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第11讲 反比例函数
第2课时 反比例函数的综合题
反比例函数与一次函数的综合运用
(1)根据点的坐标确定函数解析式；
(2)根据函数图象比较两函数值的大小；
(3)求三角形或四边形的面积；
(4)由几何图形面积确定点的坐标或求函数解析式．
【拓展】在同一平面直角坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象有交点，则两个交点关于原点对称．
【夺分宝典】
求几何图形面积时，应从以下几个方面进行考虑：
(1)通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，然后利用面积公式求解；
(2)当三边均不在坐标轴上或不与坐标轴平行时，过其中一个顶点作坐标轴的平行线分成两个一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形来求解．
如图，一次函数y1＝x＋b的图象与反比例函数y2＝(x＜0)的图象相交于A(－2，1)，B两点．
(1)一次函数的解析式为y1＝x＋3，反比例函数的解析式为y2＝－(x＜0)；
(2)关于x的不等式x＋b>(x＜0)的解集为－2＜x＜－1；
(3)连接AO，BO，求△AOB的面积．
【思路引导】设一次函数y1＝x＋b的图象与x轴、y轴分别交于点C，D.要求△AOB的面积，先求出点C，D的坐标，再由S△AOB＝S△COD－S△COA－S△BOD计算求解即可．
【自主解答】解：设一次函数y1＝x＋3的图象与x轴、y轴分别交于点C，D，则C(－3，0)，D(0，3)，
∴S△AOB＝S△COD－S△COA－S△BOD＝×3×3－×3×1－×3×1＝.
命题点1 反比例函数与一次函数的综合
1．(2022·荆州)如图是函数y1＝2x和y2＝的图象，则不等式2x＞的解集为( D )
A.－1＜x＜1
B．x＜－1或x＞1
C．x＜－1或0＜x＜1
D．－1＜x＜0或x＞1
2．(2023·鄂州)如图，直线y1＝k1x＋b与双曲线y2＝(其中k1·k2≠0)相交于A(－2，3)，B(m，－2)两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是．
3．(2023·荆州)如图，点A(2，2)在双曲线y＝(x＞0)上，将直线OA向上平移若干个单位长度，交y轴于点B，交双曲线于点C.若BC＝2，则点C的坐标是(，2)．
4．(2024·湖北)如图，一次函数y＝x＋m的图象与x轴交于点A(－3，0)，与反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象在第一象限的部分交于点B(n，4).
(1)求m，n，k的值；
(2)若C是反比例函数y＝的图象在第一象限部分上的点，且△AOC的面积小于△AOB的面积，求点C的横坐标a的取值范围．
解：(1)把点A(－3，0)代入y＝x＋m，得0＝－3＋m，
解得m＝3，
∴一次函数的解析式为y＝x＋3.
把点B(n，4)代入y＝x＋3，得4＝n＋3，
解得n＝1，∴B(1，4).
把点B(1，4)代入y＝，得4＝，解得k＝4.
(2)由(1)知B(1，4)，反比例函数的解析式为y＝.
∵△AOC的面积小于△AOB的面积，
∴yC＜yB，即yC＜4.
∵点C在反比例函数图象上，且在第一象限，
∴＜4，解得a＞1.
5．(2023·黄冈、孝感、咸宁联考)如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝(x＞0)的图象相交于A(4，1)，B(，a)两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足当y1－y2＞0时x的取值范围；
(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
解：(1)∵反比例函数y2＝(x＞0)的图象经过点A(4，1)，
∴1＝，解得m＝4，
∴反比例函数的解析式为y2＝(x＞0).
把点B(，a)代入y2＝(x＞0)，得a＝8，
∴点B的坐标为(，8).
∵一次函数y1＝kx＋b的图象经过点A(4，1)，B(，8)，
∴解得
∴一次函数的解析式为y1＝－2x＋9.
(2)∵y1－y2＞0，
∴y1＞y2，
即反比例函数值小于一次函数值．
由图象，得＜x＜4.
(3)由题意，设点P(p，－2p＋9)，且≤p≤4，
∴Q(p，)，
∴PQ＝－2p＋9－，
∴S△POQ＝(－2p＋9－)·p＝3，
解得p1＝，p2＝2，
∴P(，4)或(2，5).
