18.2.3正方形培优练习（含答案）

18.2.3正方形培优练习人教版2024—2025学年春季八年级下册
一、选择题
1．下列说法中，不正确的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
2．如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，添加条件后， ABCD不一定是正方形的选项为（　　）
A．AB＝AD，AC＝BD B．AB＝BC，AC⊥BD
C．∠BAD＝90°，AC⊥BD D．∠AOD＝90°，AO＝DO
3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E与点F分别为射线BC，CD上一点，且BE＝CF，连接AE，BF并交于点G，点P为边CD上一点，DP＝1，连接PG，则线段PG长度的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点F为边AB上的一点，连接CF交BD于点G，且CG＝2FG，点E是对角线BD上的一点，连接EF，CE．若EF⊥CE，则△BCE的面积为（　　）
A．8 B．16 C．20 D．24
5．如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：
①BE＝EF；
②矩形DEFG是正方形；
③CG＝AE；
④CG平分∠DCF．
其中结论正确的序号有（　　）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
6．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，若∠BCE＝70°，则∠EAD＝　 　．
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，∠BAE＝15°，F为直线AE上一个动点，连接BF，DF，若DF﹣BF＝2，则AF的长为　 　．
8．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　 　．
9．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是 　 　．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF，给出四种情况：
①若G为BD上任意一点，则AG＝EF；
②若BG＝AB，则∠DAG＝22.5°；
③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；
④若DG：BG＝1：3，则．
则其中正确的是 　 　．
三、解答题
11．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
12．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值．
13．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OF的长．
14．如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：AK＝AH；
（2）求证：四边形AKFH是正方形；
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
15．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．
（1）求证：AO＝BO；
（2）求证：∠HEB＝∠HNB；
（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B B C D D
二、填空题
6．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，
∵DE＝DE，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠EAD＝∠ECD，
又∵∠BCE＝70°，
方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°．
方法2：∴∠BEC＝65°，
∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，
即65°＝45°+∠ECD，
∴∠ECD＝20°，
∴∠EAD＝20°．
故答案为：20°．
7．【解答】解：作点B关于直线AE的对称点Q，连接并延长DQ交AE的延长线于点R，连接BQ、FQ、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴AD＝AB＝2，∠BAD＝90°，
∵AE垂直平分BQ，∠BAE＝15°，
∴AQ＝AB，QF＝BF，
∴AQ＝AD，∠QAE＝∠BAE＝15°，
∴∠DAQ＝90°﹣∠QAE﹣∠BAE＝60°，
∴△ADQ是等边三角形，
∴QD＝AD＝2，
∵QD+QF≥DF，
∴2+BF≥DF，
∴当点F与点R重合时，2+BF＝DF，即DF﹣BF＝2，此时AF＝AR，
作AP⊥QD于点P，则∠APD＝∠APR＝90°，∠PAD＝∠PAQ∠DAQ＝30°，PD＝PQQD＝1，
∴AP，
∵∠PAR＝∠PAQ+∠EAQ＝45°，
∴∠R＝∠PQR＝45°，
∴RP＝AP，
∴AF＝AR，
故答案为：．
8．【解答】
解：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形，故②正确；
∴DE＝DG，∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∵AD＝CD，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故①正确；
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝90°是定值，故③错误；
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝3是定值．故④正确；
故答案为：①②④．
9．【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；
④在Rt△EOF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得OE2+OF2＝EF2，
∵OE＝OF，
∴2OE2＝EF2，
∴DF2+CF2＝CE2+CF2＝EF2＝2OE2，
∵BE＝CF，
∴DF2+BE2＝2OE2．故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
10．【解答】解：连接GC，AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝DC，∠ADG＝∠CDG＝45°，
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠GFC＝90°，
∴四边形GFCE是矩形，
∴EF＝GC，
在△ADG与△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝GC，
∴AG＝EF，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，
∵AB＝BG，
∴∠BAG67.5°，
∴∠DAG＝∠BAD﹣∠BAG＝90°﹣67.5°＝22.5°，故②正确；
当G是BD的中点时，G是AC，BD的交点，即G与O重合，
∴CECD，CFBC，
∴CE＝CF，
∴矩形GFCE是正方形，故③正确；
∵正方形ABCD的边长为2，
∴正方形ABCD的面积＝4，
∵DG：BG＝1：3，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
12．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB＝45°，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝90°﹣∠MEF＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝2，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝90°﹣∠ADE＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∵正方形ABCD中，AC＝AB＝2，
∴ACAB＝2，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝2．
13．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，
，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形；
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF1，
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴DF＝OF1．
∴OF1．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，
∵DH＝CE＝BK，
∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，
在△ADH和△ABK中，
，
∴△ADH≌△ABK（SAS），
∴AK＝AH；
（2）证明：∵△ADH≌△ABK，
∴∠HAD＝∠BAK．
∴∠HAK＝90°，
同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，
∴AH＝AK＝HF＝FK，
∴四边形AKFH是正方形；
（3）解：∵四边形AKFH的面积为10，
∴KF，
∵EF＝CE＝1，
∴KE，
∴AB＝KE＝3，
∵BK＝EF＝1，
∴BE＝BK+KE＝4，
∴AE，
故点A，E之间的距离为5．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABE，∠ADO＝∠BEO，
∵AB＝BE，
∴AD＝BE，
∴△ADO≌△BEO（ASA），
∴AO＝BO；
（2）证明：延长BC至F，且使CF＝BC，连接AF，如图1所示：
则BF＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠DEC＝∠AFB，
∵EB＝CF，BN＝CN，
∴N为EF的中点，
∴MN为△AEF的中位线，
∴MN∥AF，
∴∠HNB＝∠AFB＝∠HEB；
（3）解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示：
则∠PBQ＝90°，
∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠EBQ＝∠ABP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠BEQ，
∵AP⊥DE，∠BAD＝90°，
由角的互余关系得：∠BAP＝∠ADP，
∴∠BEQ＝∠BAP，
在△BEQ和△BAP中，，
∴△BEQ≌△BAP（ASA），
∴PA＝QE，QB＝PB，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQPB，
∴．