8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．若正四棱柱与以正方形的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的高为，体积为，若圆锥的顶点与底面圆周上的所有点均在球上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高为的圆柱，上、下两端均是半径为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．已知三棱锥中，，，两两互相垂直，且，，，若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）

A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为
10．已知圆锥的底面圆的半径与球的半径相等，且圆锥，与球的表面积相等，则（ ）
A．圆锥的母线与底面所成角的余弦值为
B．圆锥的高与母线长之比为
C．圆锥的侧面积与底面积之比为3
D．球的体积与圆锥的体积之比为
三、填空题
11．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的侧面积为,则该几何体的体积为 .
12．某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱底面的半径为 ．
13．如图，高与底面直径相等的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆锥与圆柱的体积之比为 ．
14．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
15．如图，，，，，在三角形挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N）.则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为 .
四、解答题
16．如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径， 下底面半径，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点，求：

(1)求圆台的侧面积和体积；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
17．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．

(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
18．在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一圈．

(1)说明所得几何体的结构特征；
(2)求所得几何体的表面积和体积．
19．如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．

(1)以r为变量，表示圆柱的表面积和体积；
(2)当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？
20．如图，A、B、C是球面上三点，已知弦，，，平面ABC与球心的距离恰好为球半径的一半，求球的表面积.

参考答案
1．D
设该圆锥的底面半径为，母线为，则，，
解得，
则圆锥的高为，
因此该圆锥的体积，
故选：D
2．B
求得圆锥的母线长和底面半径，从而求得圆锥的侧面积.
由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2，
所以圆锥的母线长，底面圆半径，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B
3．D
所以，解得，
所以．
所以该圆台的体积．
故选：D．
4．B
依题意，设正四棱柱的底面边长为，高为，
圆柱的高为，则圆柱的底面半径为，
则有，整理得，
正四棱柱与圆柱的侧面积之比.
故选：B．
5．C
设圆锥的底面圆半径为，球的半径为，则，解得：；
当球心位于圆锥内部时，过圆锥顶点，底面圆圆心和球心作出轴截面如下图所示，
，即，解得：，
球的体积；
当球心位于圆锥外部时，过圆锥顶点，底面圆圆心和球心作出轴截面如下图所示，
，即，解得：，舍去；
综上所述：球的体积为.
故选：C.
6．C
设实心球的半径为 ，根据球的体积公式及圆柱的体积公式计算可得.
设实心球的半径为 ，实心金属几何体的体积.
因为 ，所以，所以该球的直径为.
故选：C
7．C
根据圆柱的表面积公式和球的表面积公式求解．
设球半径为，则圆柱底面半径为，高为，
所以圆柱的表面积与球的表面积之比为，
故选：C．
8．C
根据题意，将三棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再由球的体积公式，即可得到结果.
因为三棱锥中，，，两两互相垂直，
可以将三棱锥补形为长方体，且长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
又，，，
则球的直径，即，
所以外接球的体积为.
故选：C
9．BCD
由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项.

如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；
圆台的侧面积为，故C正确；
圆台的体积为，D正确.
故选：BCD
10．ACD
设出圆锥的底面圆半径、母线长及高，利用圆锥与球的表面积求母线与半径的关系，再逐项计算判断即得.
设圆锥的底面圆的半径为，高为，母线长为，
由圆锥与球的表面积相等，得，解得，
因此圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，A正确；
，因此圆锥的高与母线长之比为，B错误；
圆锥的侧面积与底面积之比，C正确；
球的体积与圆锥的体积之比为，D正确.
故选：ACD
11．
将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周所得几何体为圆柱,
设正方形的边长为,则圆柱的半径和高均为,
所以圆柱的侧面积为,
则圆柱的体积为.
故答案为:.
12．1
因为圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，所以正方形的变长为，
设底面圆的半径为，则底面圆的周长，得.

故答案为:1.
13．
设圆锥的底面半径为，则高为，确定，，得到半径关系，计算体积即可.
设圆锥的底面半径为，则高为，设圆柱的底面半径为，高为，
则，故，
圆柱的侧面积为，
当时侧面积最大，此时体积之比为：.
故答案为：
14．
根据直角三角形的性质，结合球的表面积公式进行求解即可.
取的中点，因为，
所以，
所以三棱锥外接球的球心为，半径为．
故三棱锥外接球的表面积为．

故答案为：
15．/
根据圆锥和球体的体积公式求解.
如图，由题可知，,设半圆的半径为，
因为,所以，所以，
又因为，所以，所以，
所得几何体是一个圆锥减去一个球，
圆锥是以底面半径为，高为，
所以所求体积为.
故答案为：.
16．(1)，
(2)4 cm
（1）由题可知上底面半径为，下底面半径为，母线长，
，
设圆台的高为h，则，
.
（2）如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，

设，，则，，解得，，
∴，，
∴，即绳子最短长度为50cm，
作于点Q，交弧于点P，则PQ为所求的最短距离，
∵，∴，故(cm)，
即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
17．(1)
(2)元
（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，解得，
则，
所以“笼具”的体积．
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
所以“笼具”的表面积为，
所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元．
18．(1)该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体
(2)表面积；体积为
（1）该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体．
（2）由图中的数据可知圆锥的底面半径为2，母线长为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为2，球的半径为2，
所以
，
该几何体的体积为：
．
19．(1)
，.
(2)当时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是.
（1）解：记圆柱底面的一条直径为，取中点，连接.
高为，则，所以，
所以，圆柱的底面积为，侧面积为，
圆柱的表面积为，圆柱的体积为.

（2）由（1）知，圆柱的侧面积为，

则，
当且仅当时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大，最大值为．
20．
由题意确定是直角三角形，从而得到外接圆的半径，结合勾股定理确定球的半径，即可求出球的表面积.
因为，，，可知，
故外接圆的直径为，故外接圆的半径，
设球的半径为R，截面和球心的距离等于球半径的一半，
则，解得.
所以球的表面积为.
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