2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数的应用练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数的应用练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 491.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-28 10:43:35 | ||
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文档简介
2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数的应用练习
一、选择题
1．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（ ）
A．4m B．8m C．10m D．12m
2．图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m，则水面下降（ ）
A．3.5m B．3m C．2.5m D．2m
3．日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境．我国某集团军在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y（米）与飞行时间x（秒）之间的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（ ）
A．10秒 B．25秒 C．50秒 D．100秒
4．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则CD的长为（ ）m．
A．18 B．20 C．22 D．30
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在一定条件下，可食用率P与加工时间t（分钟）满足的函数关系式为：p＝at2+bt+c（a≠0），如图记录了三次相同条件下实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.5分钟 B．3.75分钟 C．4分钟 D．4.25分钟
二、填空题
6．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆，该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝30t﹣5t2，爆竹点燃后升空的最大高度是 米．
7． 2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点B离地面O点的距离是1m，点O与球网的水平距离为4m，球网的高度为1.55m．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与O点的水平距离是 m．
8．一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米．
9．在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足关系式，则实心球投出的水平距离OA为 m．
10．平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处时的形状可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（单位：m），绳子甩到最高处时，恰好通过站在x＝0点处跳绳的学生头顶，则该学生身高为 m．
三、解答题
11．某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
12．某兴趣小组做小球弹射实验，x轴表示水平地面，Rt△ABC表示斜坡，∠ACB＝90°．从O点处以一定方向和速度弹出小球，小球的飞行路线可用抛物线y＝ax2+bx刻画，其中x为小球弹出后飞行的水平距离，y为小球弹出后距离水平地面的高度．斜面AB可用直线y＝kx+m刻画．实验测得：OA＝2，BC＝4，AC＝8；小球飞行过程中经过、（4，8）和三个点．
（1）求抛物线y＝ax2+bx的表达式；
（2）求小球在斜面AB上的落点Q的横坐标；
（3）当x＞2时，小球在飞行过程中与斜面AB间的竖直距离PH的最大值为多少？
13．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
14．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）①m＝ ，n＝ ；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：y＝﹣5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为 米；
②求v的值．
15．某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yAx，投资B项目一年后的收益yB（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yBx2+2x．
（1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
（2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（m＞0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
（3）2025年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B C C C B
二、填空题
6．【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t+9）+45＝﹣5（t﹣3）2+45，
依据顶点式可知顶点坐坐标为（3，45），则最大值为45．
故答案为：45．
7． 【解答】解：由题意得：把y代入中得：x2x+1，
整理得：x2﹣8x+7＝0，
解得：x1＝7，x2＝1（舍去），
∴此时羽毛球飞行到与O点的水平距离是7m，
故答案为：7．
8．【解答】解：∵铅球落到地面时运行的水平距离为10米，
∴抛物线经过点（10，0），
∴10210+c＝0，
解得：c，
∴yx2x，
当x＝0时，y．
∴铅球刚出手时离地面的高度是米．
故答案为：．
9．【解答】解：令y＝0，则（x﹣8）（x+2）＝0，
解得x＝8或x＝﹣2（舍去），
∴实心球从起点到落地点的水平距离为8m，
故答案为：8．
10．．【解答】解：将x＝0代入，yx2，y＝01.5m，则该学生身高为1.5m，故答案为：1.5．
三、解答题
