2025年九年级数学中考三轮冲刺反比例函数与一次函数交点压轴题综合训练（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025年九年级数学中考三轮冲刺反比例函数与一次函数交点压轴题综合训练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 727.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-28 10:51:18 | ||
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文档简介
2025年九年级数学中考三轮冲刺反比例函数与一次函数交点压轴题综合训练
一、选择题
1．已知反比例函数y（k≠0）与一次函数y＝2﹣x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
2．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解集是（ ）
A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在y的图象上任取点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C，AB＝BC．若△OAC的面积为8，则k的值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0），，则k的值是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．已知yx与y（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y（x＞0）上点C处，则B点坐标为 ．
7．如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 ．
8．如图，点A（2，2）在双曲线y（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 ．
9．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y的图象过点C，则k的值为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 ．
三、解答题
11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1．
（1）求k的值及点B的坐标．
（2）点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当时，求PM的最小值．
12．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b和反比例函数y的图象相交于点A（1，m），B（n，1）．
（1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式﹣x+b的解集．
13．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式mx+n的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．
14．在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1+x2＝y1+y2时，称点N是点M的等和点．
（1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是点M等和点的有 ；
（2）若点M（3，﹣2）的等和点N在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）已知，双曲线y1和直线y2＝x﹣2，满足y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0．若点P在双曲线y1上，点P的等和点Q在直线y2＝x﹣2上，求点P的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y的图象交于M（，4），N（n，1）两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求△OMN的面积；
（3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 A A C C C
二、填空题
6．【解答】解：由题意，∵A在yx上，
∴m＝2．
∴A（2，2）．
又A在反比例函数y上，
∴k＝2×24．
∴反比例函数为y．
由翻折的性质，BC⊥OA，
∴可设BC为yx+b，
∴B为（0，b）．
设直线BC与直线OA的交点为P，
∴．
∴P（b，b）．
又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），
∴C（b，b）．
又C在反比例函数y上，
∴bb＝4．
∴b＝4或b＝﹣4（舍去）．
∴B（0，4）．
故答案为：（0，4）．
7．【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），
∴OM＝ON＝1，
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB，
∴四边形AOBP是正方形，
∴PB∥x轴，PB＝OB，
∴△DBN∽△MON，
∴1，
∴BD＝BN，
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB＝2ON＝2，
∴PB＝OB＝2，
∴P（2，2），
∵点P在反比例函数的图象上，
∴k＝2×2＝4，
故答案为：4．
8．【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y（x＞0）上，
∴2．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y．
如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．
∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG．
∴C点的横坐标为．
又C在双曲线y上，
∴C（，2）．
故答案为：（，2）．
9．【解答】解：由题意，建立方程组，
∴或．
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）．
∴A、B关于原点对称．
∴AB的垂直平分线OC过原点．
∵直线AB为y＝2x，
∴直线OC为y．
∴可设C（a，）．
又△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB．
∴根据两点间的距离公式可得：．
∴a＝±2．
∴C（2，）或（﹣2，）．
将点C代入y得，
k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
10．【解答】解：∵直线y1＝k1x+b与双曲线y2（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，
∴k2＝﹣2×3＝﹣2m
∴m＝3，
∴B（3，﹣2），
∵BP∥x轴，
∴BP＝3，
∴S△ABP．
故答案为：．
三、解答题
11．【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+2，得出y＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y，
联立解析式得，
解得或，
∴B（﹣3，﹣1）；
（2）∵，
∴P是AB的中点，
∴P（﹣1，1），
∴OB的解析式为yx，
当PM取得最小值时，PM⊥OB，
