2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数图象练习（含答案）

2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数图象练习
一、选择题
1．如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝a（x﹣1）（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
3．二次函数y＝mx2+mx（m＜0）的图象大致是（　　）
A．B． C．D．
4．在平面直角坐标系中，二次函数y1，y2的图象如图所示，则函数y＝y1﹣y2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　 　．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　 　．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1，其顶点在第二象限，给出以下结论：
①当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；②若且x1≠x2，则x1+x2＝﹣1；
③若OA＝OC，则；
其中说法正确的有　 　．（填写正确结论的序号）
9．已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，对于方程|x2﹣4|＝m（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 　 　．
10．如图是二次函数y＝x2+bx﹣1的图象，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解，则t的取值范围是 　 　．
三、解答题
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣9．
（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且△ABC的面积为9，求m的值．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．
（1）抛物线的对称轴为　 　；
（2）当3≤x≤5时求抛物线最大值（用含a的字母表示）
（3）若当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求当1≤x≤5时，y的最大值；
13．小明用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象，列表如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ﹣5 …
（1）由于粗心，小明算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝ 　 　；
（2）在图中画出这个二次函数y＝ax2+bx+c的图象；
（3）当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是 　 　；
（4）根据图象，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解．
14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝t．
（1）当t＝2时，
①写出b与a满足的等量关系；
②当函数图象经过点（1，3），（x1，y1），（x1+2，y2）时，求y1+y2的最小值；
（2）已知点A（﹣1，m），B（3，n），C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，直接写出t的取值范围．
15．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0）．
（1）该二次函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）为 　 　；抛物线与x轴的交点坐标为 　 　；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x＜4时，y的最大值是4，求抛物线的解析式；
（3）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）两点均在二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）的图象上，若t≤x1≤t+1，x2≥5，y1≥y2，求t的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B B A A B
二、填空题
6．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　a＞b＞d＞c　．
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 　﹣1＜x＜3　．
方的图象对应的函数值大于0，即可求解．
【解答】解：由添加可知：对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0；
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1，其顶点在第二象限，给出以下结论：
①当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；
②若且x1≠x2，则x1+x2＝﹣1；
③若OA＝OC，则；
其中说法正确的有　①③　．（填写正确结论的序号）
【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
当m≠﹣1时，a﹣b+c＞am2+bm+c，即a﹣b＞am2+bm，故①正确；
当且x1≠x2时，
∴x1+x2＝﹣2，故②错误；
∵，
∴b＝2a，
∵OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
∴点B的坐标为（c﹣2，0），
把A（﹣c，0）代入抛物线解析式中得ac2﹣2ac+c＝0，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∴，故③正确；
故答案为：①③．
9．已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，对于方程|x2﹣4|＝m（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 　4　．
【解答】解：令x＝0得，
y＝4，
所以函数y＝|x2﹣4|的图象与y轴的交点坐标为（0，4）．
方程|x2﹣4|＝m的实数根可以看成函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m交点的横坐标．
因为该方程恰有3个不相等的实数根，
所以函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m有3个不同的交点．
如图所示，
当m＝4时，两个图象有3个不同的交点，
所以m的值为4．
故答案为：4．
10．如图是二次函数y＝x2+bx﹣1的图象，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解，则t的取值范围是 　﹣2≤t＜7　．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x1，解得b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2），
当x＝﹣1时，y＝x2﹣2x﹣1＝2；当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣1＝7，
当﹣1＜x＜4时，﹣2≤y＜7，
