北师大版八年级数学下册 第3章 图形的平移与旋转 章节测试卷 （含详解）

第3章 《图形的平移与旋转》章节测试卷
一．选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)
1．下列说法中正确的是( )
A．如果把一个图形绕着一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称;
B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应顶点之间距离相等;
C．如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它不是中心对称图形；
D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形。
2．如图，从起点A到终点B有多条路径，其中第一条路径为线段，其长度为a，第二条路径为折线，其长度为b，第三条路径为折线，其长度为c，第四条路径为半圆弧，其长度为d，则这四条路径的长度关系为( )
A. B．
C． D．
3．4张扑克牌如图(1)所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图(2)所示，那么她所旋转的牌从左起是( )

A．第一张、第二张
B．第二张、第三张
C．第三张、第四张
D．第四张、第一张
4．如图是从一块边长为50cm的正方形材料中裁出的垫片，现测得FG＝9cm，则这块垫片的周长为(　　)
A．182cm B．191cm C．209cm D．218cm
5．如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形是( )
A． B．
C． D．
6．如图，在，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则旋转角的度数为( )
A． B． C． D．
7．已知点A(－1，－2)，B(3，4)，将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点C在x轴上，点B的对应点D在y轴上，则点C的坐标是( )．
A．(－4，0) B．(1，－5) C．(2，－4) D．(－3，1)
8．如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为(1，0)，(0，1)，．一个电动玩具从坐标原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称：第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…，照此规律重复下去，则点的坐标为( )
A．(2，2) B． C． D．
9．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P(2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)．已知点A的坐标为(2，0)，点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(8，6)，则△ABC的面积是(　　)
A．12 B．14 C．16 D．18
10．在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是( )
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
二．填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)
11．如图，三角形的边长为．将三角形向上平移得到三角形，且，则阴影部分的面积为 ．

12．如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是 .
13．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 ．
14．已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米，完成下列问题：
(1)当秒时， 平方厘米；
(2)当时，小正方形平移的时间为 秒．
15．如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当最小时， ．