∴设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，
代入p（﹣1，1）得3+b＝1，
解得b＝﹣2，
∴直线PM为y＝﹣3x﹣2，
联立解析式得，
解得，
∴M（，），
∴PM的最小值为：．
12．【解答】解：（1）把点A（1，m）代入 中
得
∴点A的坐标为（1，9），
把点B（n，1）代入 y中，
得 ，
∴点B的坐标为（9，1），
把x＝1，y＝9代入y＝﹣x+b中
得﹣1+b＝9，b＝10，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10．
（2）根据一次函数和反比例函数图象，可得：
的解集为x＜0或1＜x＜9，
13．【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），
∴k＝1×3＝﹣3×a，
∴k＝3，a＝﹣1，
∴反比例函数解析式为y，
一次函数y＝mx+n图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3），
，解得，
一次函数解析式为y＝x+2；
（2）由图象可知，不等式mx+n的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1．
（3）在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），D（0，2）
∴S△OBD1，
∴S△OCP＝4S△OBD＝4，
设点P的坐标为（m，），
∴4，
解得m，
∴点P（，﹣4）．
14．【解答】解：（1）由M（1，3），N1（4，2）得，
∴x1+x2＝y1+y2＝5．
∴点N1（4，2）是点M的等和点．
由M（1，3），N2（3，﹣1）得，
x1+x2＝4，y1+y2＝2，
∴x1+x2≠y1+y2．
∴N2（3，﹣1）不是点M的等和点．
由M（1，3），N3（0，﹣2）得，
∴x1+x2＝y1+y2＝1．
∴点N3（0，﹣2）是点M的等和点．
故答案为：N1（4，2），N3（0，﹣2）．
（2）由题意，设点N的横坐标为a，
∵点N是点M（3，﹣2）的等和点，
∴点N的纵坐标为3+a﹣（﹣2）＝a+5．
∴点N的坐标为（a，a+5）．
又∵点N在直线y＝x+b上，
∴a+5＝a+b．
∴b＝5．
（3）由题意得，k＞0，双曲线分布在第一、第三象限．
设直线与双曲线的交点分别为点A、B，
如图，由y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0，
∴A的横坐标为4，B的横坐标为﹣2．
把x＝4代入y＝x﹣2得，y＝4﹣2＝2，
∴A（4，2）．
把A（4，2）代入y1得，2．
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y．
设P（m，），点Q的横坐标为n，
∵点Q是点P的等和点，
∴点Q的纵坐标为m+n．
∴Q（n，m+n）．
∵点Q在直线y2＝x﹣2上，
∴m+nn﹣2．
∴m2＝0．
∴m＝﹣4或m＝2．
经检验，m＝﹣4，m＝2是方程m2＝0的解．
∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）或（2，4）．
15．【解答】解：（1）由题意，∵M（，4）在反比例函数y上，
∴k4＝2．
∴反比例函数表达式为y．
又N（n，1）在反比例函数y上，
∴n＝2．
∴N（2，1）．
设一次函数表达式为y＝ax+b，
∴．
∴a＝﹣2，b＝5．
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+5．
（2）由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为y＝﹣2x+5，
∴A（，0），B（0，5）．
∴OA，OB＝5．
∴S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOMAO×BOAO yNBO×xM
515
．
（3）由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M'N的长．
∵M（，4）与M'关于y轴对称，
∴M'为（，4）．
又N（2，1），
∴直线M′N为yx．
令x＝0，则y，
∴P（0，）．
一、选择题
1．已知反比例函数y（k≠0）与一次函数y＝2﹣x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
2．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解集是（ ）
A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在y的图象上任取点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C，AB＝BC．若△OAC的面积为8，则k的值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0），，则k的值是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．已知yx与y（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y（x＞0）上点C处，则B点坐标为 ．
7．如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 ．
8．如图，点A（2，2）在双曲线y（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 ．
9．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y的图象过点C，则k的值为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 ．
三、解答题
11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1．
（1）求k的值及点B的坐标．
（2）点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当时，求PM的最小值．
12．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b和反比例函数y的图象相交于点A（1，m），B（n，1）．
（1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式﹣x+b的解集．
13．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式mx+n的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．
14．在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1+x2＝y1+y2时，称点N是点M的等和点．
（1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是点M等和点的有 ；
（2）若点M（3，﹣2）的等和点N在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）已知，双曲线y1和直线y2＝x﹣2，满足y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0．若点P在双曲线y1上，点P的等和点Q在直线y2＝x﹣2上，求点P的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y的图象交于M（，4），N（n，1）两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求△OMN的面积；
