18.2.1矩形培优练习（含答案）
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文档简介
18.2.1矩形培优练习人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，则AB的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
2．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，AD与BC相交于点F，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（ ）
A．56° B．62°
C．63° D．72°
3．已知 ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD．使得 ABCD是矩形的条件是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
4．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（ ）
①矩形；
②菱形；
③对角线相等的四边形；
④对角线互相垂直的四边形．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
5．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的最小值是（ ）
A．3 B．4
C．4.8 D．5
二、填空题
6．直角三角形斜边上的中线与高线长分别是5和4，这个三角形的面积是 ．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ACB＝20°，则∠AOB＝ °．
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 ．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为CD的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，则线段AP+QE的最小值为 ．
10．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
三、解答题
11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．连接DE交AC于点F．
（1）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
（2）试判断DF与AB的关系，并说明理由．
12．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD．若四边形EBOA是菱形；
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠E＝60°，AB＝2，求四边形ABCD的面积．
13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，AC＝5；过点B作射线BF，过点D作DE⊥BF于E，连接OE．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）求OE的长．
14．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB＝12，BC＝16．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 C A D C C
二、填空题
6．【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线与高线长分别是5和4，
∴直角三角形的斜边长为10，
∴这个三角形的面积10×4＝20．
故答案为：20．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AO＝OC＝OB＝OD，
∵∠ACB＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∵∠OBC+∠ACB+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠ACB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∵∠BOC+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40．
8．【解答】解：连接OE，作OH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝12，OD＝OBBD＝5，
∴∠COD＝90°，
∴CD13，
∵CD OHOC OD＝S△COD，
∴13OH12×5，
解得OH，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°，
∴四边形OGEF是矩形，
∴OE＝FG，
∴OE≥OH，
∵FG，
∴FG的最小值为，
故答案为：．
9．【解答】解：取AB中点F，连接EF，延长AB到G使BG＝AB，连接PG，作PK∥QE交FE于K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，BC＝AD＝10，
∴BC垂直平分AG，
∴PG＝PA，
∵E是CD中点，F是AB中点，
∴BFAB，CECD，
∴BF＝CE，
∵BF∥CE，∠FBC＝90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴EF∥BC，EF＝BC＝10，
∵PK∥QE，
∴四边形OQEK是平行四边形，
∴PK＝QE，KE＝PQ＝2，
∴KF＝EF﹣KE＝10﹣2＝8，
∵BFAB6＝3，
∴FG＝BF+BG＝3+6＝9，
∴KG，
∵PK+PG≥GK，
∴PA+QE，
∴线段AP+QE的最小值为．
故答案为：．
10．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得
3x＝20﹣2x．
解得x＝4，
故答案为：4．
三、解答题
11．【解答】解：（1）四边形ADCE为矩形，
理由：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴，，
∴，
在△ABC中，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．
∴∠ADC＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAE＝∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）DF∥AB，，
理由：
∵四边形ADCE是矩形，
∴AF＝CF，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，
∴DF是△ABC的中位线，
即DF∥AB，．
12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD，四边形EBOA是菱形，
∴OA＝OB，
∴，，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形EBOA是菱形，
∴∠AOB＝∠E＝60°，AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝AB＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO＝4，∠ABC＝90°，
∴，
∴．
13．【解答】（1）证明：∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∴AB2+BC2＝32+42＝52＝AC2，
∴∠ABC＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵平行四边形ABCD是矩形，AC＝5，
∴BO＝DO，BD＝AC＝5．
∵DE⊥BF，
∴．
14.【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝AO+CO＝20，
∵AB＝12，BC＝16，
∴AB2+BC＝122+162＝202＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADF：∠FDC＝3：2，∠ADF+∠FDC＝∠ADC，
∴，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BC＝AB＝13，
∵AE⊥BC，
∴S四边形ABCD＝BC AE，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得：
∴，
