18.2.2菱形培优练习（含答案）
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文档简介
18.2.2菱形培优练习人教版2024—2025学年春季八年级下册
一、选择题
1．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使 ABCD成为菱形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AD∥BC
2．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点，连接OE，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A． B．6 C． D．12
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD＝56°，则∠DHO的度数是（ ）
A．38° B．34° C．28° D．24°
二、填空题
6．面积为24的菱形的一条对角线长为6，则这个菱形的边长为 ．
7．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为（﹣3，0），（x，y），（0，4），（﹣6，z），若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则z的值为 ．
8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点P是线段BD上一点，过点P作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为点E，F．若AB＝4，则PE+PF的值为 ．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝8，S菱形ABCD＝96，则OE的长为 ．
10．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点B的坐标为（6，m），点D的坐标为（n，4），则m﹣n的值为 ．
三、解答题
11．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，过点C作CE⊥AD交AD延长线于点E，点F是AC中点，连接EF，EB．
（1）证明：四边形ABEF是菱形；
（2）若∠BAC＝120°，，求边BC的长．
12．如图，在 ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACFD是菱形；
（2）若AB＝5，，求四边形ACFD的面积．
13．如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DB，DB平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DC的垂线，分别交AB，AE于点F、G，若AG＝3，AD＝4，求菱形ABCD的面积．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长．
15．如图1，由两个全等的矩形纸条叠合在一起，四边形ABCD是重叠的部分．
（1）猜想四边形ABCD是什么特殊四边形，并证明；
（2）重叠部分ABCD的对角线AC与BD相交于点O，如图2，且AC＝10，BD＝24，求矩形纸条的宽．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 C C D A C
二、填空题
6．【解答】解：设菱形的另一条对角线长为x，
由题意得，，
∴x＝8，
即菱形的另一条对角线长为8，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的边长，
故答案为：5．
7．【解答】解：若AC为边，CD是对角线，
∵ADBC为菱形，
∴AC＝AD且A（﹣3，0），C（0，4），D（﹣6，z），
∴32+42＝（﹣3+6）2+z 2，
z1＝4，z2＝﹣4（舍去），
若AC为对角线，
根据题意可求AC解析式yACx+4，
∵BD⊥AC，
∴设BD解析式yBDx+b且过AC中点（，2），
∴2（）+b，
b，
∴BD解析式yBDx且过D（﹣6，z），
∴z，
故答案为：4或．
8．【解答】解：如图，连接AC交BD于O，连接AP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，BO＝DO，∠ABO，
∴∠AOB＝90°，
∴AOAB＝2，
∴，
∵S△ABDS菱形ABCD＝S△ABP+S△ADP，
∴4×EP4×PF，
∴PE+PF＝2，
故答案为：2．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC，
∴BD＝16，
∵S菱形ABCDAC×BD＝96，
∴AC＝12，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴OEAC＝6，
故答案为：6．
10．【解答】解：∵菱形ABCD是中心对称图形，且对角线BD与AC交于原点O，
∴点B与点D关于原点O对称，
∵B（6，m），D（n，4），
∴，
∴，
∴m﹣n＝﹣4﹣（﹣6）＝2，
故答案为：2．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∵点F是AC中点，
∴，
∴∠FAE＝∠FEA，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AF＝EF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠BAE＝∠FEA，
∴BA∥EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作BH⊥AC交CA延长线于点H，则∠AHB＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAH＝60°，
∴∠ABH＝30°，
∴，
∵AC＝2AB，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：，
∴BC的长为14．
12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点F在BC的延长线上，且CF＝BC，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵CD∥AB，FA⊥AB交CD于点E，
∴∠CEF＝∠ABF＝90°，
∴FA⊥CD，
∴四边形ACFD是菱形．
（2）解：∵四边形ACFD是菱形，CD＝AB＝5，
∴DE＝CECD，AE＝FE，
∵∠DEF＝90°，DF，
∴FE6，
∴FA＝2FE＝12，
∴S四边形ACFDFA CD12×5＝30，
∴四边形ACFD的面积为30．
13．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠CDB，
∵DB平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝4，AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠DAG＝90°，
∴DG5，
∵AB∥CD，DG⊥DC，
∴DG⊥AB，
∴S△ADGDG AFAD AG，
∴AF，
∴DF，
∴S菱形ABCD＝AB DF＝4．
14．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴，
在Rt△AOB中，，OB＝1，
∴，
∴OE＝OA＝2．
15．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，证明如下：
如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵由两个全等的矩形纸条叠合在一起，
∴两个矩形等宽，
∴AE＝AF，
∵S四边形ABCD＝AE×BC＝AF×CD，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）设矩形纸条的宽为h，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝10，BD＝24，
