选择必修二 第五章 一次函数的导数及其应用章末检测试题（含解析）

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第五章 一次函数的导数及其应用章末检测试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列求导计算错误的是(　 　)
　　A. B. C. D.
2.曲线y＝x3-3x上切线平行于x轴的点有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
3.一个物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为s=2+10t-t2，则该物体在4秒末的瞬时速度是( )
A.2米/秒 B.3米/秒 C.4米/秒 D.5米/秒
4.函数f(x)＝的大致图象是(　　 )　　
5.若函数f(x)＝x2－ax＋lnx有极值，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0，2) D．(2，＋∞)(－∞，2)
6.已知函数f(x)＝2x2－ln x在区间(2m，m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是(　　)
A. [，1) B. [，＋∞) C. [，1) D. [0，1)
7.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为t＝0时钍234的含量．已知t＝24时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2，则N（96）＝（　　）
A．12贝克 B．12ln2贝克 C．24贝克 D．24ln2贝克
8.若定义在(0,＋∞)上的函数满足，则不等式 的解集为( )
A.[1,＋∞) B.[e,＋∞) C.(0,1] D.[,＋∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为1,则下列式子的值等于1的是(　　)
A. B.
C. D.
10.直线能作为下列函数图象的切线的有( )
A.f(x)= B.f(x)=x4 C.f(x)= D. f(x)=+x
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)．则下列结论正确的是( )．
A．当x＜0时，f(x)＝(x＋1)ex B．函数f(x)有五个零点
C．若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是f(－2)≤m≤f(2)
D．x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|＜2恒成立
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式
(x2－2x－3)f '(x)＞0的解集为 ．
13.已知函数 f(x)=2x+2-x，则 f(x)在区间[-,]上的最大值为 ．
14.若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知a为实数，f(x)＝(x2-4)(x-a).
⑴若a＝2，求导数f′(x);
⑵若f′(-1)=0,求f(x)在[-2，2]上的最大值和最小值.
16.（本题满分15分）
① x＝2是函数f(x)的一个极值点；② f′(x)的一个零点为x＝1.从这两个条件中任意选择一个作为题中的条件，并作出解答．
已知函数f(x)＝ax2＋2x－ln x的导函数为f′(x)，且________．
⑴求a的值；
⑵求函数f(x)的单调区间．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
17.（本题满分15分）
已知函数f(x)=.
⑴当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
⑵若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
18.（本题满分17分）
已知函数f(x)＝.
⑴设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
⑵证明：当时，f(x)≥0.
19.（本题满分17分）
已知函数.
⑴若a=-2，求f(x)的极值；
⑵当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导计算错误的是(　 　)
　　A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,选项A正确；
，选项C正确；
,选项D正确；
,选项B错误.故选B.
2.曲线y＝x3-3x上切线平行于x轴的点有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】 由y＝x3-3x，得y′＝3x2-3，
由3x2-3＝0，得x＝±1，
当x＝-1时，y＝2，符合题意，
当x＝1时，y＝-2，符合题意．
∴曲线y＝x3-3x上切线平行于x轴的点有2个．故选C．
3.一个物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为s=2+10t-t2，则该物体在4秒末的瞬时速度是( )
A.2米/秒 B.3米/秒 C.4米/秒 D.5米/秒
【答案】A
【解析】∵s=2+10t-t2，
∴s′=10-2t.
当t=4时，s′=10-2×4=2.故选A.
4.函数f(x)＝的大致图象是(　　 )
【答案】D　
【解析】∵ f(x)的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴ f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，∴ A，C错误；当x>0时，f′(x)＝，
故当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
∴ D错误，B正确，故选B.
5.若函数f(x)＝x2－ax＋lnx有极值，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0，2) D．(2，＋∞)(－∞，2)
【答案】B
【解析】∵f(x)＝x2－ax＋lnx,x>0
∴f′(x)=.
∵函数f(x)＝x2－ax＋lnx有极值，
∴x2-ax+1=0在区间(0,+∞)上有解，即(x∈(0,+∞)),
当a=2时，f′(x)=,f(x)在(0,+∞)单调递增，没有极值，
∴a的取值范围是(2，＋∞)，故选B．
6.已知函数f(x)＝2x2－ln x在区间(2m，m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是(　　)
A. [，1) B. [，＋∞) C. [，1) D. [0，1)
【答案】A.
