上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·上海市期中）函数的最小正周期为 .
2．（2024高一下·上海市期中）若 ，则点 在第 象限．
3．（2024高一下·上海市期中）已知平面上两点的坐标分别是为直线上一点，且，则点的坐标为 .
4．（2024高一下·上海市期中）若，则 ．
5．（2024高一下·上海市期中）若为第二象限角，，则 ．
6．（2024高一下·上海市期中）已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为 .
7．（2024高一下·上海市期中）在中，是方程的两个根，则 ．
8．（2024高一下·上海市期中）已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为 .
9．（2024高一下·上海市期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 .
10．（2024高一下·上海市期中）已知，其中.若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围为 .
11．（2024高一下·上海市期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 .
12．（2024高一下·上海市期中）若均为单位向量，下列结论中正确的是 （填写你认为所有正确结论的序号）
（1）若且，且，则的取值范围为；
（2）若且，且，则的取值范围为；
（3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为；
（4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为.
13．（2024高一下·上海市期中）下列说法错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反
D．若，都是单位向量，则
14．（2024高一下·上海市期中）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024高一下·上海市期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（ ）
A．1012 B．1013 C．2023 D．2024
16．（2024高一下·上海市期中）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（ ）
（1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根.
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2024高一下·上海市期中）已知，，.
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）若与方向相反，求实数的值.
18．（2024高一下·上海市期中）已知向量．设．
（1）求函数的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式；
（3）求关于的方程在区间上的解集．
19．（2024高一下·上海市期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中．
（1）求的值；
（2）当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．
20．（2024高一下·上海市期中）如图所示，已知，与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为，并设，其中为实数．
（1）求外接圆的直径；
（2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域；
（3）求为直径时，的值．
21．（2024高一下·上海市期中）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
（1）判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
（2）已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；
（3）已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：的图像如图所示，
由图像可知的最小正周期为.
故答案为：.
【分析】利用余弦函数的图象和绝对值的定义，再结合三角型函数的最小正周期，从而得出函数的最小正周期.
2．【答案】二
【知识点】象限角、轴线角；三角函数值的符号
【解析】【解答】 ,
,
点 在第二象限。
故答案为：二。
【分析】利用 ， 结合三角函数在各象限的符号，从而得出 ,再利用点在各象限的符号，进而判断出点 所在的象限。
3．【答案】.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：设，由，即，
可得，
即，解得，即.
故答案为：.
【分析】设，再根据和向量共线的坐标表示，从而得出点P的坐标.
4．【答案】
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：因为，
则，
所以是边长为2的正三角形，
所以为△ABC的边BC上的中线长的2倍，
所以．
故答案为：.
【分析】根据已知条件可判断出是边长为2的正三角形，再由向量加法的几何意义和中线的性质，从而得出的值.
5．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：，，
解得或
为第二象限角，.
故答案为：.
【分析】利用二倍角的余弦公式得到关于的方程，解方程得出的值.
6．【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量与的夹角为，，，所以，
则在上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据投影向量的计算公式求解即可.
7．【答案】1
【知识点】两角和与差的正切公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：在方程中，，
则，
在中，.
故答案为：1.
【分析】利用韦达定理、诱导公式以及两角和的正切公式，从而计算得出角C的正切值.
8．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于①：因为，由题意可得：，
则；
对于②：可得，解得且，
可得或，则或；
对于③：因为，则且在内单调递增，
可知在内单调递增，则不合题意，符合题意，
综上所述：.
故答案为：.
【分析】对于①：根据周期性可得的值；对于②：根据对称性可得的值；对于③：结合正弦函数单调性得出函数的解析式.
9．【答案】
【知识点】向量在几何中的应用；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：分别过，作的垂线，垂足为，，且，，
因为点在正八边形上运动，
所以在上的投影向量的起点为，终点在线段上移动，
则当点在上运动，取的最大值，
为，
则当点在上运动，取的最小值，
为，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件作出图形，由图可得点在上运动，取的最大值，当在上运动，取的最小值，从而求出相应最值，进而得出的取值范围.
10．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，
由，得，
若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，
则只需，解得．
故答案为：.
【分析】根据函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，可得，从而求出的取值范围．
11．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意，如图：
当时，在内无零点，
又因为不可能有7个零点，故当时，不满足题意；
由基本不等式得，
当且仅当，即时取等号，最小值为.
