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中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第12讲 二次函数的图象与性质
考点精讲精练
第三章 函数
第1课时 二次函数的图象与性质
知识点1 二次函数的图象与性质
向上
减小
增大
增大
减小
小
大
2.确定二次函数的解析式
3.二次函数的图象与系数a，b，c的关系
上
左侧
c 决定抛物线与 y轴交点的位置 c＝0 抛物线经过(0，0)
c＞0 抛物线与y轴交于正半轴
c＜0 抛物线与y轴交于负半轴
b2－4ac 决定抛物线 与x轴的交点个数 b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac＞0 与x轴有两个不同的交点
b2－4ac＜0 与x轴没有交点
a＋b＋c 令x＝1，看纵坐标 抛物线经过点(1，a＋b＋c)
a－b＋c 令x＝－1，看纵坐标 抛物线经过点(－1，a－b＋c)
知识点2 二次函数图象的平移、旋转和翻折
1．二次函数图象的平移
平移前 平移方向(m＞0) 平移后 简记
直线y＝ a(x－h)2 ＋k 向左平移m个单位长度 y＝a(x－h＋m)2＋k 左右平移：给x左加右减；
上下平移：给等号右边整体上加下减
向右平移m个单位长度 y＝__________________ 向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m 向下平移m个单位长度 y＝__________________ a(x－h－m)2＋k
a(x－h)2＋k－m
－a
(h，k)
y＝－a(x－h)2＋k
－a
(－h，－k)
y＝－a(x＋h)2－k
－a
(h，－k)
y＝－a(x－h)2－k
a
(－h，k)
y＝a(x＋h)2＋k
知识点3 二次函数与一次函数、一元二次方程的关系
两个不相等
两个相等
无实数根
重难点1 二次函数的图象与性质
y＝－4(x－1)2
y＝3(x－2)2－2
y＝(x－3)2＋5
y＝－(x－1)2＋2
y＝－(x＋1)2－2
y＝－(x－1)2－2
y＝(x＋1)2＋2
重难点2 二次函数的图象与系数a，b，c之间的关系
＜
＝
＞
＞
＞
＝
＞
＝
＞
＞
＞
D
A
D
D
A
D
7
C
B
D
B
B
C
C
C
x1＝－2，x2＝5
②③④
谢谢
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第12讲 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数的图象与性质
二次函数的图象与性质
1．二次函数的图象与性质
函数 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
图象 (草图) a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x＝－； 或利用x＝求解(其中x1，x2为抛物线上关于对称轴对称的两点的横坐标)
顶点坐标 (－，)或(h，k)
增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小； 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最小值为 当x＝－时，y有最大值为
2.确定二次函数的解析式
解析式的 三种形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a(x－h)2＋k 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标
步骤 (1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，若系数a，b，c中只有一个未知，则代入任意一个已知点的坐标即可；若有两个未知，则代入任意两点的坐标即可；若解析式未知，根据所给点的坐标特征选择适当的解析式形式； (2)代入点的坐标：将已知点的坐标代入相应的解析式中，得到关于待定系数的方程(组)； (3)求解：解方程(组)，求得待定系数的值，从而写出函数解析式
3.二次函数的图象与系数a，b，c的关系
a 决定抛物线开口方向
b，a 决定抛物线 对称轴的位置
c 决定抛物线与 y轴交点的位置 c＝0 抛物线经过(0，0) c＞0 抛物线与y轴交于正半轴 c＜0 抛物线与y轴交于负半轴
b2－4ac 决定抛物线 与x轴的交点个数 b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点) b2－4ac＞0 与x轴有两个不同的交点 b2－4ac＜0 与x轴没有交点
a＋b＋c 令x＝1，看纵坐标 抛物线经过点(1，a＋b＋c)
a－b＋c 令x＝－1，看纵坐标 抛物线经过点(－1，a－b＋c)
二次函数图象的平移、旋转和翻折
1．二次函数图象的平移
平移前 平移方向(m＞0) 平移后 简记
直线y＝ a(x－h)2 ＋k 向左平移m个单位长度 y＝a(x－h＋m)2＋k 左右平移：给x左加右减； 上下平移：给等号右边整体上加下减
向右平移m个单位长度 y＝a(x－h－m)2＋k
向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m
向下平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k－m
2.二次函数图象的旋转
(1)绕顶点旋转180°：首先将二次函数一般式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，旋转后的a变为－a，顶点坐标为(h，k)，旋转后的解析式为y＝－a(x－h)2＋k；
(2)绕原点旋转180°：首先将二次函数一般式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，旋转后的a变为－a，顶点坐标为(－h，－k)，旋转后的解析式为y＝－a(x＋h)2－k．
3．二次函数图象的翻折
(1)沿x轴翻折：首先将二次函数一般式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，翻折后的a变为－a，顶点坐标为(h，－k)，翻折后的解析式为y＝－a(x－h)2－k；
(2)沿y轴翻折：首先将二次函数一般式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，翻折后的a变为a，顶点坐标为(－h，k)，翻折后的解析式为y＝a(x＋h)2＋k．
二次函数与一次函数、一元二次方程的关系
与一次 函数 一次函数y＝kx＋n(k≠0)的图象l与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象G的交点个数，由方程组的解的个数确定，方程组有两组不同的解 l与G有两个交点；方程组只有一组解 l与G只有一个交点；方程组无解 l与G没有交点
与一元二 次方程 方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标： (1)b2－4ac＞0 方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac＜0 方程无实数根
?
