第16章 二次根式能力提升测试题（含详解）
文档属性
| 名称 | 第16章 二次根式能力提升测试题（含详解） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 5.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-28 14:48:33 | ||
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文档简介
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第16章 二次根式能力提升测试题
考试范围：第16章 二次根式；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．带根号的式子一定是二次根式 B．定是二次根式
C．定是二次根式 D．二次根式的值必是无理数
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤5 B．x＞5 C．x＞﹣5 D．x≥5
4．下列与为同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简（ ）
A．2a+2b B．2a C．﹣2b D．2a﹣2b
6．若0，下列各数中，与的积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知a，b，c为正数，判断与的关系是（ ）（提示：数形结合）
A．≤ B．≥ C．＝ D．＜
8．化简计算的结果是（ ）
A．12 B．4 C．﹣4 D．﹣12
9．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．若，则x+y的值是 ．
12．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝ ．
13．已知|15﹣a|+|b﹣12|＝0，则2a﹣b+7的值为 ．
14．比较大小： （填“＞”“＝”“＜”）
15．已知整数x、y满足|x﹣5|1，则x+y的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（12分）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
17．（8分）已知M，N，甲、乙两位同学在y1的条件下分别计算了M和N的值，甲说M的值比N大，乙说N的值比M的值大，请你解答下列问题：
（1）求出x、y的值；
（2）判断他们谁的结论是正确的，并说明理由．
18．（8分）已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足．
（1）求a；
（2）先化简再求值：．
19．（8分）已知a，b，c满足|a﹣2|（c）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）以a，b，c为边能否组成一个三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
20．（9分）【数学抽象】：
（1）用“＝”“＞”“＜”填空：4+3 2；1 2；5+5 2．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由；
（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
21．（9分）已知a，b，m都是实数，若a+b＝2，则称a与b是关于1的“平衡数”．
（1）与 是关于1的“平衡数”；
（2）若，判断与是不是关于1的“平衡数”．
22．（10分）有这样一个问题：已知，求2m2﹣8m+1的值．
小明是这样解答的：∵，
∴，
∴（m﹣2）2＝3，即m2﹣4m+4＝3，
∴m2﹣4m＝﹣1，
∴2m2﹣8m+1＝2（m2﹣4m）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
根据小明的解答过程，解决以下问题：
（1）计算：．
（2）已知．
①求4a2﹣8a+1的值；
②求a3﹣3a2+a+1的值．
23．（11分）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：；
（2）m是正整数，a，b且2a2+1823ab+2b2＝2019．求m．
（3）已知1，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A D A B B D A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、若被开方数是负数，此时不是二次根式，不合题意；
B、∵x2+1＞0，∴定是二次根式，符合题意；
C、若x+y＜0，则无意义，不合题意；
D、二次根式的值不一定是无理数，如是二次根式，但它的结果是有理数，不合题意．
选：B．
2．解：A、，本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
选：B．
3．解：由题意得：5﹣x≥0，
解得：x≤5，
选：A．
4．解：∵，，是最简根式，，
