北师大版九年级数学下册 2.2二次函数的图象与性质 试题（含详解）

2.2二次函数的图象与性质
一．选择题
1．若点在二次函数图象的对称轴上，则点的坐标可能是　　
A． B． C． D．
2．抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是　　
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
3．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
4．二次函数的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
5．已知二次函数，当时，函数值等于8，则下列关于，的关系式中，正确的是　　
A． B． C． D．
6．已知，点，，都在二次函数的图象上，则　　
A． B． C． D．
7．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为　　
A． B． C． D．
8．抛物线的顶点坐标为　　
A． B． C． D．
9．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为　　
A．0或1 B．0或4 C．1或4 D．0或1或4
二．填空题
10．抛物线的顶点坐标为　 　．
11．将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是 　 　．
12．如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点的坐标是 　　．
13．已知点在抛物线上，点与点关于此抛物线的对称轴对称，如果点的横坐标是，那么点的坐标是 　　．
14．将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是，新抛物线与原抛物线交于点(如图所示)，联结、，如果是等边三角形，那么点的坐标是 　　．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是 　　．
16．二次函数的最大值是 　　．
17．如图，把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 　　．
三．解答题
18．如图，，，，四点在抛物线上，且轴，与轴的交点分别为，，已知，，，求的值及的长．
19.已知如图所示，直线经过点和，它与抛物线在第一象限内交于点，且的面积为4．
(1)求直线的表达式；
(2)求的值．
20．平移抛物线，使顶点坐标为，并且经过点，求平移后抛物线对应的函数表达式．
21．探究二次函数及其图象的性质，请填空：
①图象的开口方向是 　　；
②图象的对称轴为直线 　　；
③图象与轴的交点坐标为 　　；
④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　．
22．已知抛物线，经过点和．
(1)求、的值；
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
答案
一．选择题
1．
【分析】根据函数解析式可确定对称轴为，点在对称轴上，因此的横坐标为5，进而可得答案．
【解答】解：二次函数图象的对称轴为，
点在二次函数图象的对称轴上，
点的横坐标为5，
故选：．
2．
【分析】先通过抛物线解析式得到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，
将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到抛物线．
故选：．
3．
【分析】先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据三点到对称轴的距离判断即可，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小解题即可．
【解答】解：，
，对称轴为直线，
抛物线开口向下，
，，，，
，
故选：．
4．
【分析】由抛物线顶点解析式可求得答案．
【解答】解：，
顶点坐标为，
故选：．
5．
【分析】把，代入计算即可．
【解答】解：由题意得：
把，代入得：
，
等号两边同除以2得：，
故选：．
6．
【分析】根据二次函数的增减性，进行求解即可．
【解答】解：，
，
，，
当时，随值的增大而减少，
．
故选：．
7．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为：．
故选：．
8．
【分析】抛物线的解析式为顶点式，根据抛物线的顶点式即可得出结论．
【解答】解：抛物线解析式为，
抛物线的顶点坐标为．
故选：．
9．
【分析】根据二次函数的性质和分类讨论的方法，可以求得的值．
【解答】解：二次函数，
当时，该函数取得最小值1，
当时，的最小值为，
当时，时取得最小值，此时，该方程无解；
当时，时取得最小值，此时，得；
当时，当时取得最小值，此时，得；
故选：．
二．填空题
10．
【分析】利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
11．
【分析】根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是y＝2(x+1)2﹣5．
故答案为：y＝2(x+1)2﹣5．
12．
【分析】依据题意，设，由抛物线，求出顶点，再在求得，进而可以判断得解．
【解答】解：如图，由题意，设．
由抛物线，
．
，．
．
在中，．
．
．
．
．
13．
【分析】根据抛物线，可以计算出点的纵坐标，写出抛物线的对称轴，再根据点与点关于此抛物线的对称轴对称，即可得到点的坐标．
【解答】解：点在抛物线上，点的横坐标是，
点的纵坐标为：，该抛物线的对称轴为直线，
点的坐标为，
点与点关于此抛物线的对称轴对称，
点的坐标是，
故答案为：．
14．
【分析】由题意设点的坐标为，然后根据等边三角形的性质得到，，解得，从而求得，．
【解答】解：点抛物线上，
设点的坐标为，
是等边三角形，
，，
或(舍去)，
，，
故答案为：，．
15．
【分析】二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的的值即可解决问题．
【解答】解：正方形的顶点、、的坐标分别为、、．
，
当抛物线经过点时，则，
当抛物线经过时，，
观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是 ≤a≤4，
故答案为： ≤a≤4．
16．
【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是，由可知：当时，函数有最大值是5．
【解答】解：中，，
此函数的顶点坐标是，有最大值5，
即当时，函数有最大值5．
故答案为：5．
17．
【分析】连接，，先求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，以及点的坐标，再利用二次函数的性质、三角形的面积公式即可得．
【解答】解：如图，连接，，
由题意得：平移后的抛物线的解析式为，
则抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为，
对于函数，当时，，即，
根据抛物线的对称性知：，
所以，
故答案为：16．
三．解答题
18．解：由题意可设点，，
则：，，
解得：，，
轴
，．
19．解：(1)设直线的解析式为，
将、分别代入得，
解得，
故直线的表达式为；
(2)的面积为4，
，
，
再把代入，得，
所以．
把代入到中得：．
故的值为．
20．解：平移抛物线，使顶点坐标为，
平移后的解析式为，
平移后的抛物线经过点，
，
解得或，
平移后抛物线对应的函数表达式或．
21．解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，有最小值1，
令，则，
图象与轴的交点坐标为，
故答案为：①向上；②；③；④3，．
22．解：(1)解：将点和代入抛物线得：．
解得：，
，；
(2)原函数的表达式为：，向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得平移后的新函数表达式为：即．