【夺分宝典】
1．确定二次函数的解析式时，若解析式未知，根据下列所给点的坐标特征选择适当的解析式形式：
(1)顶点在原点，可设为y＝ax2；
(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋c；
(3)顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2；
(4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx；
(5)已知顶点(h，k)时，可设顶点式为y＝a(x－h)2＋k；(6)已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，可设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)；
(7)已知抛物线上任意三点时，可设为一般式y＝ax2＋bx＋c，然后列三元一次方程组求解．
2．一些特殊关系判断正负：
2a＋b －与1比较
2a－b －与－1比较
a＋b＋c 令x＝1，看纵坐标
a－b＋c 令x＝－1，看纵坐标
4a＋2b＋c 令x＝2，看纵坐标
4a－2b＋c 令x＝－2，看纵坐标
根据下列已知条件，求二次函数的解析式．
(1)已知二次函数图象的顶点在x轴上，且横坐标为1，经过另一点(2，－4)，则该二次函数的解析式为y＝－4(x－1)2；
(2)已知二次函数的顶点坐标为(2，－2)，且其图象经过点(3，1)，则该二次函数的解析式为y＝3(x－2)2－2；
(3)已知二次函数的图象经过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，与y轴正半轴交于点C，且OC＝2，则该二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2；
(4)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2－2x＋3.
①将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为y＝(x－3)2＋5；
②将抛物线绕顶点旋转180°所得抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋2；
③将抛物线绕原点旋转180°所得抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2－2；
④若抛物线C1与已知抛物线关于x轴对称，则抛物线C1的解析式为y＝－(x－1)2－2；
⑤若抛物线C2与已知抛物线关于y轴对称，则抛物线C2的解析式为y＝(x＋1)2＋2．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，且经过点(－1，0)，顶点在第一象限，其图象如图所示．
结合图中的信息解决下列问题：(在横线上填“＞”“＜”或“＝”)
(1)a＜0；(2)2a＋b＝0；
(3)b＞0；(4)c＞0；
(5)b2－4ac＞0；(6)a－b＋c＝0；
(7)4a＋2b＋c＞0；
(8)3a＋c＝0；[综合分析，由(2)(6)消去b]
(9)2a＋c＞0；[综合分析，由(6)(7)消去b]
(10)a＋b＞m(am＋b)(m≠1)；[顶点的函数值与其他点函数值的比较]
(11)若A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1＜x2)是抛物线上的两点，且x1＋x2＞2，则y1＞y2.