∴与为同类二次根式的是．
选：A．
5．解：由图可知，b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，
∴．
选：D．
6．解：∵0，
∴a﹣5＝0，b﹣2＝0
解得a＝5，b＝2，
A、10，积为有理数，此选项符合题意；
B、2，积为无理数，此选项不符合题意；
C、2，积为无理数，此选项不符合题意；
D、10，积为无理数，此选项不符合题意．
选：A．
7．解：作MB⊥BN，BP平分∠MBN，取BA＝a，BC＝b，BD＝c，连接AC，BD，AD，CD，如图，
∵AB⊥BC，
∴AC．
∵BP平分∠MBN，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°．
过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F，如图，
∵AE⊥BD，∠ABE＝45°，
∴AE＝BEa，
∴ED＝BD﹣BE＝ca，
由勾股定理得：
AD，
同理可得：CD，
∵AD+CD≥AC，
∴．
选：B．
8．解：8﹣4＝4．
选：B．
9．解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． ，所以B选项不符合题意；
C． （）（2﹣3＝1，所以C选项不符合题意；
D． 2﹣3＝﹣1，所以D选项符合题意．
选：D．
10．解：∵，，
∴原式
＝3．
选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：∵0，
∴x﹣1＝0，x+y＝0．
答案为：0．
12．解：由题意可知：2m﹣1＝34﹣3m，
解得：m＝7，
答案为：7．
13．解：由题意可得：15﹣a＝0，b﹣12＝0，
解得：a＝15，b＝12．
2a﹣b+7＝2×15﹣12+7＝30﹣12+7＝25．
答案为：25．
14．解：∵，
∴．
答案为：＜．
15．解：∵|x﹣5|≥0，，y﹣3≥0，
∴若整数x，y满足，则0≤|x﹣5|≤1，01，
∵|x﹣5|与均为整数．
∴|x﹣5|＝1，0或|x﹣5|＝0，1．
当|x﹣5|＝1，时，x﹣5＝±1，y﹣3＝0．
∴x＝6或4，y＝3，
∴x+y＝6+3＝9或x+y＝4+3＝7．
当|x﹣5|＝0，1时，x﹣5＝0，y﹣3＝1．
∴x＝5，y＝4，
∴x+y＝5+4＝9．
答案为：9或7．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）原式
；
（2）原式
＝5；
（3）原式
；
（4）原式
．
17．解：（1）由，可得x＝4，y＝1．
（2）甲的结论正确．理由如下：
因此M2﹣1＝1，
N，
∴M＞N，
即M的值比N大．
18．解：（1）∵直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足，
∴c﹣6＝0且b﹣8＝0，
∴c＝6，b＝8，
当a为直角边时，a2；
当a为斜边时，a10；
所以a为2或10；
（2）要使有意义，必须a﹣6≥0，
所以a≥6，
∵26，10＞6，
∴a＝10，
∴
＝a﹣6
＝a﹣6+a﹣8
＝2a﹣14
＝2×10﹣14
＝20﹣14
＝6．
19．解：（1）∵a，b，c满足|a﹣2|（c）2＝0．
∴a﹣20，b﹣5＝0，c﹣30，
解得：a＝2，b＝5，c＝3；
（2）∵a＝2，b＝5，c＝3，
∴a+c＝235，
∴以a、b、c为边能构成三角形，
周长为25+355．
20．解：（1）∵4+3＝7，24，
∴72＝49，（4）2＝48，
∵49＞48，
∴4+3＞2；
∵11，21，
∴12；
∵5+5＝10，210，
∴5+5＝2．
答案为：＞，＞，＝．
（2）m+n≥2（m≥0，n≥0）．理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵（）2≥0，
∴（）2﹣2 （）2≥0，
∴m﹣2n≥0，
∴m+n≥2．
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，
根据（2）的结论可得：a+2b≥2222×20＝40，
∴篱笆至少需要40米．
答案为：40．
21．解：（1）2﹣（5）3，
即5与3是关于1的“平衡数”；
答案为：3；
（2）∵（m）（1）＝﹣2，
∴m1，
解得m＝1，
∴m3134，
∴与不是关于1的“平衡数”．
22．解：（1）原式
＝5；
（2）①∵，
∴，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴4a2﹣8a+1＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5；
②∵a2﹣2a＝1，
∴a3﹣3a2+a+1
＝a（a2﹣2a）﹣a2+a+1
＝a﹣a2+a+1
＝﹣（a2﹣2a）+1
＝﹣1+1
＝0．
23．解：（1）原式
（1）
（1）
；
（2）∵a（）2，b（）2，
∴a+b＝（）2+（）2＝2（2m+1），ab＝1．
∵2a2+1823ab+2b2＝2019，
∴2（a2+b2）+1823＝2019，
∴a2+b2＝98，
∴（a+b）2﹣2ab＝98，
∴4（2m+1）2﹣2＝98，
∴m＝2或﹣3，