①当时，即时，无零点，
则当时，有7个零点，
此时，即，
故零点分别为时取得，
故，解得；
②当时，即当时，有一个零点，
此时有6个零点，即，
即，故零点分别为时取得，
此时，解得，
又因为满足，故满足条件；
③当，即时，
由对勾函数的性质可得在上有1个零点，
又因为，
则当时，即当时，
在上有1个零点，
故有2个零点，
此时有5个零点，即，
即，故零点分别为时取得.
此时，解得，综上可得；
当时，即当时，在上无零点，
故有1个零点，
此时有6个零点，即，不满足，
综上可得：或或.
故答案为：.
【分析】先根据三角函数图象变换，从而判断出当时不成立，再分析当时，函数的零点个数分别为0，1，2时，根据三角函数的图象变换，讨论的零点个数，即可得出实数a的取值范围.
12．【答案】（1）（2）（3）（4）
【知识点】函数恒成立问题；向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由且均为单位向量，作图：
则，
因为，即，
所以点在以为直径的圆上或内部，
又因为，所以点又在点为圆心的单位圆上，即点在圆的劣弧上，
又由，所以由图可得，故（1）正确；
由于与（1）不同，假设点为圆心半径为圆与以为直径的圆相交于点，
则点在圆的劣弧上，
由图可知以为直径的圆也是以为直径的圆，所以，
由，可得，
则由图可得，故（2）正确；
由平方得：，
又因为，所以得：，
上式是关于的一元二次不等式，由于对任意实数恒成立，
所以，
即，所以，由，可得，
又因为，所以，此时均为单位向量，如图：
由，
可知 ，
因为点是单位圆上的动点，所以，
此时由，可得：，
所以，故(3)正确；
由，作一个同心圆且半径为，分别交于点，
则，
由于三角形是等腰三角形，分别为的中点，可得，
所以，而，所以，故（4）正确.
故答案为：（1），（2），（3），（4）.
【分析】（1）利用向量关系作出几何图形，从而可知，再利用数形结合判断出（1）；（2）与（1）比较，仅改变了，同理利用数形结合去求出，则判断出（2）；要利用模的平方等于向量的平方进行计算，从而转到一元二次不等式恒成立，即可以求出，并求出与夹角，从而确定两向量的位置关系，再分析，即可求得最小值，则判断出（3）；作出图形后，利用转化为几何关系，从而求出的最小值，则判断出（4），进而找出结论正确的序号.
13．【答案】A
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：对于A，若，满足，，
但是不满足，故A错误；
对于B，由相等向量的定义可知，若，，则，故B正确；
对于C，若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反，故C正确；
对于D，若，都是单位向量，则，故D正确．
故答案为：A.
【分析】举特例否定，从而判断出选项A；由向量相等的定义，则判断选项B；由向量平行的定义，则判断出选项C；由单位向量定义和向量求模公式，则判断出选项D，从而找出说法错误的选项.
14．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：方法一：因为，，要使三角形有且只有两个，即会出现两个符合题意的值，
由余弦定理得，即，
依题意可得关于的方程有两个不相等的正根，
则，解得，
又因为，解得，
综上可得.
方法二：由正弦定理，
得，
所以，则，
由且，所以，
则由，解得，
综上可得.
故答案为：A.
【分析】利用两种方法求解.
方法一：由余弦定理得，即有两个不相等的正根，则，即可求出的取值范围，从而求出角的取值范围.
方法二：根据正弦定理得到，即可求出的取值范围，再结合、的关系式求出角的取值范围.
15．【答案】B
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，
当且时，恰好取到半个周期内的值，且单调递减，
所以在半个周期内有个不同的值，
再根据对称性得在1个周期内有个不同的值，
由集合中元素的互异性得，集合中的元素个数为.
故答案为：B．
【分析】利用已知条件和函数的单调性分析得出当且时，恰好取到半个周期的值，再根据对称性和集合元素的互异性，从而得出集合A中元素的个数．
16．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；含三角函数的复合函数的周期；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为，所以为偶函数，
当时，；
当时，；
当时，；
因为为偶函数，所以，函数的图像如下图所示：
因为，
所以为偶函数，
由可知，在，内，
当，时，；
当，且，时，；
当或，时，，
则函数的图像如下图所示：
显然不是周期函数，故（1）错误；
的图像不关于直线对称，故（2）错误；
因为当， 时，，，
所以，
不存在，使，故无解，
当，且，时，，
所以，如图所示，
此时有一个解，
当或，时，，
所以，
综上所述，方程有2个实数根，故（3）正确．
故答案为：B．
【分析】由题意可得、均为偶函数，从而作出两函数的图象，则可判断（1），（2）；分，，且及或，，从而判断出（3），进而找出真命题的个数．
17．【答案】（1）解：因为，，，
所以，即，所以，
又因为与垂直，所以，
即，
即，解得.