命题点1 二次函数的图象与性质
1．(2022·仙桃、潜江、天门联考)二次函数y＝(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( D )
A.第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
2．(2021·仙桃、潜江、天门联考)若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标为( A )
A．(2，4) B．(－2，4)
C．(－2，－4) D．(2，－4)
3．(2020·黄石)若二次函数y＝a2x2－bx－c的图象经过不同的六点A(－1，n)，B(5，n－1)，C(6，n＋1)，D(，y1)，E(2，y2)，F(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( D )
A．y1C．y24．(2022·荆门)抛物线y＝x2＋3上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1＜y2，则下列结论正确的是( D )
A．0≤x1＜x2
B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2
D．以上都不对
5．(2023·十堰)已知点A(x1，y1)在直线y＝3x＋19上，点B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线y＝x2＋4x－1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是( A )
A．－12＜x1＋x2＋x3＜－9
B．－8＜x1＋x2＋x3＜－6
C．－9＜x1＋x2＋x3＜0
D．－6＜x1＋x2＋x3＜1
6．(2018·黄冈)当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( D )
A．－1 B．2
C．0或2 D．－1或2
7．(2019·荆州)二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是7．
8．(2020·仙桃、潜江、天门联考)把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2.
(1)直接写出抛物线C2的函数解析式；
(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？请说明理由；
(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
解：(1)抛物线C2的函数解析式为y＝(x－3)2－3.
(2)动点P(a，－6)不能在抛物线C2上．理由如下：
∵抛物线C2的函数解析式为y＝(x－3)2－3，
∴函数的最小值为－3.
∵－6＜－3，
∴动点P(a，－6)不能在抛物线C2上．
(3)∵抛物线C2的函数解析式为y＝(x－3)2－3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小．
∵点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，
∴y1＞y2.
命题点2 二次函数图象与系数的关系
9．(2024·湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，则下列结论中正确的是( C )
A．a＜0 B．c＜0
C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0
10．
(2023·恩施州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点位于(2，0)，(3，0)两点之间．有下列结论：①2a＋b＞0；②bc＜0；③a＜－c；④若x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则－3＜x1x2＜0.其中正确的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．(2023·鄂州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，且过点(－1，0)，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．有以下结论：①ab＜0；②4a＋2b＋c＞0；③3a＋c＞0；④若A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1＜x2)是抛物线上的两点，且x1＋x2＞2，则y1＞y2.其中正确的是( D )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
12．(2023·随州)如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(6，0)，对称轴为直线x＝2，则下列结论正确的有( B )
①abc＜0；
②a－b＋c＞0；
③方程cx2＋bx＋a＝0的两个根为x1＝，x2＝－；
④抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1＜2＜x2且x1＋x2＞4，则y1＜y2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．(2023·黄冈、孝感、咸宁联考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1.有下列结论：①a－b＋c＝0；②若点(－3，y1)，(2，y2)，(4，y3)均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤－4a；④若方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜－1，x2＞3.其中正确的是( B )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①④
命题点3 二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系
14．(2019·荆门)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( C )
A．0 B．1 C．2 D．3
15．(2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( C )
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
16．(2023·黄石)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－3，0)，且对称轴为直线x＝－1.有以下结论：①a＋b＋c＝0；②2c＋3b＝0；③当－2＜x1＜－1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(x＋1)必有两个不相等的实数根．其中正确的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．(2019·武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是x1＝－2，x2＝5．
18．(2023·武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，c＜0)经过(1，1)，(m，0)，(n，0)三点，且n≥3.下列四个结论：①b＜0；②4ac－b2＜4a；③当n＝3时，若点(2，t)在该抛物线上，则t＞1；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝x有两个相等的实数根，则0＜m≤.其中正确的是②③④．(填序号)
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第12讲 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数的图象与性质