【解析】∵ f(x)＝2x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝4x－，
令f′(x)>0，即4x－>0，解得x>，
∴ f(x)的单调递增区间为(，＋∞).
∵ f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递增，
∴ (2m，m＋1) (，＋∞)，即,解得≤m<1，
∴ 实数m的取值范围是[，1)，故选A.
7.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为t＝0时钍234的含量．已知t＝24时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2，则N（96）＝（　　）
A．12贝克 B．12ln2贝克 C．24贝克 D．24ln2贝克
【答案】C
【解析】由可得 N′（t）＝，
当t＝24时，N′（24）＝＝﹣8ln2，
解得N0＝2×8×24＝384，
∴N（t）＝，当t＝96时，N（96）＝＝24，
故选C．
8.若定义在(0,＋∞)上的函数满足，则不等式 的解集为( )
A.[,＋∞) B.[e,＋∞) C.(0,1] D.[1,＋∞)
【答案】D
【解析】由题意知.令，
则，
∴在上单调递增，且.
∴不等式，等价于，得x≥1.
故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为1,则下列式子的值等于1的是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】f′(x0),选项A正确；=f′(x0)，选项B正确；
=f′(x0)，选项C正确；=-f′(x0)，选项D错误.故选ABC.
10.直线能作为下列函数图象的切线的有( )
A.f(x)= B.f(x)=x4 C.f(x)= D. f(x)=+x
【答案】CD
【解析】直线，对.f(x)=，可得f′(x)=不成立,∴选项A不正确；
对 .f(x)=x4，f′(x)=4x3=可以成立，∴选项B正确；，
对f(x)=，f′(x)=可以成立,∴选项C正确；
对f(x)=+x，f′(x)=+1=不成立．∴选项D错误.
故选BC.
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)．则下列结论正确的是( )．
A．当x＜0时，f(x)＝(x＋1)ex B．函数f(x)有五个零点
C．若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是f(－2)≤m≤f(2)
D．x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|＜2恒成立
【答案】AD
【解析】设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x－1)ex，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝ex(－x－1)，即f(x)＝ex(x＋1)，故A正确．
当x＞0时，f(x)＝，∴f′(x)=，令f '(x)＝0，解得x＝2．
当0＜x＜2时，f '(x)＞0；当x＞2时，f '(x)＜0，
∴函数f(x)在(0，2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减，
∴当x＝2时，函数f(x)取得极大值＞0．
当0＜x＜2时，f(0)·f(2)＜0，又f(1)＝0，∴函数f(x)在(0，2)内仅有一个零点1．
当x＞2时，f(x)＝＞0，∴函数f(x)在(2，＋∞)上没有零点，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上仅有一个零点．
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴函数f(x)在(－∞，0)上仅有一个零点－1．
又f(0)＝0，故函数f(x)是定义在R上有3个零点．故B错误．
作出函数f(x)的大致图象，由图可知，
若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是
－1＜m＜1．故C错误．
由图可知，对x1，x2R，|f(x2)－f(x1)|＜|1－(－1)|＝2，故D正确.故选AD．
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式
(x2－2x－3)f '(x)＞0的解集为____________．
【答案】(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞).
【解析】由可导函数f(x)的图象可得，f '(x)>0 x<-1或x>1,f '(x)<0 -1(x2－2x－3)f '(x)＞0 (x+1)(x-3)f '(x)＞0，
∴(x2－2x－3)f '(x)＞0解得x<-1或-13.
即(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞).
13.已知函数 f(x)=2x+2-x，则 f(x)在区间[-,]上的最大值为 ．
【答案】
【解析】∵ f(x)=2x+2-x，∴f '(x)=.
令f '(x)=0，得x=0,
∴f(x)在[-,0)上单调递减，在(0,]上单调递增.
而,,
∴f(x)在区间[-,]上的最大值为.
14.若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】(－∞，－4)∪(0，＋∞).
【解析】∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，
设切点为(x0，y0)，则y0＝(x0+a)，切线斜率k＝(x0+1+a)，
切线方程为y (x0+a)＝(x0+1+a)(x－x0)，
∵切线过原点，
∴ (x0+a)＝(x0+1+a)(－x0)，
整理得＋ax0－a＝0，
∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，
∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知a为实数，f(x)＝(x2-4)(x-a).
