2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数的性质练习（含答案）

2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数的性质练习
一、选择题
1．已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3，当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）
A． B．1 C．1或﹣2 D．或
2．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（　　）
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 6
y … ﹣11 9 21 25 21 9
A．当x＜0时，y随x的减小而减小
B．图象的开口向上
C．图象只经过第一，二，三象限
D．图象的对称轴为x＝﹣2
3．无论k为何实数，直线y＝2kx+1和抛物线y＝x2+x+k（　　）
A．有一个公共点
B．有两个公共点
C．没有公共点
D．公共点的个数不能确定
4．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A． B．或4 C．或4 D．
5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx经过等腰直角△OAB的三个顶点，点A在x轴上，点B是抛物线的顶点，∠OBA＝90°，则b＝（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
二、填空题
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 3 4 5 6 7 8 …
y … ﹣31 14 41 50 41 m …
则表格中m的值是 　 　．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝2，且经过点（﹣1，y1）、（4，y2），试比较大小：y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
8．已知抛物线y＝mx2﹣mx﹣4x+4，回答下列问题：
（1）无论m取何值，抛物线恒过定点　 　和　 　；
（2）当m＜0且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点（2，y1），（n，y2），满足y1＜y2，则n的取值范围是　 　．
9．抛物线y＝x2+bx+c的顶点为B，点A（x1，y1），点C（x2，y2）为抛物线上的点．若△ABC是底角为30°的等腰三角形，且x1+x2＝﹣b，则△ABC的面积为　 　．
10．已知函数y＝x2﹣6x+3，当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，则k＝　 ．
三、解答题
11．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a为常数，且a≠0）．
（1）若函数图象过点（1，0），求a的值；
（2）当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝12，求a的值．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线x＝t．
（1）当t＝2时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②若y1＝y2，则x1+x2＝ 　 　．
（2）已知x1＝t﹣3，x2＝t+1，点C（x3，y3）在抛物线上．当3＜x3＜4时，总有y1＞y3＞y2，求t的取值范围．
13．在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意两点．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围．
14．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x+c顶点横坐标的2倍．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x+c上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上．
①求t（请用含m，x1的代数式表示）；
②若x1＝m+1且﹣1≤x1≤2，求t的最大值．
15．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B A B B C
二、填空题
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … 3 4 5 6 7 8 …
y … ﹣31 14 41 50 41 m …
则表格中m的值是 　14　．
【解答】解：当x＝5时，y＝41，当x＝7时，y＝41，
∴对称轴为：直线x6，
∴（4，14）和（8，m）关于直线x＝6对称，
∴m＝14，
故答案为：14．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝2，且经过点（﹣1，y1）、（4，y2），试比较大小：y1　＞　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【解答】解：由题意，∵抛物线对称轴是直线x＝2，a＞0，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵|﹣1﹣2|＝3＞|4﹣2|＝2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
8．已知抛物线y＝mx2﹣mx﹣4x+4，回答下列问题：
（1）无论m取何值，抛物线恒过定点　（0，4）　和　（1，0）　；
（2）当m＜0且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点（2，y1），（n，y2），满足y1＜y2，则n的取值范围是　﹣1＜n＜2　．
【解答】解：（1）由题意，∵y＝mx2﹣mx﹣4x+4＝m（x2﹣x）﹣4x+4，
∴令x2﹣x＝0，则x＝0或x＝1．
∴当x＝0时，y＝4；当x＝1时，y＝0．
∴无论m取何值，抛物线恒过定（0，4），（1，0）．
故答案为：（0，4），（1，0）．
（2）由题意，对称轴是直线x．
∵m＜0，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
又∵y1＜y2，
∴|2|＞|n|．
∴﹣1＜n＜2．
故答案为：﹣1＜n＜2．
9．抛物线y＝x2+bx+c的顶点为B，点A（x1，y1），点C（x2，y2）为抛物线上的点．若△ABC是底角为30°的等腰三角形，且x1+x2＝﹣b，则△ABC的面积为　　．
【解答】解：由题意可知抛物线的对称轴为y轴，则b＝0，
∴y＝x2+c，
∴B（0，c），
设C（m，n），则A（﹣m，n），如图，
∵△ABC是底角为30°的等腰三角形，
∴BDm，
∴ODm+c，即nm+c，
把C的坐标代入y＝x2+c得，m+c＝m2+c，
解得m，m＝0（舍去），
∴AC，BD，
∴△ABC的面积为：．
故答案为：．
10．已知函数y＝x2﹣6x+3，当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，则k＝　或　．
【解答】解：当k﹣4≤x≤k时，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
分情况讨论如下：
①当k﹣4≤x≤k≤3时，即k≤3，
x＝k时，y取得最小值，此时y＝k2﹣6k+3；