二次函数的图象与性质
1．二次函数的图象与性质
函数 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
图象 (草图) a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x＝－； 或利用x＝求解(其中x1，x2为抛物线上关于对称轴对称的两点的横坐标)
顶点坐标 (－，)或(h，k)
增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小； 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最小值为 当x＝－时，y有最大值为
2.确定二次函数的解析式
解析式的 三种形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a(x－h)2＋k 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标
步骤 (1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，若系数a，b，c中只有一个未知，则代入任意一个已知点的坐标即可；若有两个未知，则代入任意两点的坐标即可；若解析式未知，根据所给点的坐标特征选择适当的解析式形式； (2)代入点的坐标：将已知点的坐标代入相应的解析式中，得到关于待定系数的方程(组)； (3)求解：解方程(组)，求得待定系数的值，从而写出函数解析式
3.二次函数的图象与系数a，b，c的关系
a 决定抛物线开口方向
b，a 决定抛物线 对称轴的位置
c 决定抛物线与 y轴交点的位置 c＝0 抛物线经过(0，0) c＞0 抛物线与y轴交于正半轴 c＜0 抛物线与y轴交于负半轴
b2－4ac 决定抛物线 与x轴的交点个数 b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点) b2－4ac＞0 与x轴有两个不同的交点 b2－4ac＜0 与x轴没有交点
a＋b＋c 令x＝1，看纵坐标 抛物线经过点(1，a＋b＋c)
a－b＋c 令x＝－1，看纵坐标 抛物线经过点(－1，a－b＋c)
二次函数图象的平移、旋转和翻折
1．二次函数图象的平移
平移前 平移方向(m＞0) 平移后 简记
直线y＝ a(x－h)2 ＋k 向左平移m个单位长度 y＝a(x－h＋m)2＋k 左右平移：给x左加右减； 上下平移：给等号右边整体上加下减
向右平移m个单位长度 y＝a(x－h－m)2＋k
向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m
向下平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k－m
2.二次函数图象的旋转
(1)绕顶点旋转180°：首先将二次函数一般式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，旋转后的a变为－a，顶点坐标为(h，k)，旋转后的解析式为y＝－a(x－h)2＋k；
(2)绕原点旋转180°：首先将二次函数一般式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，旋转后的a变为－a，顶点坐标为(－h，－k)，旋转后的解析式为y＝－a(x＋h)2－k．
3．二次函数图象的翻折
(1)沿x轴翻折：首先将二次函数一般式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，翻折后的a变为－a，顶点坐标为(h，－k)，翻折后的解析式为y＝－a(x－h)2－k；
(2)沿y轴翻折：首先将二次函数一般式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，翻折后的a变为a，顶点坐标为(－h，k)，翻折后的解析式为y＝a(x＋h)2＋k．
二次函数与一次函数、一元二次方程的关系
与一次 函数 一次函数y＝kx＋n(k≠0)的图象l与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象G的交点个数，由方程组的解的个数确定，方程组有两组不同的解 l与G有两个交点；方程组只有一组解 l与G只有一个交点；方程组无解 l与G没有交点
与一元二 次方程 方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标： (1)b2－4ac＞0 方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac＜0 方程无实数根
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【夺分宝典】
1．确定二次函数的解析式时，若解析式未知，根据下列所给点的坐标特征选择适当的解析式形式：
(1)顶点在原点，可设为y＝ax2；
(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋c；
(3)顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2；
(4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx；
(5)已知顶点(h，k)时，可设顶点式为y＝a(x－h)2＋k；(6)已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，可设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)；
(7)已知抛物线上任意三点时，可设为一般式y＝ax2＋bx＋c，然后列三元一次方程组求解．
2．一些特殊关系判断正负：
2a＋b －与1比较
2a－b －与－1比较
a＋b＋c 令x＝1，看纵坐标
a－b＋c 令x＝－1，看纵坐标
4a＋2b＋c 令x＝2，看纵坐标
4a－2b＋c 令x＝－2，看纵坐标
根据下列已知条件，求二次函数的解析式．
(1)已知二次函数图象的顶点在x轴上，且横坐标为1，经过另一点(2，－4)，则该二次函数的解析式为y＝－4(x－1)2；
(2)已知二次函数的顶点坐标为(2，－2)，且其图象经过点(3，1)，则该二次函数的解析式为y＝3(x－2)2－2；
(3)已知二次函数的图象经过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，与y轴正半轴交于点C，且OC＝2，则该二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2；
(4)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2－2x＋3.
①将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为y＝(x－3)2＋5；
②将抛物线绕顶点旋转180°所得抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋2；
③将抛物线绕原点旋转180°所得抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2－2；
④若抛物线C1与已知抛物线关于x轴对称，则抛物线C1的解析式为y＝－(x－1)2－2；
⑤若抛物线C2与已知抛物线关于y轴对称，则抛物线C2的解析式为y＝(x＋1)2＋2．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，且经过点(－1，0)，顶点在第一象限，其图象如图所示．
结合图中的信息解决下列问题：(在横线上填“＞”“＜”或“＝”)
(1)a＜0；(2)2a＋b＝0；
(3)b＞0；(4)c＞0；
(5)b2－4ac＞0；(6)a－b＋c＝0；
(7)4a＋2b＋c＞0；
(8)3a＋c＝0；[综合分析，由(2)(6)消去b]
(9)2a＋c＞0；[综合分析，由(6)(7)消去b]
(10)a＋b＞m(am＋b)(m≠1)；[顶点的函数值与其他点函数值的比较]
(11)若A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1＜x2)是抛物线上的两点，且x1＋x2＞2，则y1＞y2.