命题点2 反比例函数与几何图形的综合
6．(2022·十堰)如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝(k1＞0)和y＝(k2＞0)的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1＋k2的值为( B )
A.36
B．18
C．12
D．9
7．(2020·荆门)如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，B(－2，1)，将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G.若反比例函数y＝(x<0)的图象经过点G，则k的值为－．
8．(2022·黄石)如图，反比例函数y＝的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B，C在x轴上，△OCE的面积为6，则k的值为8．
9．(2021·仙桃、潜江、天门联考)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为A(2，0)，C(2，m)，直线CD：y1＝ax＋b与双曲线：y2＝交于C，P(－4，－1)两点．
(1)求双曲线y2的函数解析式及m的值；
(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
(3)当y1＞y2时，求x的取值范围．
解：(1)将点P(－4，－1)代入y＝，得k2＝－4×(－1)＝4，
∴双曲线y2的函数解析式为y2＝.
将点C(2，m)代入y＝，得m＝＝2.
(2)∵四边形ABCD是菱形，A(2，0)，C(2，2)，
∴B(4，1).
由(1)知双曲线的函数解析式为y2＝.
∵4×1＝4，∴点B在双曲线上．
(3)当y1＞y2时，x的取值范围为－4＜x＜0或x＞2.
10．(2022·恩施州)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠C＝90°，A(0，2)，C(6，2).D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC.反比例函数y1＝(k≠0)的图象经过点D.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若AB所在直线的解析式为y2＝ax＋b(a≠0)，当y1＞y2时，求x的取值范围．
解：(1)∵A(0，2)，C(6，2)，
∴AC＝6.
∵△ABC是∠C为直角的等腰直角三角形，
∴BC＝AC＝6.
∵D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC，
∴CD＝2，∴D(6，4).
∵反比例函数y1＝(k≠0)的图象经过点D，
∴k＝6×4＝24，
∴反比例函数的解析式为y1＝.
(2)由(1)易得点B(6，8).
把点A，B的坐标代入y2＝ax＋b，
得解得∴y2＝x＋2.
解方程组得或
∴两函数图象的交点为(－6，－4)，(4，6)，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜－6或0＜x＜4.
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中考数学一轮复习课件
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2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第11讲 反比例函数
考点精讲精练
第三章 函数
第2课时 反比例函数的综合题
知识点 反比例函数与一次函数的综合运用
y1＝x＋3
－2＜x＜－1
D
B
8
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第11讲 反比例函数
第2课时 反比例函数的综合题
反比例函数与一次函数的综合运用
(1)根据点的坐标确定函数解析式；
(2)根据函数图象比较两函数值的大小；
(3)求三角形或四边形的面积；
(4)由几何图形面积确定点的坐标或求函数解析式．
【拓展】在同一平面直角坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象有交点，则两个交点关于原点对称．
【夺分宝典】
求几何图形面积时，应从以下几个方面进行考虑：
(1)通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，然后利用面积公式求解；
(2)当三边均不在坐标轴上或不与坐标轴平行时，过其中一个顶点作坐标轴的平行线分成两个一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形来求解．
如图，一次函数y1＝x＋b的图象与反比例函数y2＝(x＜0)的图象相交于A(－2，1)，B两点．
(1)一次函数的解析式为y1＝x＋3，反比例函数的解析式为y2＝－(x＜0)；
(2)关于x的不等式x＋b>(x＜0)的解集为－2＜x＜－1；
(3)连接AO，BO，求△AOB的面积．
【思路引导】设一次函数y1＝x＋b的图象与x轴、y轴分别交于点C，D.要求△AOB的面积，先求出点C，D的坐标，再由S△AOB＝S△COD－S△COA－S△BOD计算求解即可．
【自主解答】解：设一次函数y1＝x＋3的图象与x轴、y轴分别交于点C，D，则C(－3，0)，D(0，3)，
∴S△AOB＝S△COD－S△COA－S△BOD＝×3×3－×3×1－×3×1＝.
命题点1 反比例函数与一次函数的综合
1．(2022·荆州)如图是函数y1＝2x和y2＝的图象，则不等式2x＞的解集为( D )
A.－1＜x＜1
B．x＜－1或x＞1
C．x＜－1或0＜x＜1
D．－1＜x＜0或x＞1
2．(2023·鄂州)如图，直线y1＝k1x＋b与双曲线y2＝(其中k1·k2≠0)相交于A(－2，3)，B(m，－2)两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是．
3．(2023·荆州)如图，点A(2，2)在双曲线y＝(x＞0)上，将直线OA向上平移若干个单位长度，交y轴于点B，交双曲线于点C.若BC＝2，则点C的坐标是(，2)．
4．(2024·湖北)如图，一次函数y＝x＋m的图象与x轴交于点A(－3，0)，与反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象在第一象限的部分交于点B(n，4).