（2）解：因为，且，
所以，
所以与不共线，
又因为与方向相反，
则，即，
解得（舍去）或，
所以.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）首先求出的值，依题意可得，再根据数量积的运算法则，从而计算可得实数k的值.
（2）首先判断与不共线，依题意得出，再根据平面向量基本定理得出方程，从而解方程得出实数k的值.
（1）因为，，，
所以，即，所以，
又与垂直，所以，即，
即，解得.
（2）因为，且，所以，
所以与不共线，
又与方向相反，则，
即，解得（舍去）或，
所以.
18．【答案】（1）解：因为，
令，则得出对称轴为直线．
（2）解：．
（3）解：由，得，
由于，
所以或，故所求解集为．
另解：由，得或，
解得或，
又因为，所以或，则所求解集为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）由平面向量的数量积的坐标表示、降幂公式和辅助角公式，从而求得函数的解析式，再用整体法求出该函数图象的对称轴方程.
（2）由正弦型函数的图象变换得出函数的解析式.
（3）利用两种方法求解，由得，再结合得出关于的方程在区间上的解集．
（1），
令，得对称轴为直线．
（2）．
（3）由得，由于，
所以或，故所求解集为．
另解：由得或，
解得或，
又，所以或，所求解集为．
19．【答案】（1）解：如图，设筒车与水面的交点为，，连接，
过点作于点，过点分别作于点，于点，
则，，
因为筒车转一周需要1分钟，
所以，故，
在中，，
所以，即．
（2）解：盛水筒处于向下运动的状态，
结合（1）可得，，
则当时，，此时单调递减，
所以盛水筒处于向下运动的状态．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆的半径、正弦型函数的最小正周期公式以及锐角三角函数的定义，从而得出角的值.
（2）结合（1）可得，，再根据的取值范围可得的取值范围，即可判断函数的单调性，进而可得到盛水筒P的运动状态．
（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接，
过点作于点，过点分别作于点，于点，
则，，
因为筒车转一周需要1分钟，所以，故，
在中，，
所以，即．
（2）盛水筒处于向下运动的状态，
结合（1）可得，，
则当时，，此时单调递减，
所以盛水筒处于向下运动的状态．
20．【答案】（1）解：在中，由余弦定理得，，解得，
由正弦定理得，，
所以外接圆的直径为．
（2）解：连接，由意可知，，
在中，由正弦定理，则，
又因为，
则，
所以
，
由正弦定理得，
所以．
（3）解：法一：设与交于点，当为直径时，，
此时，
由正弦定理可得：，
则由正弦定理得，
由向量的共线定理可得存在，
使得且，
故.
法二：连接，
由题意可知，，
此时，，即，
同理，由，得，
即，
解得，
因此．
【知识点】平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得的值，再由正弦定理，即可求出外接圆直径.
（2）由正弦定理和同角三角函数的平方关系得出的值，结合两角和的正弦公式得出的值，再由正弦定理得出，并求出函数的定义域.
（3）利用两种方法求解.
法一：由正弦定理和同角三角函数的平方关系，从而得出的值，再结合向量的共线定理，即可求出当为直径时的的值．
法二：连接，由，，从而列方程求解得出当为直径时的的值．
（1）在中，由余弦定理得，，解得，
由正弦定理得，，
所以外接圆的直径为．
（2）连接，由意可知，，
在中，由正弦定理，则，
又，则，
于是
，
由正弦定理得，，
所以．
（3）法一：设与交于点，当为直径时，，
此时，
又由正弦定理可得，
于是，
因此由正弦定理得，
而由向量的共线定理可得存在，使得，且，
故，
法二：连接，由题可知，，
由于此时，，即，
同理，由得，，即，
解得，因此．
21．【答案】（1）解：因为，
则，
故，
所以是正弦周期函数.
