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中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第10讲 一次函数
考点精讲精练
第三章 函数
第2课时 一次函数的实际应用
知识点1 解一次函数实际应用题的一般步骤
知识点2 常用题型的解法
79
250
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
一次
0.5
30
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min/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第10讲 一次函数
第2课时 一次函数的实际应用
解一次函数实际应用题的一般步骤
常用题型的解法
1．方案择优问题
(1)当给定x的值选取方案时，将x的值代入解析式，判断结果大小；
(2)当给定y的值选取方案时，将y的值代入解析式，判断结果大小；
(3)当x，y的值均未给定时，若为两种方案的选取，分别求出当 y1y2时x的取值范围，并根据结果选取方案；
(4)当给定两种方案，求x在什么范围时选择方案1，比较y1，y2的大小求解；
(5)若为三种方案的选取，可画出一次函数图象，求出交点坐标，然后利用图象性质解答．
2．利润最大或费用最小问题
此类问题都是利用一次函数的增减性来解决，在自变量的实际取值范围内，根据函数图象的增减性及自变量取值确定函数的最小(大)值．(注：自变量的端点可能为最值)
【夺分宝典】
1．对于方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式列出不等式，求出未知数的取值范围，然后取其整数解，将每一组符合题意的整数解定为一种方案．
2．求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
(1)可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
(2)直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值．
(2022·恩施州)某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元；租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1 300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．
(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
(2)若该学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
【自主解答】解：(1)设租用甲型客车每辆x元，租用乙型客车每辆y元．
根据题意，得解得
答：租用甲型客车每辆200元，租用乙型客车每辆300元．
(2)设租用甲型客车m辆，则租用乙型客车(8－m)辆，租车总费用为w元．
根据题意，得w＝200m＋300(8－m)＝－100m＋2 400.
∵15m＋25(8－m)≥180，∴0＜m≤2.
∵－100＜0，∴w随m的增大而减小，
∴当m＝2时，w有最小值，此时8－m＝6.
答：租用甲型客车2辆，租用乙型客车6辆，可使租车总费用最少．
命题点1 一次函数的图象的应用
1．(2024·湖北)铁的密度为7.9 g/cm3，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位： cm3)之间的函数关系式为m＝7.9V，当V＝10 cm3时，m＝79g.
2．(2023·武汉)我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位：步)关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是250．
3．(2023·宜昌)某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100 ℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油，均匀加热，并每隔10 s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下表：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
(1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y(单位： ℃)与加热的时间t(单位：s)符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是一次函数关系；(填“正比例”“一次”“二次”“反比例”)
(2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
(3)当加热110 s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
解：(2)设锅中油温y与加热的时间t的函数解析式为y＝kt＋b(k≠0).
将点(0，10)，(10，30)代入，得解得
∴y＝2t＋10.
(3)当t＝110时，y＝2×110＋10＝230，
∴经过推算，该油的沸点温度是230 ℃.
4．(2023·鄂州)1号探测气球从海拔10 m处出发，以1 m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20 m处出发，以a m/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1 h，期间1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2(单位：m)与上升时间x(单位：min)的函数关系如图所示．请根据图象解答下列问题：
(1)a＝0.5，b＝30；
(2)请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔差为5 m
解：(2)根据题意，得y1＝x＋10，
y2＝0.5x＋20.
(3)分两种情况讨论：①当2号探测气球比1号探测气球海拔高5 m时，
根据题意，得(0.5x＋20)－(x＋10)＝5，
解得x＝10；
②当1号探测气球比2号探测气球海拔高5 m时，
根据题意，得(x＋10)－(0.5x＋20)＝5，
解得x＝30.
综上所述，上升了10 min或30 min时，这两个气球的海拔差为5 m．
命题点2 利用函数性质解决最值问题
5．(2023·恩施州)为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17 000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
解：(1)设男装的单价为x元，女装的单价为y元．
根据题意，得解得
答：男装的单价为100元，女装的单价为120元．
(2)设参加活动的女生有a人，则男生有(150－a)人．
根据题意，得
解得90≤a≤100.
