1.1 周期变化 课件（共17张PPT） 2024-2025学年北师大版高中数学必修第二册

(共17张PPT)
第一章 三角函数
1.1 周期变化
1.理解周期函数的相关概念.
2.对周期变化的函数有初步的了解与认识，能够用数学刻画生活中的周期变化.
周期现象
春
夏
秋
冬
春分
冬至
秋分
夏至
如图是水车的示意图，水车上A点到水面的距离为y.假设水车5min转一圈，那么y的值每经5min就会重复出现，因此，该距离y随时间的变化也具有周期性.
水车上A点到水面的距离记为y，假设水车5分钟转一圈，那么y的值每经过5分钟就会重复出现，因此，距离y随时间的变化规律也具有周期性。
D
A
概念：每经过相同间隔，都重复发生的现象叫作周期现象。其中相同间隔叫作周期现象的周期。
练习
1.下列是周期现象的有（ ）。
①日出日落；
②一周七天；
③潮涨潮落；
④任意整数除以4的余数。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.2024年是奥运年，下列年份不是奥运年的是（ ）。
A．2050年
B．2060年
C．2088年
D．2108年
例1 讨论函数f(x)＝(－1)[x]的图像和性质.
O
1
y
1
x
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
-1
解：当[x]为偶数时，函数f(x)＝(－1)[x]＝1；
问题1：我们知道数学结合思想在研究函数性质中起到重要作用，你能画出该函数图像吗？
注：y＝[x]是不超过x的最大整数
当[x]为奇数时，函数f(x)＝(－1)[x]＝－1.
在平面直角坐标系中，该函数的图像
如图所示.
问题2：你从函数图像上发现函数的哪些性质？
（1）对于任意一个实数x，每增加2的整数倍，其函数值保持不变.
（2）这种变化是重复进行的，函数f(x)＝(－1)[x]的变化是周期性的.
例2 讨论函数f(x)＝x－[x]，画出它的图像，并观察其性质.
具有重复性：对于任意一个实数x，每增加1的整数倍，其函数值保持不变.
即这种变化是重复进行的，函数f(x)＝x－[x]的变化也是一种周期变化
O
1
y
1
x
-1
-2
-3
-4
2
3
4
解：如图所示，
问题1：请同学们画出该函数图像，并观察这个图象是否也具有重复性？
锯齿波函数
同时可以发现，[ X ]的 位置不同导致函数图像和重复性各不相同。
定义1：一般地，对于函数，，如果存在一个非零常数，使得对任意的，都有且满足，那么函数称作周期函数。非零常数称作这个函数的周期。
定义2：如果非零常数是函数的一个周期，那么 （，）都是函数的周期。如果在函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数称作函数的最小正周期。
注意：周期函数的周期不止一个，但不一定有最小正周期！
思考：周期函数的周期是否唯一？
注意：周期函数的周期不止一个，但不一定有最小正周期！
周期函数的周期不止一个，周期有很多个，nT都是它的周期，我们一般研究
函数的最小正周期。
O
1
y
1
x
-1
-2
-3
-4
2
3
4
函数f(x)＝x－[x]
例3 讨论函数，是否为周期函数，如果是，请指出它的周期。(判断一个函数是否是周期函数，可以通过函数值先直观判断，然后再根据周期函数定义证明！)
解：当时，函数值分别为8，6，8，6，8，···
显然函数为周期函数，且周期
证明如下：
对，
。
即 ，所以2是函数的一个周期。
例4 如图是一个单摆振动的函数图象，那么单摆的振动函数图象是周期变化吗？若是周期变化，其振动的周期是多少？
解：观察图象可知，图象从t=0.8 s开始重复，所以单摆的振动是周期变化.
振动的周期为0.8 s.
1.下列变化不是周期变化的是 ( )
A.地球自转引起的昼夜交替变化
B.钟表分针的运行
C.连续抛一枚质地均匀的骰子，出现点数的情况
D.春去春又回
C
【解析】 地球自转引起的昼夜交替变化、钟表分针的运行、春去春又回都具有周期性，是周期变化.连续抛一枚质地均匀的骰子，出现的点数是随机的，所以不是周期变化，故选C.
2.以下说法正确的是( )
A.若 是函数 的周期，则 也是函数 的周期
B.若 是函数 的周期，则 也是函数 的周期
C.若存在实数 ，对函数 定义域内的任意一个 ，
都有 ，则 为周期函数
D.已知 为函数 定义域内的某一个值， 是非零常数，
若 , 则 是 的周期
A
3.（多选）下列函数图象中具有周期性的是( )
ABD
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
【解析】 由周期变化的特点重复性，可知A,B,D为周期函数.对于C，图象不重复出现，故不合题意.
4.设 是定义在 上的函数，对任意的实数 有 ，当
时， ，则 的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
C
【解析】 因为 ，所以函数 的周期为6，所以
，又当 时， ，所以 ，所以 ，故选C.
5.已知偶函数 满足 ，且 ，则 ( )
A. B. C.0 D.2
A
【解析】 因为 ，所以 ，
即函数 的周期为6，所以
.因为 是偶函数，所以 ，所以
回顾本节课，回答下列问题：
（1）什么是周期函数？
（2）周期函数的周期是否唯一？