沪科版数学八年级下册第16章二次根式章节综合测试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2024八下·当阳期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C．. D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B正确，符合题意；
对于C，已经是最简形态无法合并，故C错误，不符合题意；
对于D，，故D错误，不符合题意.
故选：B.
【分析】由同类二次根式合并法则判断AC，二次根式乘除法运算判断BD.
2．（2016八下·高安期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
3．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
4．（2024八下·沾益月考）估算的值在（ ）
A．之间 B．之间 C．之间 D．之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简
5．（2024八下·海曙月考）把根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
6．（2024八下·鸡西月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，b＞0＞a，且|a|＞|b|，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用数轴得出b＞0＞a，a＋b＜0，然后利用二次根式的性质并化简绝对值，即可得到答案．
7．（2024八下·长安期末）若化简的结果为，则的取值范围是( )
A．一切实数 B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
8．（2024八下·宁明期末）已知，则化简的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解： ∵，
∴a-1＞0，a-3＜0，
∴
=
=a-1+a-4
=2a-5.
故答案为：A.
【分析】首先根据，得出a-1＞0，a-3＜0，然后化简去根号，即可得出答案.
9．（2024八下·广饶期末）已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的应用
10．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2024八下·北京市期中）计算：已知，，则 ．
【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴xy==
=5-3
=2.
故答案为：2
【分析】根据二次根式的乘法法则和平方差公式"(a+b)(a-b)=a2-b2"进行计算即可求解.
12． 若 满足 ， 则平面直角坐标系中的点 在第 象限．
【答案】四
【知识点】二次根式有意义的条件；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ 满足 ，
∴2-a≥0，a-2≥0，
∴a=2，b=-3，
∴点P（2，-3）位于第四象限，
故答案为：四
【分析】先根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合题意即可得到a和b，进而根据点与象限的关系结合题意即可求解。
13．（2024八上·上海市月考）二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用，如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵长方形的长是，宽是，
∴长方形的面积为：，
∵圆的面积等于长方形的面积，
∴圆的面积为，
∴圆的半径为．
故答案为：．
【分析】先计算出长方形的面积，再由圆的面积等于长方形的面积，可得圆的面积，然后根据圆的面积公式求出半径即可．
14．（2023·黄冈模拟）人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝， 记
…，S100＝，则S1+S2+…+S100＝ ．
【答案】5050
【知识点】分式的加减法；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
，
……，
，
∴ S1+S2+…+S100＝ 1+2+3+……+100=.
故答案为：5050.
【分析】首先根据二次根式的混合运算法则算出ab的值，进而根据异分母分式加法法则分别算出 S1=1，S2=2，…，S100=100，最后根据有理数的加法法则计算即可.
15．（2024八上·上海市月考）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例：，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ．
【答案】33或127
【知识点】无理数的估值；二次根式的应用；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：“神奇区间”为，
、为连续正整数，
，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
符合条件的，有，，；，，．
①当，，时，
∴，，
则=33，
当，，时，
∴，，
则=127，
故的值为或，
故答案为：或．
【分析】根据“神奇区间”的定义及二元一次方程正整数解，可得，，；，，．再分别代入求出p值即可.
三、计算题（共8分）
16．（2024八上·南山期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差公式结合题意即可求解；
（2）先根据题意分母有理化，进而根据立方根结合题意即可求解；
（3）先化简二次根式，进而根据二次根式的加减运算即可求解。
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
四、解答题（共6题，共64分）
17．（2024八上·茂名期中）已知和是某数m的两个平方根，的立方根是3，c是的整数部分，
（1）求m的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）49
（2）
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
18．（2024八下·新会期中）山西剪纸是一门古老的传统民间艺术，具有明显的地域特色和极高的艺术价值．为传承这一艺术，我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上．如图，这是小悦同学的参赛作品（单位：）．
（1）通过计算，判断小悦的作品是否符合参赛标准．
（2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为多少？（彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）
【答案】（1）解：由题意可知，∵，
∴小悦的作品符合参赛标准．
（2）解：由题意可得，
∴需要彩条的长度约为
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式列式计算，比较即可；
（2）根据长方形的周长公式，列式计算即可．
19．（2024八上·南昌期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现(不考虑阻力的影响)．
（1）求物体从的高空落到地面的时间；
（2）已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？
（3）在（2）的结果中，你能得到什么启示？(注：杀伤无防护人体只需要的能量)
【答案】（1）
（2）
（3）严禁高空抛物
【知识点】二次根式的应用；求代数式的值-直接代入求值
20．（2025八上·隆回期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简：
且，．
（1）填上适当的数：｜__________｜__________；
（2）当时，化简．
【答案】（1），，
（2）
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
21．观察下列各式及其验证过程：
①验证：
②验证：
（1）参照上述等式及其验证过程的基本思路猜想： .
