17.2勾股定理逆定理练习（含答案）

17.2勾股定理逆定理练习人教版2024—2025学年春季八年级下册
一、选择题
1．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．BC＝7，AC＝24，AB＝25
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．BC＝1，AC＝2，
2．如果m表示大于1的整数，设a＝2m，b＝m2﹣1，c＝2m2+2m，d＝m2+1，其中任选三个数能构成勾股数的为（　　）
A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d
3．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（　　）
BC2＝5 B．AB＝5
C． D．∠ACB＝90°
4．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在一块四边形ABCD空地中植草皮，测得AB＝3m，BC＝4m，DA＝13m，CD＝12m，且∠ABC＝90°．若每平方米草皮需要200元，则需要（　　）元投入．
A．16800 B．7200 C．5100 D．无法确定
二．填空题
6．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　 　米．
7．如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走40米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走40米到D处，在D处转90°沿DE方向再走21米，到达E处，使A，C与E在同一直线上，那么测得A，B的距离为 　 　米．
8．一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 　 　．
9．如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC＝90°，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m，DC＝3m，该花圃的面积为　 　m2．
10．三角形的三边a，b，c满足（a﹣b）2＝c2﹣2ab，则这个三角形是　 　．
三．解答题
11．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝24米，BC＝7米，CD＝15米，AD＝20米．
（1）求AC的长度；
（2）已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形ABCD地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？
12．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，且AB＝AC，由于某种原因，从取水点C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．
（1）CH是否是村庄C到河边最近的路？请说明理由；
（2）求原来的路线AC的长．
13．古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5m．
（1）若AB＝7.5m，AE＝15.5m，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）；
（2）若BE的长为12m，CD比BC长6.5m，求桥面的宽AB．
14．为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我校校园里现有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：∠BAD＝90°，AD＝3m，AB＝4m，BC＝13m，CD＝12m．根据你所学过的知识解决下列问题：
（1）求证：∠BDC＝90°；
（2）求四边形ABCD的面积．
15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，联结AD．
（1）如果AC＝6，BD，求证：∠C＝90°；
（2）如果∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝4，求AC的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 A B C C B
填空题
6．【解答】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
7．【解答】解：由题意可得：∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝CD＝40（米），
∵A、C与E在同一直线上，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴△ACB≌△ECD（ASA），
∴AB＝DE＝21（米），
故答案为：21．
8．【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，12，13，符合勾股定理的逆定理52+122＝132，
∴此三角形为直角三角形，则13为直角三角形的斜边，
∵三角形斜边上的中线是斜边的一半，
∴三角形最长边上的中线为．
故答案为：．
9．【解答】解：连接AC，
∵AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，
∴AC5m，
△ACD的面积3×4＝6（m2），
在△ABC中，
∵AC＝5m，BC＝12m，AB＝13m，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴直角△ABC的面积12×5＝30（m2），
∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24（m2）．
故答案为：24．
10．【解答】解：∵（a﹣b）2＝c2﹣2ab，
∴a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形．
故答案为直角三角形．
三、解答题
11．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC25（米），
（2）∵152+202＝625，252＝625，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ACD为直角三角形，∠D＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDAB BCAD CD24×720×15＝234（米2），
∴购买运动型塑胶地板的费用为：234×200＝46800（元），
答：购买运动型塑胶地板的费用需要46800元．
12．【解答】解：（1）CH是村庄C到河边最近的路；理由如下：
∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，
∴CH⊥AB，
∵垂线段最短，
∴CH是村庄C到河边最近的路；
（2）∵∠CHB＝90°，
∴∠CHA＝90°，
∴AC2＝AH2+CH2，
∵AB＝AC，
∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8，
∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42，
解得：AC＝2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5km．
13．【解答】解：（1）由题意知：∠ABC＝90°，BC＝AB＝7.5m，
∴ACAB＝7.5（m），
∵AE＝15.5m，
∴BE＝AE﹣AB＝8m，
由题意可知：四边形BEDF是矩形，
∴DF＝BE＝8m，
由题意知：DE＝BF＝1.5m，
∴CF＝BC﹣BF＝6m，
∴CD10（m），
∴AC+CD＝（7.510）m，
∴从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长为（7.510）m；
（2）由（1）知DF＝BE＝12m，DE＝BF＝1.5m，
∴CF＝BC﹣BF＝（AB﹣1.5）m，
∵CD比BC长6.5m，
∴CD＝BC+6.5＝（AB+6.5）m，
∵CF2+DF2＝CD2，
∴（AB﹣1.5）2+122＝（AB+6.5）2，
∴AB＝1.5m，
∴桥面的宽AB1.5m．
14．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝90°，AD＝3m，AB＝4m，
∴BD5（m），
∵BC＝13m，CD＝12m，
∴BD2+CD2＝52+122＝169，BC2＝132＝169，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°；
（2）解：四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积
AD ABBD CD
3×45×12
＝6+30
＝36．
15．【解答】（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，BD，
∴AD＝BD，
在△ACD中，AC2+CD2＝62+（）2，AD2＝（）2，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠B＝∠CAD，
∵∠C＝90°，
∴∠DAB+∠B+∠CAD＝90°，
∴∠B＝30°，
∴ACAB＝2．