,
侧面是等腰梯形，
,则,
则棱台的高,
则由棱台的体积公式得mL,
故答案为：1167.
15．(1)侧棱长为3，斜高为
(2)
（1）设SO为正四棱锥S﹣ABCD的高，则SO＝1，作OM⊥BC，则M为BC 中点，连接OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM，由此能求出棱锥的侧棱长和斜高.
（2）棱锥的表面积，由此能求出结果.
（1）设SO为正四棱锥S﹣ABCD的高，则SO＝1，
作OM⊥BC于M，则M为BC 中点，
连接OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM，
BC＝4，BM＝2，则OM＝2，OB＝，
在Rt△SOB中，，
在Rt△SOM中，，
∴棱锥的侧棱长为3，斜高为.
（2）棱锥的表面积：
.
16．(1)10；
(2).
（1）利用长方体的表面积公式计算即得.
（2）利用锥体体积公式计算即得.
（1）长方体中，，，
因此长方体的侧面积，
所以长方体的表面积.
（2）的面积，
显然三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积.

17．(1)36
(2)12
（1）画出图形，设对应的边长，再根据侧面积是底面积的2倍列出对应的方程求解棱长，再计算表面积即可；
（2）利用锥体体积公式求解.
（1）如图，设，是斜高，
，，.
在中，，，，
.，，.
（2）正四棱锥的体积.
18．侧面积约为，体积约为
根据棱锥的侧面积公式和体积公式结合已知条件求解即可
根据题意可抽象出图（2），其中AC为高，则，，底面周长．
．
．
因此，这座金字塔的侧面积约为，体积约为．
19．(1)256
(2)96
（1）求出长方体的体积和四棱锥体积，相加后得到答案；
（2）求出几何体下部分侧面积，得到答案.
（1）长方体的体积为，四棱锥的体积为，
故该几何体的体积为；
（2）长方体侧面面积为，
故要将几何体下部分表面刷上涂料（除底面），需要刷涂料的表面积为96.
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