2025年九年级数学中考三轮冲刺练习圆的证明与计算（含答案）

2025年九年级数学中考三轮冲刺练习圆的证明与计算
一、选择题
1．如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB的度数是（　　）
A．50° B．40° C．70° D．60°
2．如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（　　）
A．65° B．115° C．130° D．140°
4．若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（　　）
A．60° B．120° C．135° D．150°
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，则AB的长为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．
二、填空题
6．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 　 　．
7．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 　 　寸．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　 　cm．
9．如图，边长为的正方形ABCD内接于⊙O，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 　 　．
10．如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD．若AB＝5，AC＝4，则BD＝　 　，CD＝　 　．
三、解答题
11．如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF＝∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CDCG，BE＝3CE＝3．
①求DE的长；
②求⊙O的半径．
12．如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若，，求DE的长．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．
（1）求证：BC∥EF；
（2）连接CE，若⊙O的半径为，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
14．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．
（1）求证：AG∥CD；
（2）求证：PA2＝PG PB；
（3）若sin∠APD，PG＝6．求tan∠AGB的值．
15．如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，垂足为E，直径BF交CD于点G，连接AF，AD．若AB＝AC＝5，．
（1）证明：四边形ADGF为平行四边形；
（2）求的值；
（3）求sin∠CAD的值．
参考答案
1．【解答】解：如图，连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，
故选：D．
2．【解答】解：如图，连接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1的正三角形，
所以，S阴影部分＝3
＝3
（cm2），
故选：C．
3．【解答】解：∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
故选：C．
4．【解答】解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，
∴2πr×l＝3πr2，
∴l＝3r，
∵2πr，
即2πr
∴n＝120，
即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于120°．
故选：B．
5．【解答】解：如图，连接CD，在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB＝EC，
∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
如图，作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
∴∠EGF＝30°，
∵EG＝2，
∴EF＝1，
∵AE＝ED＝3，
∴CF＝AF＝4，
∴AC＝8，EC＝5，
∴BC＝5，
∵∠BCM＝60°，
∴∠MBC＝30°，
∴CM，BMCM，
∴AM＝AC﹣CM，
∴AB7．
故选：B．
二、填空题
6．【解答】解：连接OC，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OAP＝∠OBC＝90°，
在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，
∴OP13，
∵△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，
∴OA ACOP BCOA AP，
∴OA AC+OP BC＝OA AP，
∴5AC+13BC＝5×12，
∴AC＝BC，
故答案为：．
7．【解答】解：连接OA，
设⊙O的半径是r寸，
∵直径CD⊥AB，
∴AEAB10＝5寸，
∵CE＝1寸，
∴OE＝（r﹣1）寸，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
∴r＝13，
∴直径CD的长度为2r＝26寸．
故答案为：26．
8．【解答】解：连接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵ODAB6＝3（cm），
∴的长π（cm）．
故答案为：π．
9．【解答】解：连接OA，OD，
∵AP，PD是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠ODP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
∵OA＝OD，
∴四边形OAPD是正方形，
∵AD，
∴OAAD＝1，
∴图中阴影部分的面积＝正方形OAPD的面积﹣扇形AOD的面积＝1×11，
故答案为：1，
10．【解答】解：∵△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝5，AC＝4，
∴CB＝3，AD＝BD，
∴如图把△ACD绕D逆时针旋转90°得到△DBE，
∴∠DBE＝∠DAC，BE＝AC，
∴∠DBC+∠DBE＝180°，
∴C、B、E三点共线，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴CE＝AC+BC＝7，
∴CD＝DE．
故答案为：，．
三、解答题
11．如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF＝∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CDCG，BE＝3CE＝3．
①求DE的长；
②求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，证明∠ODF＝90°，即可得出DF是⊙O的切线；
（2）①连接BD，证明△BCE∽△DBE，得出DE的长；②通过勾股定理得出BG的长，再利用△ADG∽△CBG，得出AG的长，从而得出直径AB的长度，由此得出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠ADF＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，
∴2∠ADF＝∠AOD，
设∠ADF＝x，则∠AOD＝2x，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODF＝∠ODA+∠ADF＝90°﹣x+x＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：①连接BD，
∵BE＝3CE＝3，
∴CE＝1，
∵BE是切线，