x＝k﹣4时，y取得最大值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；
（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4，
∵k＜3，
∴k＝4不符合题意；
②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7，此时最小值为y＝﹣6，
当x＝k﹣4取得最大值时，y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3，
（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8，
解得：，
∵3≤k≤7，，
∴不符合题意；
∴符合题意；
当x＝k取得最大值时，y＝k2﹣6k+3，
k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，
解得：，
由条件可知：符合题意，不符合题意，
∴；
③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7，
x＝k﹣4时，y取得最小值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；x＝k时，y取得最大值，此时y＝k2﹣6k+3；k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6，
∵k≥7，
∴k＝6不符合题意；
综上所述，当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为或．
故答案为：或．
三、解答题
11．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a为常数，且a≠0）．
（1）若函数图象过点（1，0），求a的值；
（2）当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝12，求a的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+2的图象过点（1，0），
∴a﹣4a+2＝0，
∴a；
（2）∵y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴抛物线的顶点为（2，2﹣4a），
∴x＝2时，y＝2﹣4a，
当x＝5时，y＝25a﹣20a+2＝5a+2，
当a＞0时，当2≤x≤5时，M＝5a+2，N＝2﹣4a，
∵M﹣N＝12，
∴5a+2﹣（2﹣4a）＝12，
∴a；
当a＜0时，当2≤x≤5时，N＝5a+2，M＝2﹣4a，
∵M﹣N＝12，
∴2﹣4a﹣（5a+2）＝12，
∴a；
∴a的值为或．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线x＝t．
（1）当t＝2时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②若y1＝y2，则x1+x2＝ 　4　．
（2）已知x1＝t﹣3，x2＝t+1，点C（x3，y3）在抛物线上．当3＜x3＜4时，总有y1＞y3＞y2，求t的取值范围．
【解答】解：（1）①∵t2，
∴b＝﹣4a；
②∵M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，
∴M（x1，y1），N（x2，y2）关于对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴，
∴x1+x2＝4．
故答案为：4；
（2）由题意可知，M（x1，y1）在对称轴的左侧，N（x2，y2）在对称轴的右侧，
∵点C（x3，y3）在抛物线上，3＜x3＜4，
∴点C（x3，y3）关于对称轴的对称点为（2t﹣x3，y3），
∴2t﹣4＜2t﹣x3＜2t﹣3，
当点C（x3，y3）在对称轴的左侧时，
∵当3＜x3＜4时，总有y1＞y3＞y2，
∴，解得5≤t≤6；
当点C（x3，y3）在对称轴的右侧时，
∵当3＜x3＜4时，总有y1＞y3＞y2，
∴，解得1≤t≤2；
∴t的取值范围是1≤t≤2或5≤t≤6．
13．在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意两点．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为：x1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；
∴M（x1，y1），N（x2，y2）都在对称轴右侧，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，且x1＜x2，
∴y1＜y2；
（3）∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，
∴，
∵y1＜y2，a＞0，
∴M（x1，y1）距离对称轴更近，x1＜x2，则MN的中点在对称轴的右侧，
∴
解得：m．
14．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x+c顶点横坐标的2倍．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x+c上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上．
①求t（请用含m，x1的代数式表示）；
②若x1＝m+1且﹣1≤x1≤2，求t的最大值．
【解答】（1）解：∵y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+c+4，
∴抛物线y＝﹣x2+4x+c顶点横坐标为2，
∵y＝﹣x2+bx+c的顶点横坐标为，且为抛物线y＝﹣x2+4x+c顶点横坐标的2倍，
∴，
解得b＝8；
（2）①∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x+c上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上．b＝8，
∴y14x1+c，y1+t＝﹣（x1+m）2+8（x1+m）+c，
∴t＝﹣（x1+m）2+8（x1+m）+c﹣y1，
即t＝﹣（x1+m）2+8（x1+m）+c﹣（4x1+c），
∴t＝﹣m2+4x1﹣2mx1+8m，
②∵x1＝m+1，
∴t＝﹣m2+4x1﹣2mx1+8m
＝﹣m2+4（m+1）﹣2m（m+1）+8m
＝﹣3m2+10m+4
∵﹣1≤x1≤2，
∴﹣1≤m+1≤2，
解得﹣2≤m≤1，
∵当m时，t随着m的增大而增大，
∴当m＝1时，t有最大值，最大值为﹣3+10+4＝11．
15．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1，
∴，
∴b＝4；
（2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，
∴，
∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴，
t），
∴h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，
（i）∵h＝3t，
∴3t＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，
∴t（t+2x1）＝t+2x1，
∵x1≥0，t＞0，
∴t+2x1＞0，
∴t＝1，
∴h＝3；
（ii）将x1＝t﹣1代入h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，
∴h＝﹣3t2+8t﹣2，
，
∵﹣3＜0，
∴当，即时，h取最大值．