11．【解答】解：（1）设y＝kx+b，
把（30，80），（50，40）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+140；
（2）设总利润为w元，
由题意得：w＝y（x﹣30）
＝（﹣2x+140）（x﹣30）
＝﹣2x2+200x﹣4200
＝﹣2（x﹣50）2+800，
∵a＝﹣2＜0，且30≤x≤60，
∴当x＝50时，w最大＝800元，
∴在销售过程中，当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元．
12．【解答】解：（1）将、（4，8）代入y＝ax2+bx得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为yx2+4x；
（2）∵OA＝2，BC＝4，AC＝8，
∴A（2，0），B（10，4），
将A、B坐标代入y＝kx+m得，
，
解得，
∴斜面AB的解析式为yx﹣1，
∵小球在斜面AB上的落点Q可以看作是斜面AB和抛物线的交点，
∴令x2+4xx﹣1，
解得x（负值舍去），
∴点Q的横坐标为；
（3）设P的坐标为（p，p2+4p），则H（p，p﹣1），P＞2，
∴PHp2+4pP+1P2P+1，
∵0，
∴当p时，PH有最大值，
此时PH（）21，
答：小球在飞行过程中与斜面AB间的竖直距离PH的最大值为．
13．【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），
∴81a+9＝3.6．
解得：a．
∵yx+b经过点（9，3.6），
∴3.69+b．
解得：b＝8.1；
②由①得：yx2+x
（x2﹣15x）
（x）2（0≤x≤9）．
∴火箭运行的最高点是km．
∴1.35＝2.4（km）．
∴2.4x2+x．
整理得：x2﹣15x+36＝0．
解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3．
由①得：yx+8.1．
∴2.4x+8.1．
解得：x＝11.4．
∴11.4﹣3＝8.4（km）．
答：这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）当x＝9时，y＝81a+9．
∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．
∴yx+b经过点（9，81a+9），（15，0）
∴．
解得：．
∴a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
14．【解答】解：（1）①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知，
抛物线顶点坐标为（4，8），
，
解得：，
∴二次函数解析式为yx2+4x，
当y时，x2+4x，
解得：x＝3或x＝5（舍去），
∴m＝3，
当x＝6时，n＝y62+4×6＝6，
故答案为：3，6．
②联立得：，
解得：或，
∴点A的坐标是（，）．
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8．
②y＝﹣5t2+vt＝﹣5（t）2，
则8，
解得v＝4（负值舍去）．
15．【解答】解：（1）当x＝10时，yA（万元），
答：将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是4万元；
（2）由题意得：当x＝m时，yA＝yB，
∴
∴m1＝8，m2＝0（舍去），
∴m＝8；
（3）设投入B项目的资金是t万元，投入A项目的资金（32﹣t），一年后获利为W万元，
由题意得，
W，
∴当t＝4时，W最大＝16，
32﹣t＝28（万元），
∴投入A项目的资金是28万元，投入B项目的资金4万元时，一年后获利最大．最大值是16万元．
一、选择题
1．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（ ）
A．4m B．8m C．10m D．12m
2．图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m，则水面下降（ ）
A．3.5m B．3m C．2.5m D．2m
3．日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境．我国某集团军在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y（米）与飞行时间x（秒）之间的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（ ）
A．10秒 B．25秒 C．50秒 D．100秒
4．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则CD的长为（ ）m．
A．18 B．20 C．22 D．30
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在一定条件下，可食用率P与加工时间t（分钟）满足的函数关系式为：p＝at2+bt+c（a≠0），如图记录了三次相同条件下实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.5分钟 B．3.75分钟 C．4分钟 D．4.25分钟
二、填空题
6．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆，该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝30t﹣5t2，爆竹点燃后升空的最大高度是 米．
7． 2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点B离地面O点的距离是1m，点O与球网的水平距离为4m，球网的高度为1.55m．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与O点的水平距离是 m．
8．一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米．
9．在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足关系式，则实心球投出的水平距离OA为 m．
10．平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处时的形状可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（单位：m），绳子甩到最高处时，恰好通过站在x＝0点处跳绳的学生头顶，则该学生身高为 m．
三、解答题
11．某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