∴∠BOC＝90°，，，
∴，
∵，
∴，
即矩形纸条的宽为．
一、选择题
1．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使 ABCD成为菱形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AD∥BC
2．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点，连接OE，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A． B．6 C． D．12
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD＝56°，则∠DHO的度数是（ ）
A．38° B．34° C．28° D．24°
二、填空题
6．面积为24的菱形的一条对角线长为6，则这个菱形的边长为 ．
7．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为（﹣3，0），（x，y），（0，4），（﹣6，z），若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则z的值为 ．
8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点P是线段BD上一点，过点P作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为点E，F．若AB＝4，则PE+PF的值为 ．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝8，S菱形ABCD＝96，则OE的长为 ．
10．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点B的坐标为（6，m），点D的坐标为（n，4），则m﹣n的值为 ．
三、解答题
11．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，过点C作CE⊥AD交AD延长线于点E，点F是AC中点，连接EF，EB．
（1）证明：四边形ABEF是菱形；
（2）若∠BAC＝120°，，求边BC的长．
12．如图，在 ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACFD是菱形；
（2）若AB＝5，，求四边形ACFD的面积．
13．如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DB，DB平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DC的垂线，分别交AB，AE于点F、G，若AG＝3，AD＝4，求菱形ABCD的面积．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长．
15．如图1，由两个全等的矩形纸条叠合在一起，四边形ABCD是重叠的部分．
（1）猜想四边形ABCD是什么特殊四边形，并证明；
（2）重叠部分ABCD的对角线AC与BD相交于点O，如图2，且AC＝10，BD＝24，求矩形纸条的宽．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 C C D A C
二、填空题
6．【解答】解：设菱形的另一条对角线长为x，
由题意得，，
∴x＝8，
即菱形的另一条对角线长为8，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的边长，
故答案为：5．
7．【解答】解：若AC为边，CD是对角线，
∵ADBC为菱形，
∴AC＝AD且A（﹣3，0），C（0，4），D（﹣6，z），
∴32+42＝（﹣3+6）2+z 2，
z1＝4，z2＝﹣4（舍去），
若AC为对角线，
根据题意可求AC解析式yACx+4，
∵BD⊥AC，
∴设BD解析式yBDx+b且过AC中点（，2），
∴2（）+b，
b，
∴BD解析式yBDx且过D（﹣6，z），
∴z，
故答案为：4或．
8．【解答】解：如图，连接AC交BD于O，连接AP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，BO＝DO，∠ABO，
∴∠AOB＝90°，
∴AOAB＝2，
∴，
∵S△ABDS菱形ABCD＝S△ABP+S△ADP，
∴4×EP4×PF，
∴PE+PF＝2，
故答案为：2．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC，
∴BD＝16，
∵S菱形ABCDAC×BD＝96，
∴AC＝12，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴OEAC＝6，
故答案为：6．
10．【解答】解：∵菱形ABCD是中心对称图形，且对角线BD与AC交于原点O，
∴点B与点D关于原点O对称，
∵B（6，m），D（n，4），
∴，
∴，
∴m﹣n＝﹣4﹣（﹣6）＝2，
故答案为：2．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∵点F是AC中点，
∴，
∴∠FAE＝∠FEA，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AF＝EF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠BAE＝∠FEA，
∴BA∥EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作BH⊥AC交CA延长线于点H，则∠AHB＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAH＝60°，
∴∠ABH＝30°，
∴，
∵AC＝2AB，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：，
∴BC的长为14．
12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点F在BC的延长线上，且CF＝BC，
∴AD∥CF，AD＝CF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵CD∥AB，FA⊥AB交CD于点E，
∴∠CEF＝∠ABF＝90°，
∴FA⊥CD，
∴四边形ACFD是菱形．
（2）解：∵四边形ACFD是菱形，CD＝AB＝5，
∴DE＝CECD，AE＝FE，
∵∠DEF＝90°，DF，
∴FE6，
∴FA＝2FE＝12，
∴S四边形ACFDFA CD12×5＝30，
∴四边形ACFD的面积为30．
13．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠CDB，
∵DB平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝4，AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠DAG＝90°，
∴DG5，
∵AB∥CD，DG⊥DC，
∴DG⊥AB，
∴S△ADGDG AFAD AG，
∴AF，
∴DF，
∴S菱形ABCD＝AB DF＝4．
14．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴，
在Rt△AOB中，，OB＝1，
∴，
∴OE＝OA＝2．
15．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，证明如下：
如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵由两个全等的矩形纸条叠合在一起，
∴两个矩形等宽，
∴AE＝AF，
∵S四边形ABCD＝AE×BC＝AF×CD，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）设矩形纸条的宽为h，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝10，BD＝24，
∴∠BOC＝90°，，，
∴，
∵，
∴，
即矩形纸条的宽为．