⑴若a＝2，求导数f′(x);
⑵若f′(-1)=0,求f(x)在[-2，2]上的最大值和最小值.
【答案】⑴3x2-4x-4; ⑵(x)在[-2，2]上的最大值为，最小值为.
【解析】⑴∵f(x)＝(x2-4)(x-a)＝x3﹣ax2﹣4x+4a，
∴f '(x)=3x2-2ax-4
当a＝2时，f '(x)=3x2-4x-4.
⑵∵f′(-1)=3+2a-4=0,
∴a=,
f(x)＝(x2-4)(x-).
∴由f '(x)=3x2-x-4=0得x1＝-1，x2＝.
∵f(-2)=0，f(-1)=，f()=，f(2)=0，
∴f(x)在[-2，2]上的最大值为，最小值为.
16.① x＝2是函数f(x)的一个极值点；② f′(x)的一个零点为x＝1.从这两个条件中任意选择一个作为题中的条件，并作出解答．
已知函数f(x)＝ax2＋2x－ln x的导函数为f′(x)，且________．
⑴求a的值；
⑵求函数f(x)的单调区间．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】⑴－; ⑵ f(x)的单调递增区间是(1，2)，单调递减区间是(0，1)，(2，＋∞).
【解析】⑴若选①：∵ f′(x)＝2ax＋2－，又x＝2是函数f(x)的一个极值点，
∴ f′(2)＝4a＋＝0，解得a＝－.
若选②：∵ f′(x)＝2ax＋2－，又 f′(x)的一个零点为x＝1，
∴ f′(1)＝2a＋＝0，解得a＝－.
⑵由(1)得f(x)＝－x2＋2x－ln x，则f′(x)＝－x＋2－＝ .
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝2.当f′(x)>0时，12.
∴ f(x)的单调递增区间是(1，2)，单调递减区间是(0，1)，(2，＋∞).
17.已知函数f(x)=.
⑴当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
⑵若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
【答案】⑴；⑵(1，+∞).
【解析】⑴f(x)=,,
∴f(1)=,,
∴切线方程为，即
⑵,
①若a≤0,则恒大于0，即f(x)在R上单调递增，无极小值，舍去.
②当a>0时，f(x)在(-∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增，则极小值为
,即,
令h(x)=,x∈(0,+∞),,则h(x)在(0,+∞)单调递减，∵h(1)=0，∴当x∈(0,1)时，h(x)>0;当x∈(1，+∞)时,h(x)<0.
则的解集为(1，+∞).
综上a的取值范围为(1，+∞).
18.已知函数f(x)＝.
⑴设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
⑵证明：当时，f(x)≥0.
【答案】⑴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2);
⑵详见解析.
【解析】⑴f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)＝,
由x＝2是f(x)的极值点，得f′(2)＝=0
∴a=.
∴f(x)=,f′(x)＝.
当02时，f′(x)>0.
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2).
⑵当时，f(x)≥,
设g(x)=(x∈(0,+∞)),g′(x)=,
当01时，g′(x)>0.
∴x＝1是g(x)的最小值点.
故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当时，f(x)≥0.
19.已知函数.
⑴若a=-2，求f(x)的极值；
⑵当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
【答案】⑴详见解析；⑵详见解析.
【解析】⑴,
,x∈(-1,+∞),
当x∈(-1,0)时，在(-1,0)上单调递减；当x∈(0,+∞)时，
在(0,+∞)上单调递增.
∴当x=0时，取极小值，极小值为0，无极大值.
⑵①当a=0时，f(1)=-1<0,不符合当x≥0时，f(x)≥0.
②当a>0时，当时，不符合当x≥0时，f(x)≥0.
③当a<0时，f(0)=0,,0
令g(x)=,,
记h(x)=-ax-2a-1,h(x)单调递增，h(0)=-2a-1,
(i)当-2a-1≥0，即a≤时，h(x)≥0,≥0,g(x)单调递增,即g(x)≥g(0)=0，
∴≥0，单调递增,
∴当x≥0时，f(x)≥f(0)=0.
(ii)当-2a-1≥0，即当时，h(x)<0,<0,g(x)单调递减,g(x)即<0,单调递减,综上，当x≥0时，f(x)≥0，a的取值范围(-∞,].
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