（2）请用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示上述各式所反映的一般规律，并给出验证.
【答案】（1）
（2）解：由
故根据上述规律可知： (n为自然数，且n≥2)，
验证：171
故结论成立.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得
故答案为：
【分析】（1）根据题意直接总结规律，进而即可求解；
（2）先根据题意得到 进而即可得到，再验证即可求解。
22．（2024八上·雨城期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（3）计算：．
【答案】（1）2
（2）
（3）
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；分母有理化；二次根式的混合运算
五、综合题（共13分）
23．我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号．
（1）当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ；
（2）当时，求的最小值；
（3）如图，四边形的对角线、相交于点、的面积分别为和，求四边形的最小面积．
【答案】（1）2；-2
（2）∵.
∴。
∵，
∴。
∴当时，的最小值为．
（3）解：设，已知，，则由等高三角形性质可知， ，
∴， ，
因此四边形的面积，
当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为 ．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】（1）解：∵当时，，即，
∴的最小值为；
∵当时，，
∴，即，
∴，
∴，
∴的最大值为.
故填：；.
【分析】（1）直接利用结论计算即可.
（2）把变形得，然后利用题目的结论计算即可．
（3）设，则有 ，即可得到 ，则四边形的面积，然后利用题目结论解题即可 ．
1 / 1沪科版数学八年级下册第16章二次根式章节综合测试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2024八下·当阳期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C．. D．
2．（2016八下·高安期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
4．（2024八下·沾益月考）估算的值在（ ）
A．之间 B．之间 C．之间 D．之间
5．（2024八下·海曙月考）把根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·鸡西月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b
7．（2024八下·长安期末）若化简的结果为，则的取值范围是( )
A．一切实数 B． C． D．
8．（2024八下·宁明期末）已知，则化简的结果是( )
A． B． C． D．
9．（2024八下·广饶期末）已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2024八下·北京市期中）计算：已知，，则 ．
12． 若 满足 ， 则平面直角坐标系中的点 在第 象限．
13．（2024八上·上海市月考）二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用，如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是 ．
14．（2023·黄冈模拟）人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝， 记
…，S100＝，则S1+S2+…+S100＝ ．
15．（2024八上·上海市月考）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例：，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ．
三、计算题（共8分）
16．（2024八上·南山期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
四、解答题（共6题，共64分）
17．（2024八上·茂名期中）已知和是某数m的两个平方根，的立方根是3，c是的整数部分，
（1）求m的值；
（2）求的平方根．
18．（2024八下·新会期中）山西剪纸是一门古老的传统民间艺术，具有明显的地域特色和极高的艺术价值．为传承这一艺术，我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上．如图，这是小悦同学的参赛作品（单位：）．
（1）通过计算，判断小悦的作品是否符合参赛标准．
（2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为多少？（彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）
19．（2024八上·南昌期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现(不考虑阻力的影响)．
（1）求物体从的高空落到地面的时间；
（2）已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？
（3）在（2）的结果中，你能得到什么启示？(注：杀伤无防护人体只需要的能量)
20．（2025八上·隆回期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简：
且，．
（1）填上适当的数：｜__________｜__________；
（2）当时，化简．
21．观察下列各式及其验证过程：
①验证：
②验证：
（1）参照上述等式及其验证过程的基本思路猜想： .
（2）请用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示上述各式所反映的一般规律，并给出验证.
