1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 教案

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1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理
——新授课
一、教材分析
本节课是湘教版初中数学七年级下册第一章第二节《乘法公式》中的内容，本节是在学生学方差公式和完全平方公式的基础上，进一步运用这些公式进行复杂的代数式计算和推理。内容包括公式的综合运用、代数式的化简与求值、以及简单的代数推理。它是乘法公式的综合应用，也是后续学习“因式分解”和“分式运算”的重要基础。掌握本节内容对提高学生的代数运算能力和逻辑推理能力具有重要意义。
二、学情分析
知识储备：已学习平方差公式和完全平方公式，但对公式的综合运用能力较弱，容易混淆公式或选择不当。
能力水平：具备初步的代数运算能力，但对公式的灵活应用和代数推理能力不足。且抽象概括能力较弱，难以从复杂问题中识别公式的应用场景。
学习心理：对复杂运算和推理题有畏难情绪，缺乏学习兴趣，需要教师通过分层练习和直观化教学逐步建立信心。
三、教学目标
1.能熟练运用平方差公式和完全平方公式进行复杂的代数式计算。
2.会利用乘法公式化简代数式并求值。
3.能运用乘法公式进行简单的代数推理（如证明恒等式）。
4. 经历从具体问题到抽象公式的综合运用过程，培养观察、类比能力。
四、重点难点
重点：灵活选择平方差公式和完全平方公式进行计算和化简，运用乘法公式进行简单的代数推理。
难点：在复杂问题中识别并选择适当的乘法公式。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、复习回顾
【问题】什么是平方差公式和完全平方公式？
【回顾】平方差公式：(x+y)(xy)=x2y2
完全平方公式1：(x+y)2=x2+2xy+y2
完全平方公式2：(xy)2=x22xy+y2
注意：x,y可以是单项式，也可以是多项式。
套用公式计算时，注意将底数带上括号
二、探究新知
【做一做】
运用乘法公式计算： (x + 1)(x2 + 1)(x - 1).
分析：将第二个多项式与第三个多项式交换位置后可连续运用平方差公式进行计算。
解：原式= (x+1)(x1)(x2 +1)
= (x21)(x2+1)
= x4 1.
【举一反三】
运用乘法公式计算： (2x2)(4x2+4)(2x+2).
解：原式= (2x2)(2x+2)(4x2+4)
= (4x24)(4x2+4)
= 16x4 16.
三、例题探究
例7 运用乘法公式计算：
（1） (a + b + c)2 ； （2） (a – b + c)(a + b – c).
（1）分析：可以把a + b看成一个整体，也可以把b + c或a + c看成一个整体。
解：(a + b + c)2
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
（2）解：原式= [ a – (b – c)][a + (b – c)]
= a2 – (b – c)2
= a2 – (b2 – 2bc + c2)
= a2 – b2 + 2bc – c2.
归纳：找符号相同的项和符号相反的项。
【举一反三】
运用乘法公式计算：
（1）(a–2b+3c)(a+2b–3c)； （2）(a+2b+c)2.
解：（1）原式= [a–(2b3c)][a+(2b3c)]
= a2–(2b3c)2
= a2–(4b2–6bc+9c2)
= a2–4b2 +6bc+9c2.
（2）原式= [(a + 2b)c]2
= (a + 2b)22(a + 2b)c + c2
= a2 + 4ab + 4b2 2ac4bc + c2
【做一做】
例8 运用乘法公式计算：
(1) (a+b)2+ (a-b)2； (2) (a+b)2-(a-b)2。
解：（1）(a+b)2+(a-b)2
= a2+2ab+b2+a2-2ab+b2
= 2a2+2b2
（2）法一：原式= [(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]= 2a·2b= 4ab
法二：原式= a2+2ab+b2-a2+2ab-b2= 4ab
归纳：1.已知a+b和ab，求a2+b2、(a-b)2：
a2+b2=-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab
2.已知a-b和ab，求a2+b2、(a-b)2：
a2+b2=2ab (a+b)2=(a-b)2+4ab
3.已知a+b和a-b，求a2+b2、ab：
a2+b2= ab=
例9 运用乘法公式计算: (x + y)3 .
解：(x + y) = (x + y)( x + y)
= (x + y)(x + 2xy + y2)
= x + 2x y + xy2 + yx + 2xy + y3
= x + 3x y + 3xy + y .
【思考】
先填空：(1) 152 = 100×1×___ ＋ 25；
(2) 252 = 100×2× ＋ 25；
(3) 352 = 100× × ＋ .
由此猜测：十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数可以表示为 ，它的平方可表示为100×___× ＋ .
四、课堂练习
1.对式子(a-b-c)2 的变形不正确的是 (　 )
A.[a-(b+c)]2　　　 B.[(a-b)-c]2　　　 C.[(b+c)-a]2　　　 D.[a-(b-c)]2
2.计算(2a+3b)2(2a-3b)2的结果是 (　　)
A.4a2-9b2 B. 16a4-72a2b2+81b4 C. (4a2-9b2)2 D. 4a4-12a2b2+9b4
3.运用乘法公式计算：
(1)(x+2y)(x2-4y2)(x-2y). (2)(a+b-3)(a-b+3). (3)(x2+x-3)(x2-x-3).
五、课堂小结
什么是完全平方公式，在运用过程中需注意什么？
六、作业布置
课堂作业：P21 T1
家庭作业：《学法》P19-19 A组（基础一般）、B组（基础较好）、C组（选做）
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