∴BD＝2BO＝24，
∵S四边形ABCDAC BD＝BC AE，
∴，
∴．
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，则AB的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
2．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，AD与BC相交于点F，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（ ）
A．56° B．62°
C．63° D．72°
3．已知 ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD．使得 ABCD是矩形的条件是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
4．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是（ ）
①矩形；
②菱形；
③对角线相等的四边形；
④对角线互相垂直的四边形．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
5．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的最小值是（ ）
A．3 B．4
C．4.8 D．5
二、填空题
6．直角三角形斜边上的中线与高线长分别是5和4，这个三角形的面积是 ．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ACB＝20°，则∠AOB＝ °．
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 ．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为CD的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，则线段AP+QE的最小值为 ．
10．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
三、解答题
11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．连接DE交AC于点F．
（1）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
（2）试判断DF与AB的关系，并说明理由．
12．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD．若四边形EBOA是菱形；
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠E＝60°，AB＝2，求四边形ABCD的面积．
13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，AC＝5；过点B作射线BF，过点D作DE⊥BF于E，连接OE．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）求OE的长．
14．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB＝12，BC＝16．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 C A D C C
二、填空题
6．【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线与高线长分别是5和4，
∴直角三角形的斜边长为10，
∴这个三角形的面积10×4＝20．
故答案为：20．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AO＝OC＝OB＝OD，
∵∠ACB＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∵∠OBC+∠ACB+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠ACB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∵∠BOC+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40．
8．【解答】解：连接OE，作OH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝12，OD＝OBBD＝5，
∴∠COD＝90°，
∴CD13，
∵CD OHOC OD＝S△COD，
∴13OH12×5，
解得OH，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°，
∴四边形OGEF是矩形，
∴OE＝FG，
∴OE≥OH，
∵FG，
∴FG的最小值为，
故答案为：．
9．【解答】解：取AB中点F，连接EF，延长AB到G使BG＝AB，连接PG，作PK∥QE交FE于K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，BC＝AD＝10，
∴BC垂直平分AG，
∴PG＝PA，
∵E是CD中点，F是AB中点，
∴BFAB，CECD，
∴BF＝CE，
∵BF∥CE，∠FBC＝90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴EF∥BC，EF＝BC＝10，
∵PK∥QE，
∴四边形OQEK是平行四边形，
∴PK＝QE，KE＝PQ＝2，
∴KF＝EF﹣KE＝10﹣2＝8，
∵BFAB6＝3，
∴FG＝BF+BG＝3+6＝9，
∴KG，
∵PK+PG≥GK，
∴PA+QE，
∴线段AP+QE的最小值为．
故答案为：．
10．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得
3x＝20﹣2x．
解得x＝4，
故答案为：4．
三、解答题
11．【解答】解：（1）四边形ADCE为矩形，
理由：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴，，
∴，
在△ABC中，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．
∴∠ADC＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAE＝∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）DF∥AB，，
理由：
∵四边形ADCE是矩形，
∴AF＝CF，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，
∴DF是△ABC的中位线，
即DF∥AB，．
12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，AB＝CD，AB∥CD，四边形EBOA是菱形，
∴OA＝OB，
∴，，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形EBOA是菱形，
∴∠AOB＝∠E＝60°，AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝AB＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO＝4，∠ABC＝90°，
∴，
∴．
13．【解答】（1）证明：∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∴AB2+BC2＝32+42＝52＝AC2，
∴∠ABC＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵平行四边形ABCD是矩形，AC＝5，
∴BO＝DO，BD＝AC＝5．
∵DE⊥BF，
∴．
14.【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝AO+CO＝20，
∵AB＝12，BC＝16，
∴AB2+BC＝122+162＝202＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADF：∠FDC＝3：2，∠ADF+∠FDC＝∠ADC，
∴，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BC＝AB＝13，
∵AE⊥BC，
∴S四边形ABCD＝BC AE，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得：
∴，
∴BD＝2BO＝24，
∵S四边形ABCDAC BD＝BC AE，
∴，
∴．