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，故一共有11种购买方案．
设总费用为w元，则w＝120a＋100(150－a)＝15 000＋20a.
∵20＞0，
∴当a＝90时，w有最小值，最小值为15 000＋20×90＝16 800，此时，150－a＝60.
答：学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最低，最低费用是16 800元．
6．(2020·襄阳)一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/kg的价格出售．设经销商购进甲种水果x kg，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100 kg，且甲种水果不少于40 kg，但又不超过60 kg.如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？
(3)若甲、乙两种水果的销售价格分别为40元/kg和36元/kg.经销商按(2)中甲、乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a kg，且销售完a kg水果获得的利润不少于1 650元，求a的最小值．
解：(1)y＝
(2)设购进甲种水果m kg，则购进乙种水果(100－m)kg.
由题知40≤m≤60.分两种情况讨论：
①当40≤m≤50时，w1＝30m＋25(100－m)＝5m＋2 500，
∴当m＝40 时，wmin＝2 700；
②当50∴当m＝60时，wmin＝2 740.
∵2 740>2 700，
∴当m＝40时，总金额w(元)最少，最少总金额为2 700元，
此时购进乙种水果100－40＝60(kg).
答：购进甲种水果40 kg，购进乙种水果60 kg，才能使经销商付款总金额w(元)最少．
(3)∵40∶60＝2∶3，
∴由题意可设购进甲种水果a kg，购进乙种水果a kg.
分两种情况讨论：
①当0≤a≤50时，即0≤a≤125，
则甲种水果的进货价为30元/kg，
(40－30)×a＋(36－25)×a≥1 650，
解得a≥＞125，
与0≤a≤125矛盾，故舍去；
②当a>50时，即a>125，
则甲种水果的进货总成本是(a×24＋300)元，
a×40－(a×24＋300)＋a×(36－25)≥1 650，
解得a≥150，
∴a的最小值为150.
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第10讲 一次函数
第2课时 一次函数的实际应用
解一次函数实际应用题的一般步骤
常用题型的解法
1．方案择优问题
(1)当给定x的值选取方案时，将x的值代入解析式，判断结果大小；
(2)当给定y的值选取方案时，将y的值代入解析式，判断结果大小；
(3)当x，y的值均未给定时，若为两种方案的选取，分别求出当 y1y2时x的取值范围，并根据结果选取方案；
(4)当给定两种方案，求x在什么范围时选择方案1，比较y1，y2的大小求解；
(5)若为三种方案的选取，可画出一次函数图象，求出交点坐标，然后利用图象性质解答．
2．利润最大或费用最小问题
此类问题都是利用一次函数的增减性来解决，在自变量的实际取值范围内，根据函数图象的增减性及自变量取值确定函数的最小(大)值．(注：自变量的端点可能为最值)
【夺分宝典】
1．对于方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式列出不等式，求出未知数的取值范围，然后取其整数解，将每一组符合题意的整数解定为一种方案．
2．求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
(1)可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
(2)直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值．
(2022·恩施州)某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元；租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1 300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．
(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
(2)若该学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
【自主解答】解：(1)设租用甲型客车每辆x元，租用乙型客车每辆y元．
根据题意，得解得
答：租用甲型客车每辆200元，租用乙型客车每辆300元．
(2)设租用甲型客车m辆，则租用乙型客车(8－m)辆，租车总费用为w元．
根据题意，得w＝200m＋300(8－m)＝－100m＋2 400.
∵15m＋25(8－m)≥180，∴0＜m≤2.
∵－100＜0，∴w随m的增大而减小，
∴当m＝2时，w有最小值，此时8－m＝6.
