17.1勾股定理培优练习（含答案）
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17.1勾股定理培优练习人教版2024—2025学年春季八年级下册
一、选择题
1．若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（ ）
A．5或 B． C．7 D．5
2．如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若AB＝17，AH＝8，则正方形EFGH的边长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若ab＝8，且a2+b2＝25，则黄实为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．4π﹣6 D．
二、填空题
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB、BC、AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1、S2、S3．若AB＝5，S3＝5，则S2的值等于 ．
7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，b+a＝12，则中间小正方形的面积是 ．
8．如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S2＝4，则S1+S3的值为 ．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝9，则点D到斜边AB的距离为 ．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 ．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AB＝2CD，点F是CE中点．
（1）求证：∠DCE＝∠ADF；
（2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的长．
13．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．
实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．
14．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）请利用图①证明：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，OB＝5，求该图形的面积．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D．
（1）若∠D＝20°，求∠BAC的度数．
（2）求证：∠BAC＝2∠D．
（3）已知∠D＝22.5°，AC，求BC2的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 A A C D A
二、填空题
6．20．
7．36．
8．8．
9．9．
10．18．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：连结EC．
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∵点E在AD上，
∴BE＝EC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝EC，
∴AE＝BE．
（2）由（1）得，，
∵BC＝6，
∴BD＝3，
∴AD4，
设AE＝BE＝x，
在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
∴，
即，
∴△ABE的周长为：AB+BE+AE＝5．
12．【解答】（1）证明：连结DE，如图，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴E是AB边上的中点，
∴AB＝2DE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝DE，
∵点F是CE中点，
∴DF⊥EC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠FDC+∠DCF＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FDC+∠ADF＝90°，
∴∠DCE＝∠ADF；
（2）解：∵∠BAC＝90°，
在直角三角形ACE中，由勾股定理得：，
∵点F是CE中点，
∴CF＝5，
∵∠ADB＝90°，E是AB边上的中点，
∴DE＝AE＝6，
∴CD＝DE＝6，
∵∠DFC＝90°，
在直角三角形CDF中，由勾股定理得：．
13．【解答】解：（1）根据题意得AC＝8dm，BC＝6dm，∠ACB＝90°，
∴AB10（dm），
∴AB+AC＝10+8＝18（dm），
答：绳子的总长度为18dm；
（2）如图，
根据题意得∠ADB＝90°，AD＝8dm，CD＝7dm，AB＝（10+7）dm，
∴15（dm），
∴BE＝BD﹣DE＝15﹣6＝9（dm），
答：滑块B向左滑动的距离为9dm．
14．【解答】（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，
S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵AB+BC＝80÷4＝20，
设AH＝BC＝x，则AB＝20﹣x，OH＝OB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OH2+OG2＝GH2，
即52+（5+x）2＝（20﹣x）2，
解得：x＝7，
∴S5×12×4＝120．
15．【解答】（1）解：∵AD⊥AB，
∴∠B+∠D＝90°．
∵∠D＝20°，
∴∠B＝90°﹣20°＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°．
（2）证明：∵AD⊥AB，
∴∠B+∠D＝90°．，
即∠B＝90°﹣∠D．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°﹣2∠B，
即∠B＝90°∠BAC，
∴90°﹣∠D＝90°∠BAC，
∴∠BAC＝2∠D．
（3）解：过点C作AB的垂线，垂足为M，
∵∠D＝22.5°，
∴∠BAC＝2×22.5°＝45°，
∴△AMC是等腰直角三角形．
∵AC，
∴AM＝MC＝1．
∵AB＝AC，
∴BM．
在Rt△BCM中，
BC2＝BM2+MC2＝（）2+12＝4．
一、选择题
1．若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（ ）
A．5或 B． C．7 D．5
2．如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若AB＝17，AH＝8，则正方形EFGH的边长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若ab＝8，且a2+b2＝25，则黄实为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．4π﹣6 D．
二、填空题
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，以AB、BC、AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1、S2、S3．若AB＝5，S3＝5，则S2的值等于 ．
7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，b+a＝12，则中间小正方形的面积是 ．
8．如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S2＝4，则S1+S3的值为 ．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝9，则点D到斜边AB的距离为 ．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 ．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABE的周长．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AB＝2CD，点F是CE中点．
（1）求证：∠DCE＝∠ADF；
（2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的长．
13．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．
实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．
14．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）请利用图①证明：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，OB＝5，求该图形的面积．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，作AD⊥AB交BC的延长线于点D．
（1）若∠D＝20°，求∠BAC的度数．
（2）求证：∠BAC＝2∠D．
（3）已知∠D＝22.5°，AC，求BC2的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 A A C D A
二、填空题
6．20．
7．36．
8．8．
9．9．
10．18．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：连结EC．
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∵点E在AD上，
∴BE＝EC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝EC，
∴AE＝BE．
（2）由（1）得，，
∵BC＝6，
∴BD＝3，
∴AD4，
设AE＝BE＝x，
在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
∴，
即，
∴△ABE的周长为：AB+BE+AE＝5．
12．【解答】（1）证明：连结DE，如图，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴E是AB边上的中点，
∴AB＝2DE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝DE，
∵点F是CE中点，
∴DF⊥EC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠FDC+∠DCF＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FDC+∠ADF＝90°，
∴∠DCE＝∠ADF；
（2）解：∵∠BAC＝90°，
在直角三角形ACE中，由勾股定理得：，
∵点F是CE中点，
∴CF＝5，
∵∠ADB＝90°，E是AB边上的中点，
∴DE＝AE＝6，
∴CD＝DE＝6，
∵∠DFC＝90°，
在直角三角形CDF中，由勾股定理得：．
13．【解答】解：（1）根据题意得AC＝8dm，BC＝6dm，∠ACB＝90°，
∴AB10（dm），
∴AB+AC＝10+8＝18（dm），
答：绳子的总长度为18dm；
（2）如图，
根据题意得∠ADB＝90°，AD＝8dm，CD＝7dm，AB＝（10+7）dm，
∴15（dm），
∴BE＝BD﹣DE＝15﹣6＝9（dm），
答：滑块B向左滑动的距离为9dm．
14．【解答】（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，
S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵AB+BC＝80÷4＝20，
设AH＝BC＝x，则AB＝20﹣x，OH＝OB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OH2+OG2＝GH2，
即52+（5+x）2＝（20﹣x）2，
解得：x＝7，
∴S5×12×4＝120．
15．【解答】（1）解：∵AD⊥AB，
∴∠B+∠D＝90°．
∵∠D＝20°，
∴∠B＝90°﹣20°＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°．
（2）证明：∵AD⊥AB，
∴∠B+∠D＝90°．，
即∠B＝90°﹣∠D．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°﹣2∠B，
即∠B＝90°∠BAC，
∴90°﹣∠D＝90°∠BAC，
∴∠BAC＝2∠D．
（3）解：过点C作AB的垂线，垂足为M，
∵∠D＝22.5°，
∴∠BAC＝2×22.5°＝45°，
∴△AMC是等腰直角三角形．
∵AC，
∴AM＝MC＝1．
∵AB＝AC，
∴BM．
在Rt△BCM中，
BC2＝BM2+MC2＝（）2+12＝4．