北师大版九年级数学下册 1.5三角函数的应用 试题（含详解）

1.5三角函数的应用
一、单选题
1．已知一个斜坡的坡面长30米，铅直高度为15米，则这个斜坡的坡度为( )
A． B． C． D．
2．如图，在综合实践活动中，嘉嘉在学校门口的点A处测得树的顶端的仰角为，同时测得米，则树的高为( )
A．米 B．米 C．米 D．米
3．位于河南省三门峡市的三门峡大坝诞生于1957年，被誉为“万里黄河第一坝”．它的建成不仅为黄河流域的灌溉和发电提供了重要的保障，也为国家的经济发展和生态环境保护做出了贡献．如图，大坝的横截面为梯形，迎水坡的坡角为，坡度约为，坝面宽，坝高约为，则坝底的长约为( )
A． B． C． D．
4．河堤横断面如图，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长是( )
A．米 B．10米 C．15米 D．米
5．学校摄影兴趣小组在上摄影课，小王发现摄影三脚架如图1所示，该支架三个脚长度相同且与地面夹角相同．如图2，过点A向地面作垂线，垂足为C．若三脚架的一个脚的长为2米，，则相机距地面的高度为( )
A．米 B．米 C．米 D．米
6．如图，已知直线为水平线，，从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是( )
A． B． C． D．
7．如图，四边形是某护坡大坝的横截面，，坝顶宽为5米，斜坡的坡度为，斜坡的坡角为，坡长米，则坝底宽约为( )
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图，表示两栋楼房，则下列说法正确的是( )
A．两楼之间的距离是 B．从点看点的仰角是
C．从点看点的仰角是 D．从点看点的俯角是
9．如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是( )
A． B．
C． D．
10．一艘货轮从小岛正南方向的点处向西航行到达点处，然后沿北偏西方向航行到达点处，此时观测到小岛在北偏东方向，则小岛与出发点之间的距离为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
11．在中，，则的值为 ．
12．如图，这是旅客出入站的自动扶梯示意图，自动扶梯的长为，倾斜角为，则自动扶梯的垂直高度的长为 ．
13．一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进，则此时小球距离地面的高度为
14．一个人从山下沿角的坡路登上山顶，共走了，那么这山的高度是 ．
15．如图，坡角为的斜坡上有一棵大树(垂直于水平地面)，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为 ．
16．某人在大厦一层乘坐观光电梯，看到大厦外一棵树上的鸟巢，仰角为，到达大厦的第五层后，再看这个鸟巢，俯角为，已知大厦的层高均为，则这棵树与大厦的距离为 m．
17．北斗卫星导航系统是中国自行硏制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向．则的度数为 ；B、C两地的距离是 ．(结果保留根号)
18．如图，为了测得某建筑物的高度，在处用高为的测角仪，测得该建筑物顶端的仰角为，再向建筑物方向前进，又测得该建筑物顶端A的仰角为，则该建筑物的高度为 (结果保留根号)
三、解答题
19.如图，灯塔A周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？(参考数据：，，，，，)
20．某兴趣小组测量一棵松树的高度．如图，在离树干的处，用高的测角仪测得松树顶端的仰角，已知树干和测角仪均与地面垂直，求该树干的高．(参考数据：)
21．为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为，在B点处测得碑顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是在同一直线上)，根据以上数据求烈士纪念碑的通高．(，结果保留一位小数)
22．如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距60米，在建筑物顶部测得铁塔底部的俯角为，测得铁塔顶部的仰角为，求：
(1)建筑物高(精确到1米)；
(2)求铁塔的高度(精确到1米)．(已知，)
23．近几年，中国的无人机技术发展迅速，处于世界领先水平．月日，南阳市某中学组织了“无人机进校园”活动，用科技结合所学知识，为孩子们点亮科技梦．如图，无人机操控者在一综合楼外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度处时，无人机测得操控者的俯角为，测得综合楼的顶点处的俯角为．已知操控者和综合楼之间的距离为，综合楼的高度为．求此时无人机的高度．(假设点，，，都在同一平面内．参考数据：，，)
24．如图，在一条水平的码头上有两处灯塔A和B，在灯塔处测得某一渔船位于北偏西方向的处，当渔船沿着正北方向前进到达处时，在灯塔处测得处位于西北方向．已知，求处到码头的距离．
25．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为．若斜坡的坡比，铅垂高度米(点在同一水平线上)．
(1)两位市民甲、乙之间的距离；
(2)此时飞机的高度．(结果保留根号)
26．嘉淇看到这样一道题目：
如图，某巡逻船在处测得一艘敌舰在北偏东的处，卫星测得相距海里，巡逻船静止不动，分钟后测得该敌舰在巡逻船的北偏东的处，此时卫星信号突然中断，已知该敌舰的航速为海里/小时．(结果保留整数，参考数据：，，，)
嘉淇过点作于，设海里，请你帮她接着解决以下问题：
(1)______里(用含用的代数式表示)；
(2)求敌舰在处时与巡逻船的距离．
答案
一、单选题
1．C
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，设坡角为，则，得出，进而根据坡度的定义，即可求解．
【详解】解：依题意，设坡角为，则
∴，
∴这个斜坡的坡度为，
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵为直角三角形，，
∴，
即，
∴(米)；
故选：A．
3．D
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点B作于E，先证明四边形是矩形，得到，再解得到，由此即可求出答案．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，
由题意得，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选D．
4．A
【分析】本题考查了坡比计算，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】∵堤高米，迎水坡的坡比是，
∴，
解得(米)，
故选A．
5．B
【分析】本此题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
【详解】解：∵三脚架的一个脚的长为2米，，
∴，
∴( 米)．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了俯角的定义，根据俯角是往下看，观测者的视线与水平线的夹角即为俯角，结合图形，即可求解．
【详解】解：∵直线为水平线，，
∴从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点A、D作的垂线，垂足分别为E、F，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，解直角三角形即可求解．
【详解】解：过点A、D作的垂线，垂足分别为E、F，
∵，
∴四边形是矩形，
∵斜坡的坡角为，
∴是等腰直角三角形，
∵米，
∴，
∴，
∵斜坡的坡度为，
∴，
∴(米)．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了解直角三角形—俯角、仰角的定义，根据俯角、仰角的定义解答即可，熟练掌握俯角、仰角的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、两楼之间的距离是，故原说法不正确，不符合题意；
B、从点看点的仰角是，故原说法不正确，不符合题意；
C、从点看点的仰角是，故原说法正确，符合题意；
D、从点看点的俯角是，故原说法不正确，不符合题意；
故选：C．
9．C
【分析】此题考查了仰角问题，过作于点，则四边形是矩形，根据性质和三角函数即可求解，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握三角函数的应用．
【详解】如图，过作于点，
则有四边形是矩形，
∴米，米，，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
10．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握相关性质，熟悉锐角三角函数定义是解答本题的关键．
过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，由直角三角形的性质得到，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，，
由题意得：
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
二、填空题
11．0.618
【分析】本题考查互余两角的三角函数的关系，掌握任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值是解题关键．由题意可得出，从而根据互余两角的三角函数的关系即可得出．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：0.618．
12．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握是解题的关键．
由题意知，根据，计算求解即可．
【详解】解，由题意知，，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，过点B作，根据，则设，，由勾股定理得，，即，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示，斜坡的坡度为，，过点B作，