（3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 A A C C C
二、填空题
6．【解答】解：由题意，∵A在yx上，
∴m＝2．
∴A（2，2）．
又A在反比例函数y上，
∴k＝2×24．
∴反比例函数为y．
由翻折的性质，BC⊥OA，
∴可设BC为yx+b，
∴B为（0，b）．
设直线BC与直线OA的交点为P，
∴．
∴P（b，b）．
又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），
∴C（b，b）．
又C在反比例函数y上，
∴bb＝4．
∴b＝4或b＝﹣4（舍去）．
∴B（0，4）．
故答案为：（0，4）．
7．【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），
∴OM＝ON＝1，
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB，
∴四边形AOBP是正方形，
∴PB∥x轴，PB＝OB，
∴△DBN∽△MON，
∴1，
∴BD＝BN，
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB＝2ON＝2，
∴PB＝OB＝2，
∴P（2，2），
∵点P在反比例函数的图象上，
∴k＝2×2＝4，
故答案为：4．
8．【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y（x＞0）上，
∴2．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y．
如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．
∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG．
∴C点的横坐标为．
又C在双曲线y上，
∴C（，2）．
故答案为：（，2）．
9．【解答】解：由题意，建立方程组，
∴或．
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）．
∴A、B关于原点对称．
∴AB的垂直平分线OC过原点．
∵直线AB为y＝2x，
∴直线OC为y．
∴可设C（a，）．
又△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB．
∴根据两点间的距离公式可得：．
∴a＝±2．
∴C（2，）或（﹣2，）．
将点C代入y得，
k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
10．【解答】解：∵直线y1＝k1x+b与双曲线y2（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，
∴k2＝﹣2×3＝﹣2m
∴m＝3，
∴B（3，﹣2），
∵BP∥x轴，
∴BP＝3，
∴S△ABP．
故答案为：．
三、解答题
11．【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+2，得出y＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y，
联立解析式得，
解得或，
∴B（﹣3，﹣1）；
（2）∵，
∴P是AB的中点，
∴P（﹣1，1），
∴OB的解析式为yx，
当PM取得最小值时，PM⊥OB，
∴设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，
代入p（﹣1，1）得3+b＝1，
解得b＝﹣2，
∴直线PM为y＝﹣3x﹣2，
联立解析式得，
解得，
∴M（，），
∴PM的最小值为：．
12．【解答】解：（1）把点A（1，m）代入 中
得
∴点A的坐标为（1，9），
把点B（n，1）代入 y中，
得 ，
∴点B的坐标为（9，1），
把x＝1，y＝9代入y＝﹣x+b中
得﹣1+b＝9，b＝10，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10．
（2）根据一次函数和反比例函数图象，可得：
的解集为x＜0或1＜x＜9，
13．【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），
∴k＝1×3＝﹣3×a，
∴k＝3，a＝﹣1，
∴反比例函数解析式为y，
一次函数y＝mx+n图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3），
，解得，
一次函数解析式为y＝x+2；
（2）由图象可知，不等式mx+n的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1．
（3）在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），D（0，2）
∴S△OBD1，
∴S△OCP＝4S△OBD＝4，
设点P的坐标为（m，），
∴4，
解得m，
∴点P（，﹣4）．
14．【解答】解：（1）由M（1，3），N1（4，2）得，
∴x1+x2＝y1+y2＝5．
∴点N1（4，2）是点M的等和点．
由M（1，3），N2（3，﹣1）得，
x1+x2＝4，y1+y2＝2，
∴x1+x2≠y1+y2．
∴N2（3，﹣1）不是点M的等和点．
由M（1，3），N3（0，﹣2）得，
∴x1+x2＝y1+y2＝1．
∴点N3（0，﹣2）是点M的等和点．
故答案为：N1（4，2），N3（0，﹣2）．
（2）由题意，设点N的横坐标为a，
∵点N是点M（3，﹣2）的等和点，
∴点N的纵坐标为3+a﹣（﹣2）＝a+5．
∴点N的坐标为（a，a+5）．
又∵点N在直线y＝x+b上，
∴a+5＝a+b．
∴b＝5．
（3）由题意得，k＞0，双曲线分布在第一、第三象限．
设直线与双曲线的交点分别为点A、B，
如图，由y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0，
∴A的横坐标为4，B的横坐标为﹣2．
把x＝4代入y＝x﹣2得，y＝4﹣2＝2，
∴A（4，2）．
把A（4，2）代入y1得，2．
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y．
设P（m，），点Q的横坐标为n，
∵点Q是点P的等和点，
∴点Q的纵坐标为m+n．
∴Q（n，m+n）．
∵点Q在直线y2＝x﹣2上，
∴m+nn﹣2．
∴m2＝0．
∴m＝﹣4或m＝2．
经检验，m＝﹣4，m＝2是方程m2＝0的解．
∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）或（2，4）．
15．【解答】解：（1）由题意，∵M（，4）在反比例函数y上，
∴k4＝2．
∴反比例函数表达式为y．
又N（n，1）在反比例函数y上，
∴n＝2．
∴N（2，1）．
设一次函数表达式为y＝ax+b，
∴．
∴a＝﹣2，b＝5．
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+5．
（2）由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为y＝﹣2x+5，
∴A（，0），B（0，5）．
∴OA，OB＝5．
∴S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOMAO×BOAO yNBO×xM
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．
（3）由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M'N的长．
∵M（，4）与M'关于y轴对称，
∴M'为（，4）．
又N（2，1），
∴直线M′N为yx．
令x＝0，则y，
∴P（0，）．
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