8.4.2.2 空间中直线与平面的位置关系 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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8.4.2.2 空间中直线与平面的位置关系 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．若直线在平面外，则（ ）
A． B．与至多有一个公共点
C． D．与至少有一个公共点
2．已知直线，，平面，则“，”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要
3．直线a，b是异面直线，是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（ ）
A．过A有且只有一个平面平行于a，b B．过至少有一个平面平行于a，b
C．过有无数个平面平行于a，b D．过且平行于a，b的平面可能不存在
4．已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（ ）
A． B． C． D．或
5．下列说法中，正确的有（ ）
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．已知直线平面，直线平面，则直线的位置关系可能是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．以上都不对
8．直线上两点到平面的距离相等且均为5，直线与平面的关系可能为（ ）
A．平行 B．直线在平面内 C．相交 D．以上三种情况都可能
三、填空题
9．“直线平面”是“直线平行于内无数条直线”的 条件.
10．若直线不平行平面，则以下命题成立的是 .
①内的所有直线都与异面；
②内不存在与平行的直线；
③内直线都与相交；
④直线与平面有公共点.
11．若直线平面，直线平面，且，，则，的位置关系是 ，若已知与相交，则，的位置关系是 .
四、解答题
12．如图，已知a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a；求证：PQ α.
13．如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点.
（1）判断直线与平面的位置关系.
（2）判断直线与直线的位置关系.
（3）若，，求与所成的角.
14．如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点．
(1)判断直线与平面的位置关系．
(2)判断直线与直线的位置关系．
15．如图，m，n是平面内的两条相交直线.如果，，求证：.

16．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线和所成角的余弦值.
17．判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l垂直的直线；
(2)若直线平面M，则M内不存在与l不垂直的直线；
(3)若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l平行的直线；
(4)若直线平面M，则M内不存在与l不平行的直线．
参考答案
1．B
根据直线与平面的位置关系判断即可.
因为直线在平面外，所以或与相交，
当时与没有公共点，当与相交时与有且仅有一个公共点，
所以与至多有一个公共点.
故选：B
2．D
结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义判断即可.
若直线，直线且，则直线，可以相交，故不是充分条件；
若直线，且，都与平面相交，则也不是必要条件.
故选：D
3．D
根据异面直线的位置关系，结合已知找到一个反例：共面，即可判断各项正误.
如：且异面，均在面内时，如下图示，

此时，将平移至与相交，则与所在平面即为，

若要过点作与平行的平面，则过点可以作另一个平面与平行，而，
显然有矛盾，故上述情况不可能有过点A的平面同时平行于a，b，故A、B、C错，D对；
故选：D
4．D
确定直线和平面至少有一个交点，得到答案.
直线，又平面，故直线和平面至少有一个交点，故或.
故选：D
5．B
运用直线与平面位置关系辨析即可.
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错误；
如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；
对于③显然有无数条所以③正确；
而④，也有可能相交，所以④错误.
故选：B
6．D
结合线线平行与面面平行的关系，根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
不能推出，如图1；
也不能推出，如图2.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
7．ABC
在正方体中考虑题设中的线面关系后可得两条直线的可能的位置关系.
如图，在正方体，
平面，平面，平面，
但，故A、C可能.
取分别为的中点，则，
而平面，平面，因此平面，
但为异面直线，故B可能，
故选：ABC．
8．AC
根据给定条件，按点在平面的同侧、异侧判断作答.
直线上两点到平面的距离相等且均为5，显然，BD错误；
当点在平面的同侧时，，A正确；
当点在平面的异侧时，直线与平面相交，C正确.
故选：AC
9．充分非必要
由线面平行的性质及充分条件必要条件的定义即可得到结论.
若“直线平面”可知直线不在平面内且直线平面内的无数条直线，故充分性成立；
若“直线平行于内无数条直线”，则直线可能在内，此时不能得到“直线平面”，故不满足必要性.
故答案为：充分非必要.
10．④
由题意得到直线在平面内或直线与平面相交，判断出①②③错误，④正确.
因为直线不平行平面，所以直线与平面的位置关系是：直线在平面内或直线与平面相交，则内的不是所有直线都与异面
若直线在平面内，存在与平行的直线，①②③错误，④正确.
故答案为：④
11． 平行或异面 平行
根据空间中线面、线线的位置关系判断即可.
直线平面，直线平面，且，，
则，的位置关系是平行或异面，
若与相交，设，因为直线平面，，所以，
又直线平面，，所以，
所以，即直线与直线的位置关系平行.
故答案为：平行或异面；平行.
12．证明见解析
由已知，根据PQ∥a，可确定PQ和a属于平面β，再根据a β，点P∈β且P∈b，b α，得到P∈α，从而得到α与β重合，即可证明PQ α.
证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，
所以直线a β，点P∈β，
因为P∈b，b α，所以P∈α，
又因为a α，P a，所以α与β重合，
所以PQ α.
得证.
13．（1）相交；（2）异面；（3）45°.
（1）由线面关系的定义可得答案；
（2）根据异面直线的判定定理可得结论；
（3）取的中点，连接，，根据异面直线所成的角的定义可得相交直线与所成的角，即为异面直线与所成的角，再由三角形的知识可得答案.
解：（1）因为面，所以面，又面，所以直线与平面的位置关系是相交；
（2）由（1）得直线与平面的位置关系是相交，又，所以直线与直线的位置关系是异面；
（3）取的中点，连接，，则，，
所以相交直线与所成的角，即为异面直线与所成的角.
又因为，则.
在中，由，所以，即异面直线与所成的角为45°.
14．(1)相交；
(2)异面；
（1）由线面关系的定义可得答案；
（2）根据异面直线的判定定理可得结论.
（1）因为面，所以面，又面，
所以直线与平面的位置关系是相交；
（2）由（1）得直线与平面的位置关系是相交，面，
又面，，面，
所以直线与直线的位置关系是异面；
15．证明见解析
要证明，就是要证明l垂直于内的任意一条直线g（直线与平面垂直的定义）.如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题.
在平面内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量，，，.
因为直线m与n相交，所以向量，不平行.
由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使.
将上式两边分别与向量作数量积运算，
得.
因为，，
所以.
所以.
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线，
所以.
16．（1）证明见解析；（2）
（1）连接，则，又，可得，即可证明直线平面；
（2）取棱的中点，连接，，，易知，，则异面直线与所成的角即为，利用余弦定理求出即可.
（1）连接，则，又，
∴，又平面，平面，
故直线平面；
（2）取棱的中点，连接，，，
易知，，
故异面直线与所成的角即为，
由题知，，，
∴.
17．(1)假命题
(2)真命题
(3)真命题
(4)假命题
（1）举例判断；
（2）根据线面垂直的性质分析判断；
（3）根据反证法及线面平行的判定定理分析判断；
（4）举例判断.
（1）如图，在长方体中，直线l与平面M斜交，，，所以此命题是假命题；
（2）若直线平面M，则直线与平面内的任意一条直线都垂直，
所以M内不存在与l不垂直的直线，所以此命题为真命题；
（3）若直线l与平面M斜交，则M内不存在与l平行的直线，否则根据线面平行的判定定理可知与平面平行，
这与已知条件相矛盾，所以此命题为真命题；
（4）如图，直线平面M，，与不平行，是异面直线，所以此命题为假命题.
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