（2）解：存在，使得，故，
因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，
所以，
又因为，，
所以，
又因为，
则，
故，，
因为，所以，且严格单调递增，
由于，，
故，解得，
则整数，
下证，
若不然，，则，
由的值域为R知，
存在，，使得，，
则，
，
由严格单调递增可知：，
又因为，
故，这与矛盾，故，
综上所述，.
（3）证明：法1：若，则由可知为周期函数，
若，
则对任意，存在正整数，使得且，
因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，
且，所以
故，所以，
若，则同理可证（取为负整数即可），综上所述，得证.
法2：假设不是周期函数，
则与均不恒成立，显然，
因为不恒成立，所以存在，使得
因为，
所以存在，使得且，
其中若，取为负整数；若，取为正整数，
因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，
且，
由正弦周期性得
即，
所以，矛盾，假设不成立，
综上所述，是周期函数.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由题意得到，即可判断为“正弦周期函数”.
（2）由题中已知条件得到，故，，由函数单调性得到不等式，从而求出，再证明不合要求，从而得到的值，进而求出的值.
（3）利用两种方法证明.
法1：利用满足要求，若，则对任意，存在正整数，使得且，得到，，若，同理可证明，从而证出函数是周期函数.
法2：利用反证法求证，假设不是周期函数，则与均不恒成立，存在，使得，再利用题中已知条件推出，故假设不成立，从而证出函数是周期函数.
（1），则，
故，
所以是正弦周期函数.
（2）存在，使得，故，
因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，
所以，
又，，
所以，
又，
则，
故，，
因为，所以，且严格增，
由于，，
故，解得，
则整数，
下证.
若不然，，则，由的值域为R知，
存在，，使得，，
则，
，
由严格单调递增可知，
又，
故，这与矛盾.
故，综上所述，；
（3）法1：若，则由可知为周期函数.
若，则对任意，存在正整数，使得且.
因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且，
所以，
故，所以，
若，则同理可证（取为负整数即可）.
综上，得证.
法2：假设不是周期函数，则与均不恒成立.
显然.
因为不恒成立，所以存在，使得，
因为，所以存在，使得且，
其中若，取为负整数；若，取为正整数.
因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且，
由正弦周期性得，
即，
所以，矛盾，假设不成立，
综上，是周期函数.
1 / 1上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·上海市期中）函数的最小正周期为 .
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：的图像如图所示，
由图像可知的最小正周期为.
故答案为：.
【分析】利用余弦函数的图象和绝对值的定义，再结合三角型函数的最小正周期，从而得出函数的最小正周期.
2．（2024高一下·上海市期中）若 ，则点 在第 象限．
【答案】二
【知识点】象限角、轴线角；三角函数值的符号
【解析】【解答】 ,
,
点 在第二象限。
故答案为：二。
【分析】利用 ， 结合三角函数在各象限的符号，从而得出 ,再利用点在各象限的符号，进而判断出点 所在的象限。
3．（2024高一下·上海市期中）已知平面上两点的坐标分别是为直线上一点，且，则点的坐标为 .
【答案】.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：设，由，即，
可得，
即，解得，即.
故答案为：.
【分析】设，再根据和向量共线的坐标表示，从而得出点P的坐标.
4．（2024高一下·上海市期中）若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：因为，
则，
所以是边长为2的正三角形，
所以为△ABC的边BC上的中线长的2倍，
所以．
故答案为：.
【分析】根据已知条件可判断出是边长为2的正三角形，再由向量加法的几何意义和中线的性质，从而得出的值.
5．（2024高一下·上海市期中）若为第二象限角，，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：，，
解得或
为第二象限角，.
故答案为：.
【分析】利用二倍角的余弦公式得到关于的方程，解方程得出的值.
6．（2024高一下·上海市期中）已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量与的夹角为，，，所以，
则在上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据投影向量的计算公式求解即可.
7．（2024高一下·上海市期中）在中，是方程的两个根，则 ．
【答案】1
【知识点】两角和与差的正切公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：在方程中，，
则，
在中，.
故答案为：1.
【分析】利用韦达定理、诱导公式以及两角和的正切公式，从而计算得出角C的正切值.
8．（2024高一下·上海市期中）已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为 .
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于①：因为，由题意可得：，
则；
对于②：可得，解得且，
可得或，则或；
对于③：因为，则且在内单调递增，
可知在内单调递增，则不合题意，符合题意，
综上所述：.
