1.3 弧度制 课件（共19张PPT） 2024-2025学年北师大版高中数学必修第二册

(共19张PPT)
§1.3 弧度制
1.了解角的另外一种度量方法——弧度制.
2.能进行角度制与弧度制的互换，能用弧度制表示弧长公式、扇形面积公式.
问题1. 在平面几何中,1°的角(单位角度）是怎样定义的？
在角的度量中，我们选取一个周角，把他360等分而得到角的度量单位(单位角度)，以它为单位去度量其他角的大小.
用度做单位来度量角的制度叫角度制
思考：在几何图形的各种度量中，除了角度之外，其他的度量(长度、面积、体积等)都是以单位线段为基础的.能否把几何度量都建立在一个共同的基础
(长度的度量)上呢？
早在1748年，数学家欧拉就在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中明确提出了弧度制的概念，他提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个周角等于2π弧度，1弧度等于周角的，这一思想将线段与角度联系起来，使得角度也可以用单位长度来度量.
思考： 能否用线段的单位长度来建立角的度量单位，从而把几何度量都建立在一个共同的基础长度的度量上呢？
在初中，我们就学过弧长公式，这个公式直接把长度(弧长)和角度()联系了起来.
我们规定，以角的顶点为圆心画单位圆（半径为单位长度1的圆），用这个角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角.
探讨：在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应.当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧长不相等.
当时
半径r r1=1 r2=2 r3=3 r4=4
弧长l
弧长与半径的比值
当n=600时呢？
由此，你发现什么？
结论：圆心角不变，则弧长与半径比值不变.
弧度定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．其单位为rad，读作弧度。
1弧度=1rad=1
特别的，在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角
叫做1弧度的角．在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数，这种以弧度作为单位来度量角的方法称作是弧度制.
注：角的正负由角的终边的旋转方向决定.
弧度数与实数一一对应，正角的弧度数是一个正数，
负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.
思考：角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系呢？
如图，以角的顶点为圆心画单位圆（半径为单位长度1的圆），
则角(设)与其对应的弧长有什么关系？
①当时，，
即在单位圆中，1个圆周所对应的弧长是，
②当时，，
即在单位圆中，的角所对应的弧长是，
③当时，，
即在单位圆中，长度为1的弧所对应的圆心角是(度).
角度与弧度制的换算
1.弧度与角度的换算公式：
； .
注意：弧度制与角度制不能混用
2.弧度制的应用：
①弧度与角度换算.
②对于任意角，每一个角都可以表示成：
角度制，
弧度制.
例1 (1)把45°化成弧度制； (2)把600°化成弧度制.
解：
(1)；
(2).
例2 (1)把化成角度制； (2)把化成角度制.
解：
(1)；
(2).
1.把下列角度与弧度进行互化：
（1）20° （2）-800° （3) (4)-
在进行角度制和弧度制的换算时,应注意:
(1) 用“弧度”为单位度量角时,“弧度”两字或“rad”可以不写.但用“度”(°)为单位时不能省略.
(2) 用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少的形式,如无特别要求,不必把写成小数.
(3) 度化为弧度时,应先将分、秒化为度,再化为弧度.
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
弧度
特殊角角度与弧度的换算
思考：若某扇形的圆心角为 α rad（n°），求该扇形的弧长和面积？
扇形的弧长公式与面积公式
1.已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为 .
2.已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形面积为 .
1.在半径为5 cm的扇形中,圆心角为2,则扇形的面积为(　　)
A.25 cm2 B.10 cm2 C.15 cm2 D.5 cm2
2.角α=-2,则α所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.在半径为3 cm的圆中, 的圆心角所对的弧长为(　　)
A
C
A