∴∠ABE＝90°＝∠CBE+∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴∠CBE＝∠BDC，
∵∠E＝∠E，
∴△BCE∽△DBE，
∴，
∴，
∴DE＝9；
②∵DE＝9，
∵CD＝DE﹣CE＝8，
∵CDCG，
∴CG＝3，DG＝5，
∴GE＝CG+CE＝4，
在Rt△BGE中，BG，
∵∠BCG＝∠DAG，∠BGC＝∠DGA，
∴△ADG∽△CBG，
∴，
∴，
∴AG，
∴AB＝AG+BG，
∴⊙O的半径．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
12．如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若，，求DE的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠EDB＝∠EAB，求得∠BAD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠B＝45°，求得∠B＝∠G＝45°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）如图，连接CE，根据圆周角定理得到∠DAE＝∠DCE，∠DEC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧，
∴∠EDB＝∠EAB，
∵∠EAD+∠EDB＝45°，
∴∠EAD+∠EAB＝45°，
即∠BAD＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵AB＝AG，
∴∠B＝∠G＝45°，
∴∠GAB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AG与⊙O相切；
（2）解：如图，连接CE，
∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵DC为直径，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DEC中，sin∠DCE＝sin ，
∵，∠B＝45°，∠BAG＝90°，
∴，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．
（1）求证：BC∥EF；
（2）连接CE，若⊙O的半径为，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
【分析】（1）连接OE，交BC于点G，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，由D为△ABC 的内心，得到∠OAE＝∠CAE，求得OE∥AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BGO＝90°，根据切线的性质得到∠FEO＝90°，根据平行线的判定定理得到结论；
（2）连接BE，根据三角函数的定义得到∠AEC＝30°，求得∠ABC＝∠AEC＝30°，求得EF＝OE tan60°＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，交BC于点G，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
又∵D为△ABC 的内心，
∴∠OAE＝∠CAE，
∴∠OEA＝∠CAE，
∴OE∥AC，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BGO＝90°，
又∵EF为⊙O的切线且OE为⊙O的半径，
∴∠FEO＝90°，
∴∠BGO＝∠FEO，
∴BC∥EF；
（2）解：∵，
∴∠AEC＝30°，
∴∠ABC＝∠AEC＝30°，
∴∠BOE＝60°，∠EFO＝30°，
∴EF＝OE tan60°＝2，
∴S阴影部分＝S△EFO﹣S扇形BOE
．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．
（1）求证：AG∥CD；
（2）求证：PA2＝PG PB；
（3）若sin∠APD，PG＝6．求tan∠AGB的值．
【分析】（1）根据折叠可得AB⊥CD，根据切线定义可得AG⊥AB，即可求证；
（2）根据题意证明△APG∽△BPA即可得证；
（3）根据题意设AD＝a，则AP＝3a，根据折叠的性质可得AC＝AD＝a，可求出PC，进而求得BD，根据∠AGB＝90°﹣∠GAD＝∠DAB，即可求解．
【解答】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，
∴AB⊥CD，
∵AB为⊙O的直径，AG是切线，
∴AG⊥AB，
∴AG∥CD；
（2）证明：∵AG是切线，
∴AG⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝∠GAD，
∵由折叠可得∠ABD＝∠ABC，
∴∠CBD＝2∠ABD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PAD＝180°﹣∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD，
∴∠PAG＝∠PAD﹣∠GAD＝2∠ABD﹣∠ABD＝∠ABD，
又∵∠APG＝∠BPA，
∴△APG∽△BPA，
∵，即PA2＝PG PB；
（3）解：∵sin∠，
设AD＝a，则AP＝3a，
∴，
∴，
∵由折叠可得AC＝AD＝a，
∴PC＝PA+AC＝3a+a＝4a，
∵在Rt△PCB中，，
∴BD＝CBPCa，
∵AD⊥BD，GA⊥AB，
∴∠AGB＝90°﹣∠GAD＝∠DAB，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，垂足为E，直径BF交CD于点G，连接AF，AD．若AB＝AC＝5，．
（1）证明：四边形ADGF为平行四边形；
（2）求的值；
（3）求sin∠CAD的值．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAF＝90°，根据平行线的判定定理得到CD∥AF，推出∠ADC＝∠BGD，得到AD∥GF，根据平行四边形的判定定理得到结论；
（2）设BE＝x，得到AE＝AB﹣BE＝5﹣x，根据勾股定理得到BE＝2，AE＝3，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）过点D作DH⊥AC于H，根据勾股定理得到CE4，根据相似三角形的性质得到，求得AD，DE，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴CD∥AF，
∴DG∥AF，
∴∠AFB＝∠BGD，
∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵，
∴∠ACB＝∠AFB，
∴∠ADC＝∠BGD，
∴AD∥GF，
∴四边形ADGF为平行四边形；
（2）解：设BE＝x，
∵AB＝AC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣x，
∵AB⊥CD，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
∴BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2＝CE2，
∵BC＝2，
∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，
解得x＝2，
∴BE＝2，AE＝3，
∴，
由（1）知，∠ADC＝∠BGD，
∵∠AED＝∠BEG，
∴△ADE∽△BGE，
∴，
∴；
（3）解：过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△BCE中，CE4，
∵，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵∠AED＝∠CEB，
∴△AED∽△CEB，
∴，
∴，
∴AD，DE，
∴CD＝CE+DE＝4，
∵S△ACDAC DH，
∴3＝5DH，
∴DH，
在Rt△ADH中，sin，
∴sin∠CAD．
【点评】本题是圆的综合题，考查了三角形外接圆和外心，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正地的作出辅助线是解题的关键．