2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数图象与系数的关系练习（含答案）

2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数图象与系数的关系练习
一、选择题
1．已知二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的部分图象如图所示，图象过点 （﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＞0；②9a+c＞3b；③4a+b＝0；④图象过点（5，0）．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（　　）
①abc＞0；②9a﹣3b+c≥0；③；
④若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则﹣3＜m＜1＜n．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5
y 0 5 9 5 ﹣27
下列结论：
①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A、B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论，正确的有（　　）
①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③若点，，在抛物线上，则y2＜y1＜y3；④关于x的方程ax2+bx+k＝0有实数解，则k≥c﹣n．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二填空题
6．抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为直线x＝1，且经过P（3，y1）、Q（0，y2），且y1＞y2，则a 　 　0．（填“＞”或“＜”）
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．有下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③b2＞4ac；④a+b≤m（am+b）（m为实数）；⑤（a+c）2﹣b2＜0；其中正确结论的序号为 　 　．
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过A（2，0），B（﹣1，n）两点，其中n＜0．下列四个结论：
①若a＞0，则c＜0；
②2a+c＜0；
③若ac＞0，则抛物线与x轴两个交点之间的距离小于2；
④若a＝﹣1，c＞0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根．
其中正确的结论是　 　（填写序号）．
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）；
③若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
④对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立．
其中正确的有　 　．
10．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①对于任意的x＝m，均有am2+bm+c≥﹣6；②ac＞0；③若点（），（，y2）在抛物线上，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1；⑤b﹣6a＝0；其中正确的有　 　（填序号）．
三、解答题
11．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4．
（1）当m＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为G，若点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数G图象上的两点，若对于任意的﹣2＜x1＜﹣1，x2＝﹣1，都有y1＜y2，求m的取值范围．
12．已知二次函数y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m（m是常数）．
（1）若二次函数图象经过（0，0），求二次函数的解析式；
（2）若A（n﹣3，n2+2），B（﹣n+1，n2+2）是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数表达式和n的值；
（3）若点C（2，y1），点D（m，y2）也均在此函数图象上，且满足y1＜y2，求m的取值范围．
13．已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（m为常数）．
（1）若函数图象经过点（2，4），求二次函数的表达式；
（2）当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值；
（3）若点A（m﹣3，p），B（﹣2m，q）都在该函数的图象上，当p＞q时，求m的取值范围．
14．在二次函数y＝x2﹣4tx+5（t＞0）中．
（1）若函数图象的顶点在x轴上，求t的值；
（2）若点（t，s）在抛物线上，令q＝t+s，求证：；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数图象上，且a＜b＜5，求m的取值范围．
15．已知二次函数y＝mx2+nx﹣2m（m，n为常数，m≠0），
（1）若函数图象与x轴的一个交点坐标为（2，0），求另一个交点坐标；
（2）若函数图象经过（1，t）、（3，t）、（a，s）、（b，s），其中a＜b，若s＝3m，求a的值；
（3）若函数图象经过（﹣1，﹣2），（3，t），且顶点在第三象限，求t的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 D B B C C
二、填空题
6．抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为直线x＝1，且经过P（3，y1）、Q（0，y2），且y1＞y2，则a 　＞　0．（填“＞”或“＜”）
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为直线x＝1，且经过P（3，y1）、Q（0，y2），
∴P（3，y1）在对称轴的右侧，Q（0，y2）在对称轴的左侧，
∵y1＞y2，