命题点1 二次函数的图象与性质
1．(2022·仙桃、潜江、天门联考)二次函数y＝(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( D )
A.第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
2．(2021·仙桃、潜江、天门联考)若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标为( A )
A．(2，4) B．(－2，4)
C．(－2，－4) D．(2，－4)
3．(2020·黄石)若二次函数y＝a2x2－bx－c的图象经过不同的六点A(－1，n)，B(5，n－1)，C(6，n＋1)，D(，y1)，E(2，y2)，F(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( D )
A．y1C．y24．(2022·荆门)抛物线y＝x2＋3上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1＜y2，则下列结论正确的是( D )
A．0≤x1＜x2
B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2
D．以上都不对
5．(2023·十堰)已知点A(x1，y1)在直线y＝3x＋19上，点B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线y＝x2＋4x－1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是( A )
A．－12＜x1＋x2＋x3＜－9
B．－8＜x1＋x2＋x3＜－6
C．－9＜x1＋x2＋x3＜0
D．－6＜x1＋x2＋x3＜1
6．(2018·黄冈)当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( D )
A．－1 B．2
C．0或2 D．－1或2
7．(2019·荆州)二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是7．
8．(2020·仙桃、潜江、天门联考)把抛物线C1：y＝x2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2.
(1)直接写出抛物线C2的函数解析式；
(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？请说明理由；
(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
解：(1)抛物线C2的函数解析式为y＝(x－3)2－3.
(2)动点P(a，－6)不能在抛物线C2上．理由如下：
∵抛物线C2的函数解析式为y＝(x－3)2－3，
∴函数的最小值为－3.
∵－6＜－3，
∴动点P(a，－6)不能在抛物线C2上．
(3)∵抛物线C2的函数解析式为y＝(x－3)2－3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小．
∵点A(m，y1)，B(n，y2)都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，
∴y1＞y2.
命题点2 二次函数图象与系数的关系
9．(2024·湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，则下列结论中正确的是( C )
A．a＜0 B．c＜0
C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0
10．
(2023·恩施州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点位于(2，0)，(3，0)两点之间．有下列结论：①2a＋b＞0；②bc＜0；③a＜－c；④若x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则－3＜x1x2＜0.其中正确的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．(2023·鄂州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，且过点(－1，0)，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．有以下结论：①ab＜0；②4a＋2b＋c＞0；③3a＋c＞0；④若A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1＜x2)是抛物线上的两点，且x1＋x2＞2，则y1＞y2.其中正确的是( D )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
12．(2023·随州)如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(6，0)，对称轴为直线x＝2，则下列结论正确的有( B )
①abc＜0；
②a－b＋c＞0；
③方程cx2＋bx＋a＝0的两个根为x1＝，x2＝－；
④抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1＜2＜x2且x1＋x2＞4，则y1＜y2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．(2023·黄冈、孝感、咸宁联考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1.有下列结论：①a－b＋c＝0；②若点(－3，y1)，(2，y2)，(4，y3)均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤－4a；④若方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜－1，x2＞3.其中正确的是( B )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①④
命题点3 二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系
14．(2019·荆门)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( C )
A．0 B．1 C．2 D．3
15．(2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( C )
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
16．(2023·黄石)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－3，0)，且对称轴为直线x＝－1.有以下结论：①a＋b＋c＝0；②2c＋3b＝0；③当－2＜x1＜－1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(x＋1)必有两个不相等的实数根．其中正确的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．(2019·武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是x1＝－2，x2＝5．
18．(2023·武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，c＜0)经过(1，1)，(m，0)，(n，0)三点，且n≥3.下列四个结论：①b＜0；②4ac－b2＜4a；③当n＝3时，若点(2，t)在该抛物线上，则t＞1；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝x有两个相等的实数根，则0＜m≤.其中正确的是②③④．(填序号)
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