∵m是正整数，
∴m＝2；
（3）∵1，
∴（）2＝1，
∴15+x2﹣2 26﹣x2＝1，
∴ 20，
∴（）2＝（）2+4 12+4×20＝81，
∵0，0，
∴9．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第16章 二次根式能力提升测试题
考试范围：第16章 二次根式；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．带根号的式子一定是二次根式 B．定是二次根式
C．定是二次根式 D．二次根式的值必是无理数
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤5 B．x＞5 C．x＞﹣5 D．x≥5
4．下列与为同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简（ ）
A．2a+2b B．2a C．﹣2b D．2a﹣2b
6．若0，下列各数中，与的积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知a，b，c为正数，判断与的关系是（ ）（提示：数形结合）
A．≤ B．≥ C．＝ D．＜
8．化简计算的结果是（ ）
A．12 B．4 C．﹣4 D．﹣12
9．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．若，则x+y的值是 ．
12．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝ ．
13．已知|15﹣a|+|b﹣12|＝0，则2a﹣b+7的值为 ．
14．比较大小： （填“＞”“＝”“＜”）
15．已知整数x、y满足|x﹣5|1，则x+y的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（12分）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
17．（8分）已知M，N，甲、乙两位同学在y1的条件下分别计算了M和N的值，甲说M的值比N大，乙说N的值比M的值大，请你解答下列问题：
（1）求出x、y的值；
（2）判断他们谁的结论是正确的，并说明理由．
18．（8分）已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足．
（1）求a；
（2）先化简再求值：．
19．（8分）已知a，b，c满足|a﹣2|（c）2＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）以a，b，c为边能否组成一个三角形？若能，求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
20．（9分）【数学抽象】：
（1）用“＝”“＞”“＜”填空：4+3 2；1 2；5+5 2．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由；
（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
21．（9分）已知a，b，m都是实数，若a+b＝2，则称a与b是关于1的“平衡数”．
（1）与 是关于1的“平衡数”；
（2）若，判断与是不是关于1的“平衡数”．
22．（10分）有这样一个问题：已知，求2m2﹣8m+1的值．
小明是这样解答的：∵，
∴，
∴（m﹣2）2＝3，即m2﹣4m+4＝3，
∴m2﹣4m＝﹣1，
∴2m2﹣8m+1＝2（m2﹣4m）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
根据小明的解答过程，解决以下问题：
（1）计算：．
（2）已知．
①求4a2﹣8a+1的值；
②求a3﹣3a2+a+1的值．
23．（11分）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：；
（2）m是正整数，a，b且2a2+1823ab+2b2＝2019．求m．
（3）已知1，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A D A B B D A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、若被开方数是负数，此时不是二次根式，不合题意；
B、∵x2+1＞0，∴定是二次根式，符合题意；
C、若x+y＜0，则无意义，不合题意；
D、二次根式的值不一定是无理数，如是二次根式，但它的结果是有理数，不合题意．
选：B．
2．解：A、，本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
选：B．
3．解：由题意得：5﹣x≥0，
解得：x≤5，
选：A．
4．解：∵，，是最简根式，，
∴与为同类二次根式的是．
选：A．
5．解：由图可知，b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，
∴．
选：D．
6．解：∵0，
∴a﹣5＝0，b﹣2＝0
解得a＝5，b＝2，
A、10，积为有理数，此选项符合题意；