12．某兴趣小组做小球弹射实验，x轴表示水平地面，Rt△ABC表示斜坡，∠ACB＝90°．从O点处以一定方向和速度弹出小球，小球的飞行路线可用抛物线y＝ax2+bx刻画，其中x为小球弹出后飞行的水平距离，y为小球弹出后距离水平地面的高度．斜面AB可用直线y＝kx+m刻画．实验测得：OA＝2，BC＝4，AC＝8；小球飞行过程中经过、（4，8）和三个点．
（1）求抛物线y＝ax2+bx的表达式；
（2）求小球在斜面AB上的落点Q的横坐标；
（3）当x＞2时，小球在飞行过程中与斜面AB间的竖直距离PH的最大值为多少？
13．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
14．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）①m＝ ，n＝ ；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：y＝﹣5t2+vt．
①小球飞行的最大高度为 米；
②求v的值．
15．某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yAx，投资B项目一年后的收益yB（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yBx2+2x．
（1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
（2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（m＞0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
（3）2025年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B C C C B
二、填空题
6．【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t+9）+45＝﹣5（t﹣3）2+45，
依据顶点式可知顶点坐坐标为（3，45），则最大值为45．
故答案为：45．
7． 【解答】解：由题意得：把y代入中得：x2x+1，
整理得：x2﹣8x+7＝0，
解得：x1＝7，x2＝1（舍去），
∴此时羽毛球飞行到与O点的水平距离是7m，
故答案为：7．
8．【解答】解：∵铅球落到地面时运行的水平距离为10米，
∴抛物线经过点（10，0），
∴10210+c＝0，
解得：c，
∴yx2x，
当x＝0时，y．
∴铅球刚出手时离地面的高度是米．
故答案为：．
9．【解答】解：令y＝0，则（x﹣8）（x+2）＝0，
解得x＝8或x＝﹣2（舍去），
∴实心球从起点到落地点的水平距离为8m，
故答案为：8．
10．．【解答】解：将x＝0代入，yx2，y＝01.5m，则该学生身高为1.5m，故答案为：1.5．
三、解答题
11．【解答】解：（1）设y＝kx+b，
把（30，80），（50，40）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+140；
（2）设总利润为w元，
由题意得：w＝y（x﹣30）
＝（﹣2x+140）（x﹣30）
＝﹣2x2+200x﹣4200
＝﹣2（x﹣50）2+800，
∵a＝﹣2＜0，且30≤x≤60，
∴当x＝50时，w最大＝800元，
∴在销售过程中，当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元．
12．【解答】解：（1）将、（4，8）代入y＝ax2+bx得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为yx2+4x；
（2）∵OA＝2，BC＝4，AC＝8，
∴A（2，0），B（10，4），
将A、B坐标代入y＝kx+m得，
，
解得，
∴斜面AB的解析式为yx﹣1，
∵小球在斜面AB上的落点Q可以看作是斜面AB和抛物线的交点，
∴令x2+4xx﹣1，
解得x（负值舍去），
∴点Q的横坐标为；
（3）设P的坐标为（p，p2+4p），则H（p，p﹣1），P＞2，
∴PHp2+4pP+1P2P+1，
∵0，
∴当p时，PH有最大值，
此时PH（）21，
答：小球在飞行过程中与斜面AB间的竖直距离PH的最大值为．
13．【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），
∴81a+9＝3.6．
解得：a．
∵yx+b经过点（9，3.6），
∴3.69+b．
解得：b＝8.1；
②由①得：yx2+x
（x2﹣15x）
（x）2（0≤x≤9）．
∴火箭运行的最高点是km．
∴1.35＝2.4（km）．
∴2.4x2+x．
整理得：x2﹣15x+36＝0．
解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3．
由①得：yx+8.1．
∴2.4x+8.1．
解得：x＝11.4．
∴11.4﹣3＝8.4（km）．
答：这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）当x＝9时，y＝81a+9．
∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．
∴yx+b经过点（9，81a+9），（15，0）
∴．
解得：．
∴a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
14．【解答】解：（1）①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知，
抛物线顶点坐标为（4，8），
，
解得：，
∴二次函数解析式为yx2+4x，
当y时，x2+4x，
解得：x＝3或x＝5（舍去），
∴m＝3，
当x＝6时，n＝y62+4×6＝6，
故答案为：3，6．
②联立得：，
解得：或，
∴点A的坐标是（，）．
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8．
②y＝﹣5t2+vt＝﹣5（t）2，
则8，
解得v＝4（负值舍去）．
15．【解答】解：（1）当x＝10时，yA（万元），
答：将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是4万元；
（2）由题意得：当x＝m时，yA＝yB，
∴
∴m1＝8，m2＝0（舍去），
∴m＝8；
（3）设投入B项目的资金是t万元，投入A项目的资金（32﹣t），一年后获利为W万元，
由题意得，
W，
∴当t＝4时，W最大＝16，
32﹣t＝28（万元），
∴投入A项目的资金是28万元，投入B项目的资金4万元时，一年后获利最大．最大值是16万元．
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