9.1.4 设计轴对称图案 培优练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 9.1.4 设计轴对称图案 培优练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 865.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-28 10:34:32 | ||
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文档简介
9.1.4设计轴对称图案培优练习华东师大版2024—2025学年七年级下册
一、选择题
1．下列各图是中国古典花窗基本图案，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A．B． C．D．
3．如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于（ ）
点A处 B．点B处
C．点C处 D．点D处
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点，∠ABC＝60°，∠BAC＝70°，若点P，Q分别是线段AD，AB上的动点，则BP+PQ的最小值与线段（ ）的长度相等．
A．BD B．AD C．AB D．AC
5．直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥EF（桥EF与河的两岸l1，l2垂直），使得从村庄P经桥EF过河到村庄Q的路径PEFQ最短，即PE+EF+FQ最小．则下列图中满足条件的是（ ）
A．B． C．D．
二、填空题
6．如图，△ABC的面积为6，AB＝5，AD平分∠BAC，若M，N分别是AD，AC上的动点，则MN+CM的最小值为 ．
7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，∠MCN的大小是 °．
8．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足S△PBCS△ABC，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为 ．
9．如图，∠AOB＝25°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则α与β的数量关系为 ．
10．在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别为BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为 ．
三、解答题
11．如图，∠ABN＝60°，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定点，且BE＝AB＝12，点A关于射线BN对称点为D，连接BD，CD，DE．
（1）证明：∠BAC＝∠BDC；
（2）若P为直线BC上一个动点，求△PDE周长最小时，P所在的位置，并求出△PDE周长的最小值．
12．已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ ；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
13．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC、DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为多少度？
14．如图，CA∥BD，CA⊥AB，AC＝5，BD＝3，AB＝8，E是AB上一动点，设AE＝x．
（1）用x表示CE；
（2）当x为何值时，CE＝DE；
（3）代数式是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由．
15．已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
（1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数；
（2）如图2，若OP＝6，当△PAB的周长最小值为6时，求∠MON的度数．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 C B C B A
二、填空题
6．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，在AB上截取线段AN′，使得AN′＝AN，
∵AD平分∠CAB，AN＝AN′，
∴N，N′关于AD对称，
∴MN＝MN′，
∴CM+MN＝CM+MN′≥CE，
∵S△ABC AB CE，
∴CE，
∴CM+MN，
∴CM+MN的最小值为．
故答案为：．
7．【解答】解：延长CD到E，使得DE＝CD，延长CB到F，使得BF＝CB，连接EF，交AD，AB于N′，M′，此时△MCN的周长最小，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AD垂直平分CE，AB垂直平分CF，
∴CN′＝EN′，CM′＝FM′，
∴∠E＝∠ECN′，∠F＝∠FCM′，
∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，
∴∠ECF＝140°，
∴∠E+∠F＝40°，
∵∠CN′F+∠CM′E＝∠E+∠ECN′+∠F+∠FCM′＝2（∠E+∠F）＝80°，
∴∠M′CN′＝100°，
故答案为：100．
8．【解答】解：∵S△PBCS△ABC，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；
故答案为45°．
9．【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝25°（180°﹣β），
∴180°﹣α＝50°+（180°﹣β），
∴β﹣α＝50°，
故答案为：β﹣α＝50°．
10．【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×50°＝100°，
∴∠MAN＝80°，
故答案为：80°．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：连接AD，如图，
∵点A关于射线BN对称点为D，
∴BN垂直平分AD，
∴BA＝BD，CA＝CD，
在△BAC和△BDC中，
，
∴△BAC≌△BDC（SSS），
∴∠BAC＝∠BDC；