故答案为：.
【分析】对于①：根据周期性可得的值；对于②：根据对称性可得的值；对于③：结合正弦函数单调性得出函数的解析式.
9．（2024高一下·上海市期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】向量在几何中的应用；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：分别过，作的垂线，垂足为，，且，，
因为点在正八边形上运动，
所以在上的投影向量的起点为，终点在线段上移动，
则当点在上运动，取的最大值，
为，
则当点在上运动，取的最小值，
为，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件作出图形，由图可得点在上运动，取的最大值，当在上运动，取的最小值，从而求出相应最值，进而得出的取值范围.
10．（2024高一下·上海市期中）已知，其中.若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，
由，得，
若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，
则只需，解得．
故答案为：.
【分析】根据函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点，可得，从而求出的取值范围．
11．（2024高一下·上海市期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意，如图：
当时，在内无零点，
又因为不可能有7个零点，故当时，不满足题意；
由基本不等式得，
当且仅当，即时取等号，最小值为.
①当时，即时，无零点，
则当时，有7个零点，
此时，即，
故零点分别为时取得，
故，解得；
②当时，即当时，有一个零点，
此时有6个零点，即，
即，故零点分别为时取得，
此时，解得，
又因为满足，故满足条件；
③当，即时，
由对勾函数的性质可得在上有1个零点，
又因为，
则当时，即当时，
在上有1个零点，
故有2个零点，
此时有5个零点，即，
即，故零点分别为时取得.
此时，解得，综上可得；
当时，即当时，在上无零点，
故有1个零点，
此时有6个零点，即，不满足，
综上可得：或或.
故答案为：.
【分析】先根据三角函数图象变换，从而判断出当时不成立，再分析当时，函数的零点个数分别为0，1，2时，根据三角函数的图象变换，讨论的零点个数，即可得出实数a的取值范围.
12．（2024高一下·上海市期中）若均为单位向量，下列结论中正确的是 （填写你认为所有正确结论的序号）
（1）若且，且，则的取值范围为；
（2）若且，且，则的取值范围为；
（3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为；
（4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【知识点】函数恒成立问题；向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由且均为单位向量，作图：
则，
因为，即，
所以点在以为直径的圆上或内部，
又因为，所以点又在点为圆心的单位圆上，即点在圆的劣弧上，
又由，所以由图可得，故（1）正确；
由于与（1）不同，假设点为圆心半径为圆与以为直径的圆相交于点，
则点在圆的劣弧上，
由图可知以为直径的圆也是以为直径的圆，所以，
由，可得，
则由图可得，故（2）正确；
由平方得：，
又因为，所以得：，
上式是关于的一元二次不等式，由于对任意实数恒成立，
所以，
即，所以，由，可得，
又因为，所以，此时均为单位向量，如图：
由，
可知 ，
因为点是单位圆上的动点，所以，
此时由，可得：，
所以，故(3)正确；
由，作一个同心圆且半径为，分别交于点，
则，
由于三角形是等腰三角形，分别为的中点，可得，
所以，而，所以，故（4）正确.
故答案为：（1），（2），（3），（4）.
【分析】（1）利用向量关系作出几何图形，从而可知，再利用数形结合判断出（1）；（2）与（1）比较，仅改变了，同理利用数形结合去求出，则判断出（2）；要利用模的平方等于向量的平方进行计算，从而转到一元二次不等式恒成立，即可以求出，并求出与夹角，从而确定两向量的位置关系，再分析，即可求得最小值，则判断出（3）；作出图形后，利用转化为几何关系，从而求出的最小值，则判断出（4），进而找出结论正确的序号.
13．（2024高一下·上海市期中）下列说法错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反
D．若，都是单位向量，则
【答案】A
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：对于A，若，满足，，
但是不满足，故A错误；
对于B，由相等向量的定义可知，若，，则，故B正确；
对于C，若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反，故C正确；
对于D，若，都是单位向量，则，故D正确．
故答案为：A.
【分析】举特例否定，从而判断出选项A；由向量相等的定义，则判断选项B；由向量平行的定义，则判断出选项C；由单位向量定义和向量求模公式，则判断出选项D，从而找出说法错误的选项.