∴到对称轴的距离较大的点的函数值较大，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0．
故答案为：＞．
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．有下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③b2＞4ac；④a+b≤m（am+b）（m为实数）；⑤（a+c）2﹣b2＜0；其中正确结论的序号为 　②③④⑤　．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故结论①不正确，不符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＞0，
∴3a+c＞0，
故结论②正确，符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点，
∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故结论③正确，符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，图象开口向上，
∴当x＝1时，y有最小值，即a+b+c，
∴当x＝m时，am2+bm+c≥a+b+c，
即am2+bm≥a+b，
∴a+b≤m（am+b），
故结论④正确，符合题意；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，
故结论⑤正确，符合题意，
综上所述正确的有：②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过A（2，0），B（﹣1，n）两点，其中n＜0．下列四个结论：
①若a＞0，则c＜0；
②2a+c＜0；
③若ac＞0，则抛物线与x轴两个交点之间的距离小于2；
④若a＝﹣1，c＞0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根．
其中正确的结论是　①②③④　（填写序号）．
【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c，经过A（2，0），B（﹣1，n）两点，其中n＜0，
若a＞0，则抛物线开口向上，经过第一、二、三、四象限，
∴c＜0，①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过A（2，0），B（﹣1，n）两点，其中n＜0，
∴，
①+②×2得6a+3c＜0，
∴2a+c＜0，②正确；
由题意可知，若ac＞0，则抛物线开口向下，与y轴的负半轴相交，
∴抛物线与x轴的另一个交点在x轴的正半轴，
∴抛物线与x轴两个交点之间的距离小于2，③正确；
若a＝﹣1，c＞0，则y＝﹣x2+bx+c，
∴抛物线开口向下，有最大值yc，
∵抛物线经过A（2，0），
∴﹣4+2b+c＝0，
∴b，
∴最大值y（c+4）2，
∵c＞0，
∴（c+4）2＞1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝1有两个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根，故④正确．
故答案为：①②③④．
9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）；
③若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
④对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立．
其中正确的有　①③④　．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0），故选项②错误；
∴x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故选项①正确；
∵点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于（2，y2）到对称轴距离，
∴y1＜y2，故选项③正确；
∵x＝1时，函数有最大值，故an2+bn+c≤a+b+c，即不等式an2+bn≤a+b总成立，故选项④正确；
故答案为：①③④．
10．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①对于任意的x＝m，均有am2+bm+c≥﹣6；②ac＞0；③若点（），（，y2）在抛物线上，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1；⑤b﹣6a＝0；其中正确的有　①③④⑤　（填序号）．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣3，﹣6），
∴当x＝﹣3时，y最小值＝﹣6，
∴对于任意的x＝m，其函数值y＝am2+bm+c≥﹣6，
因此①正确；
∵开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0，
因此②不正确；
∵点（），（，y2）在对称轴右侧的抛物线上，根据在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2，
因此③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，﹣4），由对称轴为x＝﹣3，根据对称性可知，抛物线y＝ax2+bx+c还过点（﹣5，﹣4），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1；
因此④正确；
∵对称轴为直线x3，
∴b﹣6a＝0，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
三、解答题
11．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4．
（1）当m＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为G，若点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数G图象上的两点，若对于任意的﹣2＜x1＜﹣1，x2＝﹣1，都有y1＜y2，求m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴的两个交点（3，0）和（﹣1，0）；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，顶点为（m，﹣4），