16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，，则点的坐标为 ．

三．解答题(共7小题，满分52分)
17．(6分)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点A、都在格点上(两条网格线的交点叫格点)．
(1)将线段向上平移两个单位长度，点A的对应点为点，点的对应点为点，请画出平移后的线段．
(2)将线段绕点按逆时针方向旋转，点的对应点为点，请画出旋转后的线段．
18．(6分)如图，与关于点G中心对称，若点E，F分别在上，且，求证：．
19．(8分)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，使得点平移到点，点平移到点．
(1)直接写出点A和点的坐标，并证明；
(2)连接，求三角形的面积；
(3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积等于三角形的面积的一半？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
20．(8分如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．
(1)求证：平分；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若，，求的面积．
21．(8分)只用直尺(无刻度)完成下列作图：
(1)如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线平分这个正方形的面积；
(2)如图2，不过正方形EFGH的顶点作直线l平分这个正方形的面积；
(3)如图3，五个边长相等的正方形组成了一个“L型”图形，作直线m平分这个“L型”图形的面积．
22．(8分)已知每个网格中小正方形的边长都是，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为和的圆弧围成．
(1)在图2中画出一个图1的图案;
(2)请你在图3中以图1为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案(要求至少含有两种图形变换)．
23．(8分)在平面直角坐标系中，已知点为坐标原点，点．是等边三角形，点在第一象限．
(1)如图①，求点B的坐标．
(2)点是轴上的一个动点，连接，以点为旋转中心，把逆时针旋转，使边与重合，得．
①如图②，当点运动到点，时，求此时点的坐标；
②求在点运动过程中，求的最小值．
答案
一．选择题
1．C
【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可.
【详解】A：只有旋转180°后重合才是中心对称，故此选项错误；
B：对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，故错误；
C：如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它不是中心对称图形，正确；
D：如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它不一定是中心对称图形，故错误；
故选:C.
2．C
【分析】根据两点之间，线段最短可知a最小，根据平移的性质可知b=AC+BC=c，根据圆的定义，可得c＜d．据此解答即可．
【详解】解：根据两点之间，线段最短可知a最小，
根据平移的性质可知b=AC+BC=AD+DE+EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KL+LB=c，
由圆的定义可知c＜d，
∴；
故选：C
3．A
【详解】试题解析：观察两个图中可以发现，所有图形都没有变化，所以旋转的扑克是成中心对称的第一张和第二张．
故选A．
4．D
【分析】根据平移的思想进行求解即可．
【详解】解：在正方形中CD=BC=50cm,
由平移可知，
EF+GH+AB=CD=50cm，
AH+ED=BC+FG=50+9=59cm，
∴这块垫片的周长为50+50+59×2=218cm．
故选：D．
5．A
【分析】将图沿着它自己的右边缘翻折，则圆在正方形图形的右上角，然后绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，则圆在正方形的左下角，利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】先将图沿着它自己的右边缘翻折，得到，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形为．
故选：A
6．B
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质．先利用平行线的性质得到，则可计算出，再根据旋转的性质得等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可计算出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，
∴等于旋转角，
∴，
∴，
故选：B．
7．A
【分析】根据点A、B平移后的对应点的位置得到平移的规律，由此得到答案．
【详解】∵点A(－1，－2)平移后的对应点C在x轴上，
∴点A向上平移2个单位，
∵点B(3，4)的对应点D在y轴上，
∴点B向左平移3个单位，
∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到对应点C、D，
∴点C的坐标是(－4，0)．
故选：A．
8．C
【分析】计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标．
【详解】解：∵点与点关于点成中心对称，
∴P1(2，0)，
过P2作P2D⊥OB于点D，
∵与点关于点成中心对称，
∴P1B=P2B，
在△P1BO和△P2BD中
，
∴△P1BO≌△P2BD，
∴P2D=P1O=2，BD=BO=1，
∴OD=2，
∴P2(-2，2)，
同理可求：P3(0，-2)，P4(2，2)，P5(-2，0)，P6(0，0)，P7(2，0)，
从而可得出6次一个循环，
∵=335…3，
∴点P2013的坐标为(0，-2)．
故选C．
9．A
【分析】连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【详解】解：连接CQ，如图：
由中心对称可知，AQ＝BQ，
由轴对称可知：BQ＝CQ，
∴AQ＝CQ＝BQ，
∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，
∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，
∴∠ACQ+∠QCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，
∵A(2，0)，C(8，6)，
∴AF＝CF＝6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵，
∴∠AEC＝45°，
∴E点坐标为(14，0)，
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵C，E点在直线上，
可得：，
解得：，
∴y＝﹣x+14，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B(n+2，2n)，由2n＝﹣n﹣2+14，
解得：n＝4，
∴B(6，8)，
∴△ABC的面积＝S△ABE﹣S△ACE＝×12×8﹣×12×6＝12，
故选：A．
10．D
【分析】先由绕点逆时针旋转得到，则，则可判断是等边三角形，即可判断①；由等边三角形的性质得到，再根据旋转的性质得到，所以，则根据平行线的判定方法即可得到，即可判断②；由等边三角形的性质得到，由旋转得，即可得到的周长，即可判断③；设与相交于点，由三角形内角和定理、等边三角形性质、对顶角相等即可得到，由旋转性质得到，得到，即可判断④．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，熟记旋转和等边三角形的各种性质是解题的关键．
【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，所以①正确；
∵为等边三角形，
∴，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，所以②正确；
∵是等边三角形，
∴，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴的周长，所以③正确．
设与相交于点，如图，
∵，，
∴，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
所以④错误；
故选：D．
二．填空题
11．40
【分析】由平移的性质可得，，由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：由平移的性质可得，，
由题意知，，
故答案为：40．
12．
【分析】本题考查了旋转，一次函数与坐标轴的交点问题，由一次函数求出点的坐标，可得，再根据旋转可得，进而得到点的纵坐标和横坐标，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：把代入得，，
把代入得，，
∴，，
∴，，
∵把绕点顺时针旋转后得到，
∴，，，，
∴轴，轴，
∴点的纵坐标为，横坐标为，
∴点的坐标是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，勾股定理，根据等腰三角形的性质可得，，根据与关于点C中心对称，可得，，，再根据勾股定理可得的长．理解相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线，
∴，，
∴，
∵与关于点C中心对称，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：．
14． 1或5
【分析】(1)由题意可得出时，重叠部分为长方形，且宽为，长为，再根据长方形的面积公式计算即可；
(2)由题意可得出重叠部分长方形的长，则可计算出宽为．再分类讨论：①当重叠部分在大正方形的左边时和当重叠部分在大正方形的右边时，即可解答．
【详解】(1)时，重叠部分为长方形，且宽为，长为，
∴．
故答案为：3．
(2)当时，重叠部分长方形的长，
∴宽为．
分类讨论：①当重叠部分在大正方形的左边时，如图，
∴；
②当重叠部分在大正方形的右边时，如图，
∴．
综上可知小正方形平移的时间为1秒或5秒．
故答案为：1或5．
15．
【分析】连接，作于，根据直角三角形的性质可得，，从而得到是等边三角形，，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得，推出，设，则，求出，由勾股定理表示出，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，作于，
，
在，，，点为的中点，
，，
是等边三角形，
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，，
，
，
，，
，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
16．
【分析】过点作，与的延长线交于点，过点作轴于点，过作，与的延长线交于点，先证明，再证明，求得点的坐标，便可根据中心对称性质求得点的坐标．
【详解】解：过点作，与的延长线交于点，过点作轴于点，过作，与的延长线交于点，
∴，
∵，点的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴或(负值不符合题意，舍去)，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，
∴，
解得，
∴，
，
∵，
∴，
∴点、关于点对称，
∴．
故答案为：．

三．解答题
17．(1)解：如图所示：线段即为所求．
(2)解：如图所示：线段即为所求．
18．证明：∵与关于点G中心对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19．(1)解：点，点，
由平移的性质可得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)∵，
∴，
∵，，
∴，
∴三角形的面积为
(3)∵三角形的面积为10，
∴三角形的面积为5，
①若点在轴上，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为或
②若点在轴上，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或或．
20．(1)证明：绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
平分；
(2)
解：，理由如下：
，
，
，，
，
，
，
；
(3)解：作于，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的面积．
21．(1)如图直线l如图所示．
(2)如图直线l如图所示．
(3)直线m如图所示．
22．解：(1)如图：
(2)如图所示：
23．(1)
如图①，过点作轴交于，
点，
，
是等边三角形，
，，
，
，；
(2)
①如图②，过点作轴交于，过点作轴交于，过点作轴交于，交于，
，
由旋转可知，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
在中，，
，
，，
，；
②当时，点的对应点在轴上，当点与点重合时，点的对应点与点重合，
点在直线轴上运动，，
点在直线上运动，且直线经过点，，，，
直线解析式为，
作点关于直线的对称点，连接，，
，
，
当、、三点共线时，有最小值为，
此时，，
，，
，
的最小值为．