而关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数解可看作二次函数y＝x2﹣2x﹣1与直线y＝t有交点，
∴﹣2≤t＜7．
故答案为：﹣2≤t＜7．
三、解答题
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣9．
（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且△ABC的面积为9，求m的值．
【解答】（1）证明：令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣9＝0
∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣9）＝36＞0，
∴无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：解方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0，得x1＝m﹣3，x2＝m+3，
令x＝0，则y＝m2﹣9，
∵该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，
∴m2﹣9＞0，
∵△ABC的面积为9，
∴，即m2＝12，
解得．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．
（1）抛物线的对称轴为　直线x＝2　；
（2）当3≤x≤5时求抛物线最大值（用含a的字母表示）
（3）若当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求当1≤x≤5时，y的最大值；
【解答】解：（1）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0），
∴其对称轴为直线，
故答案为：直线x＝2；
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随着x的增大而增大．
∴当3≤x≤5时抛物线的最大值即当x＝5时，y的值，
此时y＝a 52﹣4a 5+1＝25a2﹣20a+1；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
又∵当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，
∴当x＝2时，y＝﹣1，
即4a﹣8a+1＝﹣1，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵当x＝1比当x＝5离对称轴直线x＝2近，
∴当x＝5时，y取的最大值，
此时y52﹣2×5+1．
13．小明用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象，列表如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ﹣5 …
（1）由于粗心，小明算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝ 　2　；
（2）在图中画出这个二次函数y＝ax2+bx+c的图象；
（3）当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是 　﹣4≤y≤0　；
（4）根据图象，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解．
【解答】解：（1）从表格可以看出，当x＝﹣2或x＝0时，y＝﹣3，
可以判断（﹣2，﹣3），（0，﹣3）是抛物线上的两个对称点，（﹣1，﹣4）是顶点，
设抛物线顶点式y＝a（x+1）2﹣4，
把（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得﹣3＝a﹣4，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，
当x＝2时，y＝（2+1）2﹣4＝5，
当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，
所以这个错算的y值所对应的x＝2，
故答案为：2；
（2）画出这个二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图：
（3）当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是﹣4≤y≤0．
故答案为：﹣4≤y≤0；
（4）∵抛物线与x轴交于（﹣3，0）和（1，0），
∴不等式ax2+bx+c＞0的解为x＞1或x＜﹣3．
14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝t．
（1）当t＝2时，
①写出b与a满足的等量关系；
②当函数图象经过点（1，3），（x1，y1），（x1+2，y2）时，求y1+y2的最小值；
（2）已知点A（﹣1，m），B（3，n），C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，直接写出t的取值范围．
【解答】解：（1）①∵t2，
∴b＝﹣4a；
②∵函数图象经过点（1，3），
∴a+b+c＝3，
∵b＝﹣4a，
∴c＝3a+3，
∴抛物线为y＝ax2﹣4ax+3a+3中，
∵点（x1，y1），（x1+2，y2）在抛物线y＝ax2﹣4ax+3a+3（a＞0）上，
∴y14ax1+3a+3，y2＝a（x1+2）2+4a（x1+2）2+3a+3，
∴y1+y2＝24ax+2a+6＝2a（x1﹣1）2+6，
∵a＞0，
∴y1+y2的最小值为6；
（2）由题意可知，点A（﹣1，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，
∵3＜x0＜4，都有m＞p＞n，
∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
∴，解得t≤3，
∴t的取值范围是t≤3．
15．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0）．
（1）该二次函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）为 　（2，﹣a）　；抛物线与x轴的交点坐标为 　（1，0）和（3，0）　；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x＜4时，y的最大值是4，求抛物线的解析式；
（3）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）两点均在二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）的图象上，若t≤x1≤t+1，x2≥5，y1≥y2，求t的取值范围．
【解答】解：（1）二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（a≠0）的对称轴为直线x2，
当x＝2时，y＝4a﹣8a+3a＝﹣a，
∴抛物线顶点的坐标为（2，﹣a）．
令y＝0，则ax2﹣4ax+3a＝0，即a（x2﹣4x+3）＝0，
∵a≠0，
∴x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）．
故答案为：（2，﹣a）；（1，0）和（3，0）．
（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，当﹣1≤x＜4时，y的最大值是4，
∴当x＝﹣1时，y取到在﹣1≤x＜4上的最大值为4，
∴a+4a+3a＝4，解得a，
∴二次函数解析式为：y．
（3）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5，均满足y1≥y2，
∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，
∴t≥﹣1，t+1≤5，
∴﹣1≤t≤4．