（2）解：∵△BAC≌△BDC，
∴∠DBN＝∠ABN＝60°，
∵BE＝BA，BA＝BD，
∴BE＝BD，
∴∠E＝∠BDE，
∵∠ABD＝∠E+∠BDE，
∴∠E＝∠BDE＝60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴DE＝BE＝12，
∵BN垂直平分AD，
∴PA＝PD，
∴PE+PD＝PE+PA，
∵PE+PA≥AE（当且仅当P、A、E共线时取等号），
即点P点运动到B点时，PE+PA的最小值为24，此时△PDE周长的最小值为36．
12．【解答】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG＝OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，
故答案为：100°；
②∵PO＝5，
∴GO＝HO＝5，
当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，
∴点G，O，H在同一直线上，
∴GH＝GO+HO＝10；
（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，
同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，
∴∠APB＝30°+30°＝60°．
13．【解答】解：作出A关于BC和CD的对称点A′、A″，连接A′A″，交BC于点E，交CD于点F，则A′A″即为△AEF的周长最小值，作DA延长线AH，
∵∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠HAA′＝∠AA′E+∠A″＝50°，
由折叠可知：AF＝A''F，AE＝A′E，
∴∠FAD＝∠A″，∠EA′A＝∠EAA′，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°．
14．【解答】解：（1）∵CA⊥AB，AC＝5，AE＝x．
∴；
（2）∵CA∥BD，BD＝3，AB＝8，
∴BD⊥AB，BE＝8﹣x，
∴，
∵CE＝DE，
∴x2+25＝（8﹣x）2+9，
解得 x＝3，
∴当x为3时，CE＝DE；
（3）如图，作点C关于直线AB的对称点F，过点F作FG⊥BD交DB的延长线于点G，连接FD，
由对称的性质可得，EC＝FE，
∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴∠BAF＝∠ABG＝∠BGF＝90°，
∴四边形AFGB为矩形，
∴BG＝AF＝AC＝5，FG＝AB＝8，
∴DG＝DB+BG＝8，
∵，
∴当点D、E、F在同一直线上时，FE+DE的值最小，即CE+DE的值最小，
∴CE+DE的最小值为，
即的最小值为．
15．【解答】解：（1）∵点P关于射线OM的对称点是G，
∴∠GOM＝∠POM．
∵点P关于射线ON的对称点是H，
∴∠HON＝∠PON．
∵∠MON＝∠MOP+∠NOP＝50°，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠NOP+∠HON＝2∠MON＝100°；
（2）作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP.
∴PA＝P′A，PB＝P″B，OP′＝OP，OP″＝OP，∠P′OM＝∠POM，∠PON＝∠P″ON．
∵△PAB的周长最小值为6，OP＝6，
∴P′P″＝OP′＝OP″＝6．
∴△OP′P″为等边三角形．
∴∠P′OP″＝60°．
∵∠P′OP″＝∠P′OM+∠POM+∠PON+∠P″ON＝2∠MON，
∴∠MON＝30°．
一、选择题
1．下列各图是中国古典花窗基本图案，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A．B． C．D．
3．如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于（ ）
点A处 B．点B处
C．点C处 D．点D处
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点，∠ABC＝60°，∠BAC＝70°，若点P，Q分别是线段AD，AB上的动点，则BP+PQ的最小值与线段（ ）的长度相等．
A．BD B．AD C．AB D．AC
5．直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥EF（桥EF与河的两岸l1，l2垂直），使得从村庄P经桥EF过河到村庄Q的路径PEFQ最短，即PE+EF+FQ最小．则下列图中满足条件的是（ ）
A．B． C．D．
二、填空题
6．如图，△ABC的面积为6，AB＝5，AD平分∠BAC，若M，N分别是AD，AC上的动点，则MN+CM的最小值为 ．
7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，∠MCN的大小是 °．
8．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足S△PBCS△ABC，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为 ．
9．如图，∠AOB＝25°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则α与β的数量关系为 ．
10．在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别为BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为 ．
三、解答题
11．如图，∠ABN＝60°，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定点，且BE＝AB＝12，点A关于射线BN对称点为D，连接BD，CD，DE．
（1）证明：∠BAC＝∠BDC；
（2）若P为直线BC上一个动点，求△PDE周长最小时，P所在的位置，并求出△PDE周长的最小值．
12．已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ ；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
13．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC、DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为多少度？