令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
解得x＝m+2或x＝m﹣2，
∴抛物线与x轴的交点为（m+2，0），（m﹣2，0），
由题意，图象G如图所示，分以下两种情况：
此时m﹣2≥﹣1，
解得m≥1；
．
解得；
∴m的取值范围是m≥1或．
12．已知二次函数y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m（m是常数）．
（1）若二次函数图象经过（0，0），求二次函数的解析式；
（2）若A（n﹣3，n2+2），B（﹣n+1，n2+2）是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数表达式和n的值；
（3）若点C（2，y1），点D（m，y2）也均在此函数图象上，且满足y1＜y2，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数图象经过（0，0），
∴m2﹣m＝0，
解得m＝0或1，
∴二次函数的解析式为y＝x2+x或y＝x2﹣x；
（2）由点A、B的坐标得，抛物线的对称轴为直线x，
解得：m，
则抛物线的表达式为y＝x2+2x，
将点A的坐标代入上式得：n2+2＝（n﹣3）2+2（n﹣3），
解得：n；
（3）∵二次函数y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m（m是常数，且m≠0）．
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x，
∵点C（2，y1），点D（m，y2）在此函数图象上，且满足y1＜y2，
∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，
∴|2|＜|m|，即||，
解得0＜m＜3．
13．已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（m为常数）．
（1）若函数图象经过点（2，4），求二次函数的表达式；
（2）当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值；
（3）若点A（m﹣3，p），B（﹣2m，q）都在该函数的图象上，当p＞q时，求m的取值范围．
【解答】解：（1）把（2，4）点代入y＝x2﹣2mx+2中，
∴4﹣4m+2＝4，
∴m，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣x+2；
（2）二次函数y＝x2﹣2mx+2的对称轴是直线x＝m，
当m≥3时，1≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴x＝1时y取最大值，解得m＝4，
当m≤1时，1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时y取最大值，解得m，
∴当m≤1时，m值不存在，
当2≤m≤3时，x＝1时y取最大值，解得m＝4，
∴当2≤m≤3时，m值不存在，
当1≤m≤2时，当x＝3时y取最大值，解得m，
∴当1≤m≤2时，m值不存在，
综上所述：m＝4；
（3）把点A（m﹣3，p），B（﹣2m，q）代入y＝x2﹣2mx+2中，
（m﹣3）2﹣2m×（m﹣3）+2＝p，（﹣2m）2﹣2m×（﹣2m）+2＝q，
∵p＞q，
∴﹣m2+11＞4m2+4m+2，
∴m＜1．
14．在二次函数y＝x2﹣4tx+5（t＞0）中．
（1）若函数图象的顶点在x轴上，求t的值；
（2）若点（t，s）在抛物线上，令q＝t+s，求证：；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数图象上，且a＜b＜5，求m的取值范围．
【解答】（1）解：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣4tx+5＝（x﹣2t）2﹣4t2+5，且顶点在x轴上，
∴﹣4t2+5＝0．
∴t＝±．
又t＞0，
∴t．
（2）证明：∵点（t，s）在抛物线y＝x2﹣4tx+5（t＞0）上，
∴s＝t2﹣4t2+5＝﹣3t2+5，
∴q＝t+s＝﹣3t2+t+5，
∴q＝﹣3t2+t+5＝﹣3（t）2．
∵﹣3＜0，
∴q有最大值为．
∴q．
（3）解：∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y＝x2﹣4tx+5的对称轴直线x＝2tm﹣1．
∴2t＝m﹣1．
∵t＞0，
∴m﹣1＞0．
∴m＞1．
在y＝x2﹣4tx+5中，令x＝0得y＝5，
∴抛物线y＝x2﹣4tx+5与y轴交点为（0，5）．
∵抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵a＜b＜5，
∴|m﹣2﹣（m﹣1）|＜|4﹣（m﹣1）|＜|0﹣（m﹣1）|，即1＜|m﹣5|＜|m﹣1|．
∴3＜m＜4或m＞6．
15．已知二次函数y＝mx2+nx﹣2m（m，n为常数，m≠0），
（1）若函数图象与x轴的一个交点坐标为（2，0），求另一个交点坐标；
（2）若函数图象经过（1，t）、（3，t）、（a，s）、（b，s），其中a＜b，若s＝3m，求a的值；
（3）若函数图象经过（﹣1，﹣2），（3，t），且顶点在第三象限，求t的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数图象与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴4m+2n﹣2m＝0，
∴m+n＝0，
∴n＝﹣m，
∴y＝mx2+nx﹣2m＝mx2﹣mx﹣2m＝m（x2﹣x）﹣2m＝m（x）2m，
∴抛物线的对称轴是：直线x，
∴函数图象与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）；
（2）∵函数图象经过（1，t），（3，t），
∴抛物线的对称轴是：直线x2，
∵y＝mx2+nx﹣2m的对称轴是：x，
∴2，
∴n＝﹣4m，
∴y＝mx2﹣4mx﹣2m，
当y＝3m时，mx2﹣4mx﹣2m＝3m，
∵m≠0，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴x＝5或﹣1，
∵a＜b，
∴a＝﹣1；
（3）∵函数图象经过（﹣1，﹣2），（3，t），
∴m﹣n﹣2m＝﹣2，9m+3n﹣2m＝t，
∴m+n＝2，7m+3n＝t，
∴n＝2﹣m，
∴4m+6＝t，
y＝mx2+nx﹣2m，
x，y，
∵顶点在第三象限，
∴0，
∴m与n同号，
由题意得：﹣2m＜0，
∴m＞0，
∴n＞0，即2﹣m＞0，
∴0＜m＜2，
∴6＜4m+6＜14，
即6＜t＜14．