14．（2024高一下·上海市期中）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：方法一：因为，，要使三角形有且只有两个，即会出现两个符合题意的值，
由余弦定理得，即，
依题意可得关于的方程有两个不相等的正根，
则，解得，
又因为，解得，
综上可得.
方法二：由正弦定理，
得，
所以，则，
由且，所以，
则由，解得，
综上可得.
故答案为：A.
【分析】利用两种方法求解.
方法一：由余弦定理得，即有两个不相等的正根，则，即可求出的取值范围，从而求出角的取值范围.
方法二：根据正弦定理得到，即可求出的取值范围，再结合、的关系式求出角的取值范围.
15．（2024高一下·上海市期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（ ）
A．1012 B．1013 C．2023 D．2024
【答案】B
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，
当且时，恰好取到半个周期内的值，且单调递减，
所以在半个周期内有个不同的值，
再根据对称性得在1个周期内有个不同的值，
由集合中元素的互异性得，集合中的元素个数为.
故答案为：B．
【分析】利用已知条件和函数的单调性分析得出当且时，恰好取到半个周期的值，再根据对称性和集合元素的互异性，从而得出集合A中元素的个数．
16．（2024高一下·上海市期中）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（ ）
（1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；含三角函数的复合函数的周期；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为，所以为偶函数，
当时，；
当时，；
当时，；
因为为偶函数，所以，函数的图像如下图所示：
因为，
所以为偶函数，
由可知，在，内，
当，时，；
当，且，时，；
当或，时，，
则函数的图像如下图所示：
显然不是周期函数，故（1）错误；
的图像不关于直线对称，故（2）错误；
因为当， 时，，，
所以，
不存在，使，故无解，
当，且，时，，
所以，如图所示，
此时有一个解，
当或，时，，
所以，
综上所述，方程有2个实数根，故（3）正确．
故答案为：B．
【分析】由题意可得、均为偶函数，从而作出两函数的图象，则可判断（1），（2）；分，，且及或，，从而判断出（3），进而找出真命题的个数．
17．（2024高一下·上海市期中）已知，，.
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）若与方向相反，求实数的值.
【答案】（1）解：因为，，，
所以，即，所以，
又因为与垂直，所以，
即，
即，解得.
（2）解：因为，且，
所以，
所以与不共线，
又因为与方向相反，
则，即，
解得（舍去）或，
所以.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）首先求出的值，依题意可得，再根据数量积的运算法则，从而计算可得实数k的值.
（2）首先判断与不共线，依题意得出，再根据平面向量基本定理得出方程，从而解方程得出实数k的值.
（1）因为，，，
所以，即，所以，
又与垂直，所以，即，
即，解得.
（2）因为，且，所以，
所以与不共线，
又与方向相反，则，
即，解得（舍去）或，
所以.
18．（2024高一下·上海市期中）已知向量．设．
（1）求函数的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，直接写出函数的表达式；
（3）求关于的方程在区间上的解集．
【答案】（1）解：因为，
令，则得出对称轴为直线．
（2）解：．
（3）解：由，得，
由于，
所以或，故所求解集为．
另解：由，得或，
解得或，
又因为，所以或，则所求解集为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）由平面向量的数量积的坐标表示、降幂公式和辅助角公式，从而求得函数的解析式，再用整体法求出该函数图象的对称轴方程.
（2）由正弦型函数的图象变换得出函数的解析式.
（3）利用两种方法求解，由得，再结合得出关于的方程在区间上的解集．
（1），
令，得对称轴为直线．
（2）．
（3）由得，由于，
所以或，故所求解集为．
另解：由得或，
解得或，
又，所以或，所求解集为．
19．（2024高一下·上海市期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中．
（1）求的值；
（2）当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．
【答案】（1）解：如图，设筒车与水面的交点为，，连接，
过点作于点，过点分别作于点，于点，
则，，
因为筒车转一周需要1分钟，
所以，故，
在中，，
所以，即．
（2）解：盛水筒处于向下运动的状态，
结合（1）可得，，
则当时，，此时单调递减，
所以盛水筒处于向下运动的状态．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆的半径、正弦型函数的最小正周期公式以及锐角三角函数的定义，从而得出角的值.