14．如图，CA∥BD，CA⊥AB，AC＝5，BD＝3，AB＝8，E是AB上一动点，设AE＝x．
（1）用x表示CE；
（2）当x为何值时，CE＝DE；
（3）代数式是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由．
15．已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
（1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数；
（2）如图2，若OP＝6，当△PAB的周长最小值为6时，求∠MON的度数．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 C B C B A
二、填空题
6．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，在AB上截取线段AN′，使得AN′＝AN，
∵AD平分∠CAB，AN＝AN′，
∴N，N′关于AD对称，
∴MN＝MN′，
∴CM+MN＝CM+MN′≥CE，
∵S△ABC AB CE，
∴CE，
∴CM+MN，
∴CM+MN的最小值为．
故答案为：．
7．【解答】解：延长CD到E，使得DE＝CD，延长CB到F，使得BF＝CB，连接EF，交AD，AB于N′，M′，此时△MCN的周长最小，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AD垂直平分CE，AB垂直平分CF，
∴CN′＝EN′，CM′＝FM′，
∴∠E＝∠ECN′，∠F＝∠FCM′，
∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，
∴∠ECF＝140°，
∴∠E+∠F＝40°，
∵∠CN′F+∠CM′E＝∠E+∠ECN′+∠F+∠FCM′＝2（∠E+∠F）＝80°，
∴∠M′CN′＝100°，
故答案为：100．
8．【解答】解：∵S△PBCS△ABC，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；
故答案为45°．
9．【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝25°（180°﹣β），
∴180°﹣α＝50°+（180°﹣β），
∴β﹣α＝50°，
故答案为：β﹣α＝50°．
10．【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×50°＝100°，
∴∠MAN＝80°，
故答案为：80°．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：连接AD，如图，
∵点A关于射线BN对称点为D，
∴BN垂直平分AD，
∴BA＝BD，CA＝CD，
在△BAC和△BDC中，
，
∴△BAC≌△BDC（SSS），
∴∠BAC＝∠BDC；
（2）解：∵△BAC≌△BDC，
∴∠DBN＝∠ABN＝60°，
∵BE＝BA，BA＝BD，
∴BE＝BD，
∴∠E＝∠BDE，
∵∠ABD＝∠E+∠BDE，
∴∠E＝∠BDE＝60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴DE＝BE＝12，
∵BN垂直平分AD，
∴PA＝PD，
∴PE+PD＝PE+PA，
∵PE+PA≥AE（当且仅当P、A、E共线时取等号），
即点P点运动到B点时，PE+PA的最小值为24，此时△PDE周长的最小值为36．
12．【解答】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG＝OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，
故答案为：100°；
②∵PO＝5，
∴GO＝HO＝5，
当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，
∴点G，O，H在同一直线上，
∴GH＝GO+HO＝10；
（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，
同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，
∴∠APB＝30°+30°＝60°．
13．【解答】解：作出A关于BC和CD的对称点A′、A″，连接A′A″，交BC于点E，交CD于点F，则A′A″即为△AEF的周长最小值，作DA延长线AH，
∵∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠HAA′＝∠AA′E+∠A″＝50°，
由折叠可知：AF＝A''F，AE＝A′E，
∴∠FAD＝∠A″，∠EA′A＝∠EAA′，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°．
14．【解答】解：（1）∵CA⊥AB，AC＝5，AE＝x．
∴；
（2）∵CA∥BD，BD＝3，AB＝8，
∴BD⊥AB，BE＝8﹣x，
∴，
∵CE＝DE，
∴x2+25＝（8﹣x）2+9，
解得 x＝3，
∴当x为3时，CE＝DE；
（3）如图，作点C关于直线AB的对称点F，过点F作FG⊥BD交DB的延长线于点G，连接FD，
由对称的性质可得，EC＝FE，
∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴∠BAF＝∠ABG＝∠BGF＝90°，
∴四边形AFGB为矩形，
∴BG＝AF＝AC＝5，FG＝AB＝8，
∴DG＝DB+BG＝8，
∵，
∴当点D、E、F在同一直线上时，FE+DE的值最小，即CE+DE的值最小，
∴CE+DE的最小值为，
即的最小值为．
15．【解答】解：（1）∵点P关于射线OM的对称点是G，
∴∠GOM＝∠POM．
∵点P关于射线ON的对称点是H，
∴∠HON＝∠PON．
∵∠MON＝∠MOP+∠NOP＝50°，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠NOP+∠HON＝2∠MON＝100°；
（2）作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP.
∴PA＝P′A，PB＝P″B，OP′＝OP，OP″＝OP，∠P′OM＝∠POM，∠PON＝∠P″ON．
∵△PAB的周长最小值为6，OP＝6，
∴P′P″＝OP′＝OP″＝6．
∴△OP′P″为等边三角形．
∴∠P′OP″＝60°．
∵∠P′OP″＝∠P′OM+∠POM+∠PON+∠P″ON＝2∠MON，
∴∠MON＝30°．