(1)求m，n，k的值；
(2)若C是反比例函数y＝的图象在第一象限部分上的点，且△AOC的面积小于△AOB的面积，求点C的横坐标a的取值范围．
解：(1)把点A(－3，0)代入y＝x＋m，得0＝－3＋m，
解得m＝3，
∴一次函数的解析式为y＝x＋3.
把点B(n，4)代入y＝x＋3，得4＝n＋3，
解得n＝1，∴B(1，4).
把点B(1，4)代入y＝，得4＝，解得k＝4.
(2)由(1)知B(1，4)，反比例函数的解析式为y＝.
∵△AOC的面积小于△AOB的面积，
∴yC＜yB，即yC＜4.
∵点C在反比例函数图象上，且在第一象限，
∴＜4，解得a＞1.
5．(2023·黄冈、孝感、咸宁联考)如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝(x＞0)的图象相交于A(4，1)，B(，a)两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足当y1－y2＞0时x的取值范围；
(3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
解：(1)∵反比例函数y2＝(x＞0)的图象经过点A(4，1)，
∴1＝，解得m＝4，
∴反比例函数的解析式为y2＝(x＞0).
把点B(，a)代入y2＝(x＞0)，得a＝8，
∴点B的坐标为(，8).
∵一次函数y1＝kx＋b的图象经过点A(4，1)，B(，8)，
∴解得
∴一次函数的解析式为y1＝－2x＋9.
(2)∵y1－y2＞0，
∴y1＞y2，
即反比例函数值小于一次函数值．
由图象，得＜x＜4.
(3)由题意，设点P(p，－2p＋9)，且≤p≤4，
∴Q(p，)，
∴PQ＝－2p＋9－，
∴S△POQ＝(－2p＋9－)·p＝3，
解得p1＝，p2＝2，
∴P(，4)或(2，5).
命题点2 反比例函数与几何图形的综合
6．(2022·十堰)如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝(k1＞0)和y＝(k2＞0)的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1＋k2的值为( B )
A.36
B．18
C．12
D．9
7．(2020·荆门)如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，B(－2，1)，将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G.若反比例函数y＝(x<0)的图象经过点G，则k的值为－．
8．(2022·黄石)如图，反比例函数y＝的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B，C在x轴上，△OCE的面积为6，则k的值为8．
9．(2021·仙桃、潜江、天门联考)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为A(2，0)，C(2，m)，直线CD：y1＝ax＋b与双曲线：y2＝交于C，P(－4，－1)两点．
(1)求双曲线y2的函数解析式及m的值；
(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
(3)当y1＞y2时，求x的取值范围．
解：(1)将点P(－4，－1)代入y＝，得k2＝－4×(－1)＝4，
∴双曲线y2的函数解析式为y2＝.
将点C(2，m)代入y＝，得m＝＝2.
(2)∵四边形ABCD是菱形，A(2，0)，C(2，2)，
∴B(4，1).
由(1)知双曲线的函数解析式为y2＝.
∵4×1＝4，∴点B在双曲线上．
(3)当y1＞y2时，x的取值范围为－4＜x＜0或x＞2.
10．(2022·恩施州)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠C＝90°，A(0，2)，C(6，2).D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC.反比例函数y1＝(k≠0)的图象经过点D.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若AB所在直线的解析式为y2＝ax＋b(a≠0)，当y1＞y2时，求x的取值范围．
解：(1)∵A(0，2)，C(6，2)，
∴AC＝6.
∵△ABC是∠C为直角的等腰直角三角形，
∴BC＝AC＝6.
∵D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC，
∴CD＝2，∴D(6，4).
∵反比例函数y1＝(k≠0)的图象经过点D，
∴k＝6×4＝24，
∴反比例函数的解析式为y1＝.
(2)由(1)易得点B(6，8).
把点A，B的坐标代入y2＝ax＋b，
得解得∴y2＝x＋2.
解方程组得或
∴两函数图象的交点为(－6，－4)，(4，6)，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜－6或0＜x＜4.
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