答：租用甲型客车2辆，租用乙型客车6辆，可使租车总费用最少．
命题点1 一次函数的图象的应用
1．(2024·湖北)铁的密度为7.9 g/cm3，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位： cm3)之间的函数关系式为m＝7.9V，当V＝10 cm3时，m＝79g.
2．(2023·武汉)我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位：步)关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是250．
3．(2023·宜昌)某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过100 ℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油，均匀加热，并每隔10 s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下表：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
(1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y(单位： ℃)与加热的时间t(单位：s)符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是一次函数关系；(填“正比例”“一次”“二次”“反比例”)
(2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
(3)当加热110 s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
解：(2)设锅中油温y与加热的时间t的函数解析式为y＝kt＋b(k≠0).
将点(0，10)，(10，30)代入，得解得
∴y＝2t＋10.
(3)当t＝110时，y＝2×110＋10＝230，
∴经过推算，该油的沸点温度是230 ℃.
4．(2023·鄂州)1号探测气球从海拔10 m处出发，以1 m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20 m处出发，以a m/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1 h，期间1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2(单位：m)与上升时间x(单位：min)的函数关系如图所示．请根据图象解答下列问题：
(1)a＝0.5，b＝30；
(2)请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔差为5 m
解：(2)根据题意，得y1＝x＋10，
y2＝0.5x＋20.
(3)分两种情况讨论：①当2号探测气球比1号探测气球海拔高5 m时，
根据题意，得(0.5x＋20)－(x＋10)＝5，
解得x＝10；
②当1号探测气球比2号探测气球海拔高5 m时，
根据题意，得(x＋10)－(0.5x＋20)＝5，
解得x＝30.
综上所述，上升了10 min或30 min时，这两个气球的海拔差为5 m．
命题点2 利用函数性质解决最值问题
5．(2023·恩施州)为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17 000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
解：(1)设男装的单价为x元，女装的单价为y元．
根据题意，得解得
答：男装的单价为100元，女装的单价为120元．
(2)设参加活动的女生有a人，则男生有(150－a)人．
根据题意，得
解得90≤a≤100.
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，故一共有11种购买方案．
设总费用为w元，则w＝120a＋100(150－a)＝15 000＋20a.
∵20＞0，
∴当a＝90时，w有最小值，最小值为15 000＋20×90＝16 800，此时，150－a＝60.
答：学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最低，最低费用是16 800元．
6．(2020·襄阳)一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/kg的价格出售．设经销商购进甲种水果x kg，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100 kg，且甲种水果不少于40 kg，但又不超过60 kg.如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？
(3)若甲、乙两种水果的销售价格分别为40元/kg和36元/kg.经销商按(2)中甲、乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a kg，且销售完a kg水果获得的利润不少于1 650元，求a的最小值．
解：(1)y＝
(2)设购进甲种水果m kg，则购进乙种水果(100－m)kg.
由题知40≤m≤60.分两种情况讨论：
①当40≤m≤50时，w1＝30m＋25(100－m)＝5m＋2 500，
∴当m＝40 时，wmin＝2 700；
②当50∴当m＝60时，wmin＝2 740.
∵2 740>2 700，
∴当m＝40时，总金额w(元)最少，最少总金额为2 700元，
此时购进乙种水果100－40＝60(kg).
答：购进甲种水果40 kg，购进乙种水果60 kg，才能使经销商付款总金额w(元)最少．
(3)∵40∶60＝2∶3，
∴由题意可设购进甲种水果a kg，购进乙种水果a kg.
分两种情况讨论：
①当0≤a≤50时，即0≤a≤125，
则甲种水果的进货价为30元/kg，
(40－30)×a＋(36－25)×a≥1 650，
解得a≥＞125，
与0≤a≤125矛盾，故舍去；
②当a>50时，即a>125，
则甲种水果的进货总成本是(a×24＋300)元，
a×40－(a×24＋300)＋a×(36－25)≥1 650，
解得a≥150，
∴a的最小值为150.
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