8.4.2.1 空间中直线与直线的位置关系 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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8.4.2.1 空间中直线与直线的位置关系 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．在棱长为1的正四面体中，直线与是（ ）．
A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系
2．设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段AB与CD所在直线的位置关系为（ ）

A．相交 B．平行 C．异面 D．无法判断
4．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（ ）
A．点 A B．点 C．点Q D．点
6．已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（ ）
A． B． C． D．
8．下面是长方体的几条棱，其中符合条件“与直线既不相交也不平行”的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是 .
10．在正方体中，异面直线与所成的角的大小为 ．
11．如图为正六棱柱，与直线异面的侧棱共有 条．

四、解答题
12．已知直线上有两点，直线上有一点，若同垂直于，求证：直线与必为异面直线．
13．如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．

(1)求证：E、F、C、四点共面：
(2)求异面直线与BC所成角的余弦值．
14．如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.
(1)若，判断四边形的形状：
(2)证明：和是异面直线.
15．如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.

(1)求证：点在直线上；
(2)求证：与是异面直线.
16．如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：.
17．如图，已知正方体中，分别是和的中点．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1．C
作出正四面体，如图，

因为平面，平面，，平面，
所以与是异面直线.
故选：C.
2．B
当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点.
故选：B.
3．C
由题意，将正方体展开图还原为正方体，如图所示：
在正方体中找到对应的AB、CD两条直线，由图可知，AB与CD异面．
故选：C．

4．B
连接，如下图所示：

根据正方体性质可知，所以直线与所成的角即为直线与所成的角；
设正方体棱长为2，易知，，，
在中，满足，即，
因此，所以.
故选：B
5．B
对于A，连接，因为平面，
平面，且，所以直线与是异面直线，
所以点与点可视，故A错误；
对于B，如图，连接，得平面，
且与相交，连接，因为，，
所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视，
故B正确；
对于C，如图，连接，，因为平面，
平面，且，所以直线与是异面直线，
所以点与点可视，故C错误；
对于D，如图，连接，，
因为平面，平面，且，
所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误.
故选：B.
6．C
对于A，当点位于位置时，证明与直线相交，A错误；
对于D，当点位于位置时，证明与直线相交，D错误；
对于B，当点位于的中点时，如图，
因为四边形为平行四边形，
所以也为的中点，
因为，所以四点共面，
所以与共面，B错误；
对于C，直线平面，直线平面，
点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，C正确；
故选：C.
7．AC
显然，，BD错误；
与与直线BM既不平行，也不相交，是异面直线，AC正确.
故选：AC
8．ACD
如图所示，
由题意知与直线既不相交也不平行，
则直线，直线，直线均与直线异面，
而直线与直线平行，所以B不正确， A、C、D正确，
故选：ACD.
9．相交或异面
因为是两条异面直线，直线，
所以过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交；
另外，c与b不可能平行，理由如下：
若，则由可得到，这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面；
综上，c与b的位置关系是相交或异面.
故答案为：相交或异面．
10．
在正方体中，
可将直线平移到直线,
故异面直线与所成的角即与所成的角.
且四边形为正方形，
所以.
故异面直线与所成的角为：
故答案为：
11．4
根据正六棱柱的性质结合图象可得，
侧棱中，没有与平行的直线；
与相交的有，共2条.
又正六棱柱的侧棱，共有6条，
所以，与直线异面的侧棱共有条.
故答案为：4.
12．证明见解析
证明：如图，假设为共面直线，设共面于平面．
∵，∴．
又，在同一平面内，过直线上一点作此直线的垂线不可有两条，矛盾，
∴必为异面直线．
13．(1)证明见解析
(2)
（1）连接.
在中，点E，F分别为棱，AB的中点，
则，
在正方体中，，
，且，
四边形是平行四边形，
，则，
故、、、四点共面.

（2）由（1）知，，
则即为所求异面直线与BC所成的角，
设正方体的棱长为，
在中，，
则，
所以.
故所求异面直线与BC所成角的余弦值为．
14．(1)菱形；
(2)证明见解析
（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，
所以线段是的中位线，所以且，
同理可得且，
即，，所以四边形为平行四边形，
又同理可得且，且，所以，
故平行四边形为菱形；
（2）假设和不是异面直线，则与平行或相交，
即与确定一个平面，则，，，，
这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线.
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）平面平面，
由于平面，平面，
所以，也即点在直线上.
（2）假设与不是异面直线.
则与是共面直线，又在直线外，
则过与直线有唯一平面，所以可得平面，
这与在平面外矛盾，故与是异面直线.
16．证明见解析
取BC中点为G，连接DG，AG．
因分别为中点，则．
则四边形是平行四边形，故．
因为，则，所以.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：如图，正方体中，
取的中点，连接、．∵是的中点，
∴，．∵是的中点，且，，
∴，，∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，∵正方体，又为的中点，
∴，∴．
（2）设到平面（即平面）的距离为，直线与平面所成角为，
设正方体棱长为2，则，
由（1）知：，由正方体的性质知平面，
因为平面，所以，平面，，
所以平面，因为，所以平面，
∴即，
∴，
∴．

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