1.2 任意角 课件（共21张PPT） 2024-2025学年北师大版高中数学必修第二册

(共21张PPT)
§ 2.1角的概念的推广
知识 目标
1.理解正角、负角和零角的概念.(数学抽象)
2.掌握象限角的特征及其表示方法.(数学抽象)
3.理解终边相同的角的概念,会表示终边相同的角的集合.(逻辑推理)
1.通过角的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．
2．借助角的表示，培养逻辑推理素养.
数学素养
情景导入
问题1：初中对角的定义是什么呢？
（静态定义）具有公共顶点的两条射线组成的图形
问题3：角的范围是多少？
问题2：初中学习过的角有哪些？
（1）锐角：大于小于的角叫作锐角；
（2）直角：等于的角叫作直角；
（3）钝角：大于小于的角叫作顿角；
（4）平角：等于的角叫作平角；
（5）周角：等于的角叫作周角。
0°<α<360°
问题4：在现实生活中有没有不在 范围内的角？
比如跳水的“向前翻腾四周半抱膝3.5”、“过山车运动”、“跳水转体三周 ”等
思考：通过以上的例子说说角是怎么来的？
1任意角的概念
①定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
点O 叫做角α的顶点，
射线OA叫做角α的始边，
射线OB叫做角α的终边.
注意：旋转中心、旋转方向和旋转量
思考1：既然角的旋转有方向，同学们类比实数的学习，角的范围我们可以怎样扩充
1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记成“α”.
2.角的范围由0°~360°推广到任意角后,角的加减运算就类似于实数的加减运算.
特别提醒
按逆时针方向旋转形成的角叫作正角；
按顺时针方向旋转形成的角叫作负角；
如果一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角．
A
B
O
α
A
B
O
α
例1 思考下面角度应该如何表示：
（1）你的手表慢了5分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？
（2）假如你的手表快了1.5小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？
（3）已知∠AOB=60°，将射线OB绕O点顺时针旋转30°到OC，则∠AOC=？如果是逆时针呢？
典例分析
-300
5400
300 900
1.将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为(　　)
A．120°　　　　　B．－120°
C．60° D．240°
A
思考2：在同一坐标下中画出下列各角并观察图像，这些角有何特点？
与300终边相同的角的一般形式为300＋ k · 360° ，k∈Z
写成集合形式就是S={ β| β= 300+ k· 360° ,k∈ Z}
思考： 将30°推广到一般角，结论α应该是什么？
-3300 300 3900
x
y
o
3900
-3300
300
角的终边相同
思考3：如何从任意角的运算方便对
你发现的规律进行解释？
2、终边相同的角
一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S={ β| β=α + k· 360° ,k∈ Z}
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和。
注意：（1）“k∈Z”不能少；
（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
（3）“k· -α360°”与“α”之间是“＋”，“k· 360°－α”可以理解为“k· 360°＋()”；
（4）终边相同的角的表达形式不唯一。如α=30°+k· 360°与β=－330°+k· 360°都表示终边与30°终边相同的角。
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360 ~720 间的角写出来：
(1) 60 ；(2) －21 ；(3) 363 14′.
解：(1) S={β| β=k·360 +60 ，k∈Z },
S中在－360 ～720 间的角是
－1×360 +60 =－280 ；
0×360 +60 =60 ；
1×360 +60 =420 ．
如何求与已知角α终边
相同的最小正角
（即0 ～360 ）？
(2) S={β| β=k·360 －21 ， k∈Z)}
S中在－360 ～720 间的角是
0×360 －21 =－21 ；
1×360 －21 =339 ；
2×360 －21 =699 ．
(3) {β| β=k·360 + 3 14’ ， k∈Z }
S中在－360 ～720 间的角是
－1×360 +3 14’=－356 46’；
0×360 +3 14’=3 14’；
1×360 +3 14’=363 14’．
3 象限角
终边落在第几象限就是第几象限角
注意：
1角的顶点与坐标原点重合，
2角的始边与x轴的非负半轴重合.
x
O
y
思考：如何表示各象限的角？
象限角
想一想：锐角是第几象限的角？
例3、判断下列各角是第几象限角
（1） （2） （3）
解（1）
所以与角与角终边相同，而是第三象限角，所以是第三象限角.
（2）第三象限角
（3）第二象限角
4 轴线角
如果角的终边落在坐标轴上，则该角不属于任何一个象限.
终边在坐标轴上的角：S＝｛α｜α＝k·90°，k∈Z｝
终边落在x轴上的角的集合S＝｛α｜α＝k·180°，k∈Z｝，
终边落在y轴上的角的集合S＝｛α｜α＝k·180°＋90°，k∈Z｝
例4　写出终边落在X轴上的角的集合。
解： 终边落在X轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=00+k 3600,k∈Z}
={β| β=00+2k 1800,k∈Z}
终边落在X轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=1800+k 3600,k∈Z}
={β| β=1800+2k 1800,k∈Z}
={β| β=（2k+1）1800 ，k∈Z}
所以终边落在x轴上的角的集合为
S=S1∪S2={β| β=k 1800 ，k∈Z}
想一想：终边落在y轴上的角的集合呢？
{β| β=900+k 1800 ，k∈Z}
终边落在坐标系的某个区间的角
1.用集合表示终边与45o相同的角
2.用集合表示终边落在阴影部分的角
思考： 将45°推广到一般角，结论α应该是什么？
y
x
O
始边　
终边
5.区间角
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）第一象限的角一定是正角.( )
（2）第二象限角是钝角.( )
（3）锐角都是第一象限角.( )
×
×
√
2.在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角.其中错误说法的序号为________.
3.若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α( )
A.是第三象限角 B.是第四象限角
C.既是第三象限角又是第四象限角 D.不属于任何一个象限
①②④
D
4.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合.
解：终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.