2025年九年级数学中考三轮冲刺练习反比例函数压轴题综合训练（含答案）

2025年九年级数学中考三轮冲刺练习反比例函数压轴题综合训练
一、选择题
1．如图，A、B是函数y上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（　　）
①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝4，则S△ABP＝16
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
2．已知函数y的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：
①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；
②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；
③无论点P在什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP；
④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为（2，）．
其中正确的结论个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：
①△OCN≌△OAM；②ON＝MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，）．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是（　　）
（1，） B．（，1）
C．（2，） D．（，2）
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．如图，直线y＝﹣x+1与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y（k≠0）上，则a＝　 　．
7．如图，在Rt△OAB中，OA＝4，AB＝5，点C在OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y（k≠0）的图象经过圆心P，则k＝　 　．
8．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y和y的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
①；
②阴影部分面积是（k1+k2）；
③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是　 　（把所有正确的结论的序号都填上）．
9．如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
①若k＝4，则△OEF的面积为；
②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；
④若DE EG，则k＝1．
其中正确的命题的序号是　 　（写出所有正确命题的序号）．
10．如图，反比例函数y的图象经过点（﹣1，﹣2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连接BP．
（1）k的值为　 　．
（2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是　 ．
三、解答题
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），与x轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EFAB时，求a的值．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数y（k＜0）图象上．
（1）求a，b，m的值；
（2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值；
（3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值．
13．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
15．如图，一次函数yx+1的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B C C C B
二、填空题
6．答案为：2．
7．答案为：．
8．答案为：①④．
9．答案为：②④．
10．答案为：（2，）．
三、解答题
11．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），
∴，
∴m＝6，
∴反比例函数的表达式为y，
∴2，
∴n＝3，
∴B（3，2），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+8；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，
则此时，△PAB的周长最小，
∵点A（1，6），
∴E（﹣1，6），
设直线BE的解析式为y＝mx+c，
∴，
解得，
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝0时，y＝5，
∴点P的坐标为（0，5）；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，
∴直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a，
∴E（，0）．F（0，8﹣a），
∵EFAB，
∴，
解得a＝6或a＝10．
12．【解答】解：（1）把A（2，a）代入y＝2x得：a＝2×2＝4，
∴A（2，4），
把A（2，4）代入y＝﹣x+m得：4＝﹣2+m，
∴m＝6；
∴直线y＝﹣x+m为y＝﹣x+6，
把B（b，0）代入y＝﹣x+6得：0＝﹣b+6，
∴b＝6，
∴a的值为4，m的值为6，b的值为6；
（2）设C（t，），
由（1）知A（2，4），B（6，0），而O（0，0），
①当AC，BO为对角线时，AC，BO的中点重合，
∴，
解得，
经检验，t＝4，k＝﹣16符合题意，
此时点C的坐标为（4，﹣4）；
②当CB，AO为对角线时，CB，AO的中点重合，
∴，
解得，
经检验，t＝﹣4，k＝﹣16符合题意，
此时点C的坐标为（﹣4，4）；
③当CO，AB为对角线时，CO，AB的中点重合，
∴，
解得，
∵k＝32＞0，
∴这种情况不符合题意；
综上所述，C的坐标为（4，﹣4）或（﹣4，4），k的值为﹣16；
（3）如图：
设直线AC解析式为y＝px+q，把A（2，4）代入得：4＝2p+q，
∴q＝4﹣2p，
∴直线AC解析式为y＝px+4﹣2p，
在y＝px+4﹣2p中，令y＝0得x，
∴D（，0），
∵E与点D关于y轴对称，
∴E（，0），
∵B（6，0），
∴BE＝6，BD＝6，
∵△ABD与△ABE相似，
∴E只能在B左侧，
∴∠ABE＝∠DBA，
故△ABD与△ABE相似，只需即可，即BE BD＝AB2，
∵A（2，4），B（6，0），
∴AB2＝32，
∴32，
解得p＝1，
经检验，p＝1满足题意，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
∵有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，
∴直线AC与反比例函数y（k＜0）图象只有一个交点，
∴x+2只有一个解，
即x2+2x﹣k＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即22+4k＝0，
解得k＝﹣1，
∴k的值为﹣1．
13．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：m＝2×3＝﹣2a，
解得：a＝﹣3，m＝6，
即反比例函数的表达式为：y，点B（﹣3，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
则一次函数的表达式为：y＝x+1；
（2）设点C（x，0），
由点A、B、C的坐标得，AB2＝50，AC2＝（x﹣2）2+9，BC2＝（x+3）2+4，
∵∠BCA＝90°，
则AB2＝AC2+BC2，
即50＝（x﹣2）2+9+（x+3）2+4，
解得：x＝3或﹣4（舍去），
即点C（3，0）．
14．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，
∴点A的坐标为（0，5），
将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，
∴a＝1，
∴B（1，4），
将B（1，4）代入y得，4，
解得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，
令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，
∴N（5，0），
∴OA＝ON＝5，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，5），B（1，4），
∴，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为y＝k1x+b1，
将M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+3，
设点C的坐标为（t，t+3），
∵ |xB﹣xC|，
解得t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组，
解得，或，
∴E（﹣4，﹣1），
画出图形如图所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，
∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，
∴b2＝﹣5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组得，或，
∴D（﹣1，﹣4），
则直线AD的解析式为y＝9x+5，
解方程组得，，
∴P（，），
∴，
，
∴m．
15．【解答】解：（1）把x＝a，y＝3代入yx+1得，
，
∴a＝4，
把x＝4，y＝3代入y得，
3，
∴k＝12；
（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，
∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，
把y＝6代入y得x＝2，
∴C（2，6），
①如图1，
作CF⊥x轴于F，交AB于E，
当x＝2时，y2，
∴E（2，2），
∵C（2，6），
∴CE＝6﹣2＝4，
∴xA8；
②如图2，
当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，
∵A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，
∴yP＝1+3﹣0＝4，
当y＝4时，4，
∴x＝3，
∴P（3，4），
当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的 ABQ′P′），
由yQ′﹣yB＝yP′﹣yA得，
0﹣1＝yP′﹣3，
∴yP′＝2，
当y＝2时，x6，
∴P′（6，2），
综上所述：P（3，4）或（6，2）．