1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课件（共16张PPT） 2024-2025学年北师大版高中数学必修第二册

(共16张PPT)
1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
能借助单位圆了解正弦函数、余弦函数的有关性质(定义域、值域、最值、周期性、单调性、符号)．
水车又称孔明车，是我国最古老的
农业灌溉工具，是先人们在征服世界的
过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍
贵的历史文化遗产.
相传，水车在汉灵帝时由毕岚造出
雏形，三国时经孔明改造完善后在蜀国
推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，
至今已有1700余年历史．
如果将水车边缘看成一个圆，如何
确定水车边缘上的点呢？
情景导入
探究一
O
α
如图，在单位圆中，角的终边与单位圆相交于点,
思考：的范围是多少？
问题1：写出正弦函数y＝sin，y＝cos表达式？
y＝sin=，y＝cos
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
3.周期性
由三角函数的定义：
（1）终边相同的角正弦函数值相等,
即对任意
（2）终边相同的角余弦函数值相等,
即对任意
正弦函数和余弦函数均是周期函数，
对任何且，均是它们的周期，最小正周期为.
思考：正弦函数和余弦函数是否为周期函数，如果是说说周期，如果不是，说明理由.
3.周期性
正弦函数和余弦函数均是周期函数，
对任何且，均是它们的周期，最小正周
期为.
4.单调性
如图1，在单位圆中，当角由增加时，点P的纵坐标怎样变化？说明了正弦函数的哪个性质？
如图2，在单位圆中，当角由增加到时，点P的纵坐标怎样变化？说明了正弦函数的哪个性质？
正弦函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减
图1
图2
如图3，在单位圆中，当角由增加到时，点P的横坐标怎样变化？说明了余弦函数的哪个性质？
如图4，在单位圆中，当角由增加到时，点P的横坐标怎样变化？说明了余弦函数的哪个性质？
图3
图4
在区间上单调递减
在区间上单调递增
归纳总结
正弦函数单调性：
对任意的，正弦函数在区间上单调递增
在区间上单调递减.
余弦函数的单调性
对任意的，余弦函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增.
例1 借助单位圆，讨论函数v＝sin α在给定区间上的单调性.
解：如图，(1)函数v＝sin α在区间 上单调递增；
(2) 函数v＝sin α在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减.
探究二：正弦函数值和余弦函数值的符号
规律：
正弦函数值对于第一、二象限角是正的，
对于第三四象限角是负的.
同理，余弦函数值在第一四象限角是正的，
在第二、三象限角是负的.
想一想：根据正弦，余弦函数的定义说说函数值在各象限的符号？
简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦
y=sinα
例2.求函数在区间上的最大值和最小值,并写出取得最大值和最小值时自变量α的值.
解：如图
当时，函数取得最大值，
最大值为，
当时，函数取得最小值,
最小值为.
例3 如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在象限
为(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：因为P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，
所以，即，
所以角θ所在象限为第二象限.故选B.
B
1.函数y=ln sin x的定义域为 .
2.函数的增区间为 ,减区间为 .
由题意知sin x>0.又y=sin x在[0,2π]内sin x>0满足 0(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)
(1)
当 时;当时,,
故函数的值域为
(2)当x=0时,;当或时,,故函数的值域为
3.求下列函数的值域,并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值.
(1) ; (2).
本课重点
1.单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
2.正弦函数值和余弦函数值的符号：一均正、二正弦、三均负、四余弦．
1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．
思想方法