（2）结合（1）可得，，再根据的取值范围可得的取值范围，即可判断函数的单调性，进而可得到盛水筒P的运动状态．
（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接，
过点作于点，过点分别作于点，于点，
则，，
因为筒车转一周需要1分钟，所以，故，
在中，，
所以，即．
（2）盛水筒处于向下运动的状态，
结合（1）可得，，
则当时，，此时单调递减，
所以盛水筒处于向下运动的状态．
20．（2024高一下·上海市期中）如图所示，已知，与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为，并设，其中为实数．
（1）求外接圆的直径；
（2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域；
（3）求为直径时，的值．
【答案】（1）解：在中，由余弦定理得，，解得，
由正弦定理得，，
所以外接圆的直径为．
（2）解：连接，由意可知，，
在中，由正弦定理，则，
又因为，
则，
所以
，
由正弦定理得，
所以．
（3）解：法一：设与交于点，当为直径时，，
此时，
由正弦定理可得：，
则由正弦定理得，
由向量的共线定理可得存在，
使得且，
故.
法二：连接，
由题意可知，，
此时，，即，
同理，由，得，
即，
解得，
因此．
【知识点】平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得的值，再由正弦定理，即可求出外接圆直径.
（2）由正弦定理和同角三角函数的平方关系得出的值，结合两角和的正弦公式得出的值，再由正弦定理得出，并求出函数的定义域.
（3）利用两种方法求解.
法一：由正弦定理和同角三角函数的平方关系，从而得出的值，再结合向量的共线定理，即可求出当为直径时的的值．
法二：连接，由，，从而列方程求解得出当为直径时的的值．
（1）在中，由余弦定理得，，解得，
由正弦定理得，，
所以外接圆的直径为．
（2）连接，由意可知，，
在中，由正弦定理，则，
又，则，
于是
，
由正弦定理得，，
所以．
（3）法一：设与交于点，当为直径时，，
此时，
又由正弦定理可得，
于是，
因此由正弦定理得，
而由向量的共线定理可得存在，使得，且，
故，
法二：连接，由题可知，，
由于此时，，即，
同理，由得，，即，
解得，因此．
21．（2024高一下·上海市期中）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
（1）判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
（2）已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；
（3）已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.
【答案】（1）解：因为，
则，
故，
所以是正弦周期函数.
（2）解：存在，使得，故，
因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，
所以，
又因为，，
所以，
又因为，
则，
故，，
因为，所以，且严格单调递增，
由于，，
故，解得，
则整数，
下证，
若不然，，则，
由的值域为R知，
存在，，使得，，
则，
，
由严格单调递增可知：，
又因为，
故，这与矛盾，故，
综上所述，.
（3）证明：法1：若，则由可知为周期函数，
若，
则对任意，存在正整数，使得且，
因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，
且，所以
故，所以，
若，则同理可证（取为负整数即可），综上所述，得证.
法2：假设不是周期函数，
则与均不恒成立，显然，
因为不恒成立，所以存在，使得
因为，
所以存在，使得且，
其中若，取为负整数；若，取为正整数，
因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，
且，
由正弦周期性得
即，
所以，矛盾，假设不成立，
综上所述，是周期函数.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由题意得到，即可判断为“正弦周期函数”.
（2）由题中已知条件得到，故，，由函数单调性得到不等式，从而求出，再证明不合要求，从而得到的值，进而求出的值.
（3）利用两种方法证明.
法1：利用满足要求，若，则对任意，存在正整数，使得且，得到，，若，同理可证明，从而证出函数是周期函数.
法2：利用反证法求证，假设不是周期函数，则与均不恒成立，存在，使得，再利用题中已知条件推出，故假设不成立，从而证出函数是周期函数.
（1），则，
故，
所以是正弦周期函数.
（2）存在，使得，故，
因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，
所以，
又，，
所以，
又，
则，
故，，
因为，所以，且严格增，
由于，，
故，解得，
则整数，
下证.
若不然，，则，由的值域为R知，
存在，，使得，，
则，
，
由严格单调递增可知，
又，
故，这与矛盾.
故，综上所述，；
（3）法1：若，则由可知为周期函数.
若，则对任意，存在正整数，使得且.
因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且，
所以，
故，所以，
若，则同理可证（取为负整数即可）.
综上，得证.
法2：假设不是周期函数，则与均不恒成立.
显然.
因为不恒成立，所以存在，使得，
因为，所以存在，使得且，
其中若，取为负整数；若，取为正整数.
因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且，
由正弦周期性得，
即，
所以，矛盾，假设不成立，
综上，是周期函数.
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