B、2，积为无理数，此选项不符合题意；
C、2，积为无理数，此选项不符合题意；
D、10，积为无理数，此选项不符合题意．
选：A．
7．解：作MB⊥BN，BP平分∠MBN，取BA＝a，BC＝b，BD＝c，连接AC，BD，AD，CD，如图，
∵AB⊥BC，
∴AC．
∵BP平分∠MBN，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°．
过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F，如图，
∵AE⊥BD，∠ABE＝45°，
∴AE＝BEa，
∴ED＝BD﹣BE＝ca，
由勾股定理得：
AD，
同理可得：CD，
∵AD+CD≥AC，
∴．
选：B．
8．解：8﹣4＝4．
选：B．
9．解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． ，所以B选项不符合题意；
C． （）（2﹣3＝1，所以C选项不符合题意；
D． 2﹣3＝﹣1，所以D选项符合题意．
选：D．
10．解：∵，，
∴原式
＝3．
选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：∵0，
∴x﹣1＝0，x+y＝0．
答案为：0．
12．解：由题意可知：2m﹣1＝34﹣3m，
解得：m＝7，
答案为：7．
13．解：由题意可得：15﹣a＝0，b﹣12＝0，
解得：a＝15，b＝12．
2a﹣b+7＝2×15﹣12+7＝30﹣12+7＝25．
答案为：25．
14．解：∵，
∴．
答案为：＜．
15．解：∵|x﹣5|≥0，，y﹣3≥0，
∴若整数x，y满足，则0≤|x﹣5|≤1，01，
∵|x﹣5|与均为整数．
∴|x﹣5|＝1，0或|x﹣5|＝0，1．
当|x﹣5|＝1，时，x﹣5＝±1，y﹣3＝0．
∴x＝6或4，y＝3，
∴x+y＝6+3＝9或x+y＝4+3＝7．
当|x﹣5|＝0，1时，x﹣5＝0，y﹣3＝1．
∴x＝5，y＝4，
∴x+y＝5+4＝9．
答案为：9或7．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）原式
；
（2）原式
＝5；
（3）原式
；
（4）原式
．
17．解：（1）由，可得x＝4，y＝1．
（2）甲的结论正确．理由如下：
因此M2﹣1＝1，
N，
∴M＞N，
即M的值比N大．
18．解：（1）∵直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足，
∴c﹣6＝0且b﹣8＝0，
∴c＝6，b＝8，
当a为直角边时，a2；
当a为斜边时，a10；
所以a为2或10；
（2）要使有意义，必须a﹣6≥0，
所以a≥6，
∵26，10＞6，
∴a＝10，
∴
＝a﹣6
＝a﹣6+a﹣8
＝2a﹣14
＝2×10﹣14
＝20﹣14
＝6．
19．解：（1）∵a，b，c满足|a﹣2|（c）2＝0．
∴a﹣20，b﹣5＝0，c﹣30，
解得：a＝2，b＝5，c＝3；
（2）∵a＝2，b＝5，c＝3，
∴a+c＝235，
∴以a、b、c为边能构成三角形，
周长为25+355．
20．解：（1）∵4+3＝7，24，
∴72＝49，（4）2＝48，
∵49＞48，
∴4+3＞2；
∵11，21，
∴12；
∵5+5＝10，210，
∴5+5＝2．
答案为：＞，＞，＝．
（2）m+n≥2（m≥0，n≥0）．理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵（）2≥0，
∴（）2﹣2 （）2≥0，
∴m﹣2n≥0，
∴m+n≥2．
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，
根据（2）的结论可得：a+2b≥2222×20＝40，
∴篱笆至少需要40米．
答案为：40．
21．解：（1）2﹣（5）3，
即5与3是关于1的“平衡数”；
答案为：3；
（2）∵（m）（1）＝﹣2，
∴m1，
解得m＝1，
∴m3134，
∴与不是关于1的“平衡数”．
22．解：（1）原式
＝5；
（2）①∵，
∴，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴4a2﹣8a+1＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5；
②∵a2﹣2a＝1，
∴a3﹣3a2+a+1
＝a（a2﹣2a）﹣a2+a+1
＝a﹣a2+a+1
＝﹣（a2﹣2a）+1
＝﹣1+1
＝0．
23．解：（1）原式
（1）
（1）
；
（2）∵a（）2，b（）2，
∴a+b＝（）2+（）2＝2（2m+1），ab＝1．
∵2a2+1823ab+2b2＝2019，
∴2（a2+b2）+1823＝2019，
∴a2+b2＝98，
∴（a+b）2﹣2ab＝98，
∴4（2m+1）2﹣2＝98，
∴m＝2或﹣3，
∵m是正整数，
∴m＝2；
（3）∵1，
∴（）2＝1，
∴15+x2﹣2 26﹣x2＝1，
∴ 20，
∴（）2＝（）2+4 12+4×20＝81，
∵0，0，
∴9．
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