22．（2024八上·雨城期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（3）计算：．
五、综合题（共13分）
23．我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号．
（1）当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ；
（2）当时，求的最小值；
（3）如图，四边形的对角线、相交于点、的面积分别为和，求四边形的最小面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B正确，符合题意；
对于C，已经是最简形态无法合并，故C错误，不符合题意；
对于D，，故D错误，不符合题意.
故选：B.
【分析】由同类二次根式合并法则判断AC，二次根式乘除法运算判断BD.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
3．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
6．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，b＞0＞a，且|a|＞|b|，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用数轴得出b＞0＞a，a＋b＜0，然后利用二次根式的性质并化简绝对值，即可得到答案．
7．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
8．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解： ∵，
∴a-1＞0，a-3＜0，
∴
=
=a-1+a-4
=2a-5.
故答案为：A.
【分析】首先根据，得出a-1＞0，a-3＜0，然后化简去根号，即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】二次根式的应用
10．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
11．【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴xy==
=5-3
=2.
故答案为：2
【分析】根据二次根式的乘法法则和平方差公式"(a+b)(a-b)=a2-b2"进行计算即可求解.
12．【答案】四
【知识点】二次根式有意义的条件；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ 满足 ，
∴2-a≥0，a-2≥0，
∴a=2，b=-3，
∴点P（2，-3）位于第四象限，
故答案为：四
【分析】先根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合题意即可得到a和b，进而根据点与象限的关系结合题意即可求解。
13．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵长方形的长是，宽是，
∴长方形的面积为：，
∵圆的面积等于长方形的面积，
∴圆的面积为，
∴圆的半径为．
故答案为：．
【分析】先计算出长方形的面积，再由圆的面积等于长方形的面积，可得圆的面积，然后根据圆的面积公式求出半径即可．
14．【答案】5050
【知识点】分式的加减法；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
，
……，
，
∴ S1+S2+…+S100＝ 1+2+3+……+100=.
故答案为：5050.
【分析】首先根据二次根式的混合运算法则算出ab的值，进而根据异分母分式加法法则分别算出 S1=1，S2=2，…，S100=100，最后根据有理数的加法法则计算即可.
15．【答案】33或127
【知识点】无理数的估值；二次根式的应用；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：“神奇区间”为，
、为连续正整数，
，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
符合条件的，有，，；，，．
①当，，时，
∴，，
则=33，
当，，时，
∴，，
则=127，
故的值为或，
故答案为：或．
【分析】根据“神奇区间”的定义及二元一次方程正整数解，可得，，；，，．再分别代入求出p值即可.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差公式结合题意即可求解；
（2）先根据题意分母有理化，进而根据立方根结合题意即可求解；
（3）先化简二次根式，进而根据二次根式的加减运算即可求解。
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
17．【答案】（1）49
（2）
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
18．【答案】（1）解：由题意可知，∵，
∴小悦的作品符合参赛标准．
（2）解：由题意可得，
∴需要彩条的长度约为
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式列式计算，比较即可；
（2）根据长方形的周长公式，列式计算即可．
19．【答案】（1）
（2）
（3）严禁高空抛物
【知识点】二次根式的应用；求代数式的值-直接代入求值
20．【答案】（1），，
（2）
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
21．【答案】（1）
（2）解：由
故根据上述规律可知： (n为自然数，且n≥2)，
验证：171
故结论成立.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得
故答案为：
【分析】（1）根据题意直接总结规律，进而即可求解；
（2）先根据题意得到 进而即可得到，再验证即可求解。
22．【答案】（1）2
（2）
（3）
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；分母有理化；二次根式的混合运算
23．【答案】（1）2；-2
（2）∵.
∴。
∵，
∴。
∴当时，的最小值为．
（3）解：设，已知，，则由等高三角形性质可知， ，
∴， ，
因此四边形的面积，
当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为 ．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】（1）解：∵当时，，即，
∴的最小值为；
∵当时，，
∴，即，
∴，
∴，
∴的最大值为.
故填：；.
【分析】（1）直接利用结论计算即可.
（2）把变形得，然后利用题目的结论计算即可．
（3）设，则有 ，即可得到 ，则四边形的面积，然后利用题目结论解题即可 ．
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