1.4.3 诱导公式与对称 课件（共16张PPT） 2024-2025学年北师大版高中数学必修第二册

(共16张PPT)
1.4.3 诱导公式与对称
1. 利用单位圆的对称性推导诱导公式.
2. 掌握三角函数的诱导公式.（难点）
3. 能运用诱导公式化简简单的三角函数式及证明简单的三角恒等式.（重点）
关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标相反.
思考：任意角，与，与有什么关系？
o
x
y
问题2.与的正弦、余弦函数值有什么关系？为什么会存在这种关系？
问题1.与的终边有什么位置关系？它所对应、 的坐标有什么关系？
探究一：，与，的关系
，
，
在平面直角坐标系中，设任意角α和- α的终边与单位圆的交点分别为点P和P′，如图，点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反.
sin(-α)=-sinα，所以正弦函数v= sinα是奇函数；
cos(-α) =cosα，所以余弦函数u=cosα是偶函数.
归纳总结
问题3：与的终边存在什么位置关系？设其与单位圆的交点分别为、，则它们的横纵坐标有什么关系？
x
y
O
α
α－π
P
P'
P(u,v)
P' (－u,－v)
1
x
y
O
α
α＋π
1
P
P'
P(u,v)
P' (－u,－v)
点P与点P'关于原点对称，横纵坐标互为相反数
探究二：，与，的关系
思考：任意角，与，与有什么关系？
探究三：角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系
问题4.设任意角α的终边与单位圆的交点为P，角π－α与单位圆的交点为P'，则它们的位置关系是怎样的？横纵坐标又有什么关系？
点P与点P'关于y轴对称；横坐标互为相反数，纵坐标相等，
若P（u,v）,则P'（－u,v）
x
y
O
α
π－α
1
P'
P(u,v)
P' (－u,v)
思考：任意角，与，与有
什么关系？
sin(-α)=-sinα，所以正弦函数v= sinα是奇函数；
cos(-α) =cosα，所以余弦函数u=cosα是偶函数.
归纳总结
思考：在学习上述公式时，轴对称、中心对称有什么作用
x
y
O
α
第二象限角变为第一象限角
x
y
O
α
第三象限角变为第一象限角
x
y
O
α
第四象限角变为第一象限角
方法：第一步先从形的角度入手；第二步将形的关系代数化；第三步体会利用数形结合研究诱导公式与对称的关系.
任意角的正弦或余弦函数都可以通过对称化为第一象限的锐角三角函数.
圆的对称性
坐标间的关系
角与角的关系
三角函数的关系
例1 求下列三角函数的值：
⑴； ⑵； ⑶； ⑷.
解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
.
小结：利用诱导公式解决给角求值问题的步骤：
负化正
大化小
小化锐
锐求值
用角α与－α关系来转化
用周期将角化为之间的角
用角π－α将大于90°的角化为锐角
得到锐角的三角函数后求值
(1)(2);
(3).
答案：(1)(2)；(3).
练一练
题型一.求下列各式的值：
题型二：条件求值
例2.已知，求的值.
∴
解：∵
解决条件求值问题的两技巧：
寻找
差异
转化
解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系
可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化
1.下列各式不正确的是（ ）
B.
C.
D.
A.
B
2. 化简
解： = = 1.
3：已知
证明：
证明：由，得
所以 .
x
y
O
α
α＋π
1
P
P'
角α与角α＋π、 α－π
sin（απ）=－sinα
cos（απ）=－cosα
角α与角π－α
sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=－cosα
O
α
π－α
1
P
P'
x
y
角α与角－α
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
O
α
－α
1
P
P'
x
y