在，，
∴设，，
由勾股定理得，，
∴，
解得(负值舍去)，
∴，即此时小球距离地面的高度为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，根据含角所对的直角边等于斜边的一半计算即可求解，掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键.
【详解】解：根据题意可得，山的高度，
故答案为：．
15．米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，过点作，交的延长线于，根据余弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于，
，
则，
米，
米，米，
在中，，
米，
米，
故答案为：米．
16．
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键，先画出图形，过作于，则，四边形为矩形，再进一步解决即可．
【详解】解：如图，由题意可得：，，，
过作于，则，四边形为矩形，
∴，，，，
∴，，，
∴，解得：，
∴，
∴这棵树与大厦的距离为；
故答案为：
17．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：，，，，从而可得，然后利用平角定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，求出的度数；先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
由题意得：，，，，
，
，
，
，
的度数为；
在中，千米，，
(千米)，
在中，，
(千米)，
，两地的距离为千米．
故答案为：，
18．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，设米，利用正切的定义用x表示出，，根据列方程，即可求解．
【详解】解：由题意知，，，
设，
在中，，
则，
在中，，
则，
，
，
解得，
，
故答案为：．
三、解答题
19．解：过点作，由题意，得：，，，
设，

在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴渔船没有触礁的危险．
20．解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
∵，
．
在中，，
，
，即树干的高约为8.5m
21．解：由题意得：，
∵是的外角，
在中，(m)，
．
答：烈士纪念碑的通高约为．
22．(1)解：过A点作于E点，
则四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴米；
(2)∵，
∴，
∴，
∴，
∴米．
23．解：如图，过点作于点，过点作于点．则四边形为矩形．
∴，．
∵无人机测得操控者的俯角为，测得综合楼的顶点处的俯角为
∴，，
∴．
∵，
∴．
设，则．
∴．
∵，
∴．
解得，．
∴．
∴此时无人机的高度约为．
24．解：如图，延长交直线于点．
，
设长为，则．
在中，，
．
又，
．
在中，，
．
，
解得，
．
答：处到码头的距离约为．
25．(1)解：∵斜坡CF的坡比，铅垂高度米，
∴，
∴米，
∴米；
(2)如图所示，过点D作于H，则四边形是矩形，
∴米，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设米，则米，米，
在中，，
∴，
解得，
∴米．
26．(1)解：根据题意得， ，(海里)，
在中，海里，
∴，
∴，
∴海里，
故答案为：；
(2)解：∵，
∴，
∴，
即，
解得，，
∵，
∴不合，舍去，
∴，
又，
即，
∴(负值舍去)，
∴(海里) ，
答：敌舰在处时与巡逻船的距离为海里．