第12讲 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数的实际应用
二次函数的实际应用
1．解题步骤
步骤 关键点
分析问题 明确题中的常量与变量及它们之间的关系，确定自变量及函数
建立模型，确定函数解析式 根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系
求函数解析式 变量间的数量关系表示及自变量的取值范围
应用性质，解决问题 熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围
2.常考题型
抛物线型的二次函数的实际应用，此类问题一般分为四种：
(1)求高度：此时一般是求二次函数图象的顶点的纵坐标，或根据自变量的取值范围，利用函数增减性求二次函数的最值；
(2)求水平距离：此时一般是令函数值y＝0，解出所得一元二次方程的两个根，求两根之差的绝对值；
(3)用二次函数求图形面积的最值问题；
(4)用二次函数求利润最大问题．
【夺分宝典】
1．如何求关于利润的二次函数解析式：
(1)若题目给出销售量与销售单价之间的函数解析式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据销售利润＝销售总额－成本＝销售量×销售单价－销售量×进价＝销售量×(销售单价－进价)来解决；
(2)若题目中未给出销售量与销售单价之间的函数解析式，则要先求出销售量与销售单价之间的函数解析式，解析式一般是一次函数关系，再根据销售利润＝销售量×(销售单价－进价)来解决．
张师傅在市民广场内制作并销售竹雕小摆件，每件成本为10元，物价部门规定销售单价不高于成本价的1.8倍．在销售过程中发现，日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)y与x之间的函数解析式为y＝－5x＋200；
(2)当销售单价定为16元时，每天获得的利润为多少？
(3)当销售单价定为多少时，每天获得的利润最大，最大利润为多少？
【自主解答】解：(2)当x＝16时，y＝120，
∴每天获得的利润为(16－10)×120＝720(元).
(3)设每天获得的利润为w元．
由题意，得w＝(x－10)(－5x＋200)＝－5(x－25)2＋1 125.
∵10≤x≤10×1.8，∴10≤x≤18，
∴当x＝18时，w最大，w最大＝－5×(18－25)2＋1 125＝880.
答：当销售单价定为18元时，每天获得的利润最大，最大利润为880元．
【夺分宝典】
2．如何求二次函数的最值：
(1)可直接利用配方法求最值，即y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，当a＞0时，有最小值，当a＜0时，有最大值；
(2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值．
此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义，最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的c值，落地点为抛物线与x轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．
(1)抛球运动判断球是否过网即判断此点的坐标是否在抛物线上方；(2)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线上；(3)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；(4)判断船是否能通过拱桥即判断船两端的高度是否比桥上对应点到水面的距离小；(5)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高大．
(一题多设问)某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向前方喷水，喷出的水柱为抛物线．如图1，以水平方向为x轴，O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点B为水柱的落水点，①水柱最高点离雕塑OA的水平距离为5 m，②雕塑OA的高为 m，③落水点到雕塑之间的距离OB为11 m.
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
【思路引导】由①可知，水柱所在抛物线的对称轴为直线x＝5，由②可知点A的坐标为(0，)，由③可知点B的坐标为(11，0)；根据抛物线的对称轴设出解析式，将A，B两点的坐标代入，解方程组即可得到水柱所在抛物线的解析式．
图1
【自主解答】解：由题意，得抛物线的对称轴为直线x＝5，点A(0，)，B(11，0).
设水柱所在抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋k.
把点A(0，)，B(11，0)代入，得
解得
∴水柱所在抛物线的解析式为y＝－(x－5)2＋6.
(2)若需要在OB上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10 m，EF＝1.8 m，EF⊥OB，则雕塑顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明；
【思路引导】要判断雕塑顶部F是否会碰到水柱，将x＝10代入抛物线的解析式中，得到纵坐标为，通过比较该点的纵坐标与线段EF的大小关系即可求解．
【自主解答】解：在y＝－(x－5)2＋6中，
令x＝10，得y＝－×(10－5)2＋6＝＞1.8，
∴雕塑顶部F不会碰到水柱．
(3)如图2，为保证游客安全，现对该圆形喷水池喷出的水柱范围进行改造，保证改造前后的水柱喷洒的开口大小不变，且喷出的水柱最远距离OC为6 m，求改造后喷出的水柱所在抛物线的解析式及改造后喷出水柱的最高处到雕塑OA的水平距离．
【思路引导】改造前后的水柱喷洒的开口大小不变，说明抛物线的解析式中的二次项系数不变，根据题意知OC的长度为6 m，由A，C两点的坐标可求出改造后抛物线的解析式，进而求出改造后喷出水柱的最高处到雕塑OA的水平距离．
图2
【自主解答】解：由题意，可设改造后喷出的水柱所在抛物线的解析式为y＝－x2＋bx＋.将点(6，0)代入，得－6＋6b＋＝0，解得b＝，
∴改造后喷出的水柱所在抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋，
∴改造后喷出水柱的最高处到雕塑OA的水平距离为－＝(m).
命题点 二次函数的实际应用
1．(2023·宜昌)如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－(x－10)(x＋4)，则铅球推出的水平距离OA＝10m.
2．(2023·襄阳)如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手点的水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－(x－)2＋.下列说法正确的是①.(填序号)
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5 m；
②篮球出手点距离地面的高度为2.25 m.
3．(2024·湖北)如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为42 m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2).
(1)写出y与x，S与x之间的函数解析式；(不要求写出x的取值范围)
(2)矩形试验田的面积S能达到750 m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；
(3)当x的值是多少时，矩形试验田的面积S最大？最大面积是多少？
解：(1)由题意，得2x＋y＝80，
∴y＝－2x＋80，
∴S＝xy＝x(－2x＋80)＝－2x2＋80x.
(2)能．
由(1)知y＝－2x＋80.
∵0＜y≤42，∴0＜－2x＋80≤42，
解得19≤x＜40.
由(1)知S＝－2x2＋80x.
当S＝750时，－2x2＋80x＝750，
解得x1＝25，x2＝15(舍去)，
∴当x＝25时，矩形试验田的面积S能达到750 m2.
(3)由(1)知S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800.
∵－2＜0，
∴当x＝20时，S最大，最大面积是800 m2.
4．(2022·仙桃、潜江、天门联考)某超市销售一种进价为18元/kg的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y(kg)与售价x(元/kg)有如下表所示的关系：
售价x/ (元·kg-1) … 20 22.5 25 37.5 40 …
销售量y /kg … 30 27.5 25 12.5 10 …
(1)根据表中的数据在下图中描出点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w(元)(不计其他成本).
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，售价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240(元)时的售价．
解：(1)描点如图所示．
设y＝kx＋b.
把点(20，30)，(25，25)代入y＝kx＋b，
得解得
∴y＝－x＋50.
(2)①由题意，得w＝(x－18)(－x＋50)＝－x2＋68x－900＝－(x－34)2＋256.
∵－1＜0，
∴当x＝34时，w有最大值．
答：超市每天销售这种商品获得最大利润时，售价为34元/kg.
②当w＝240时，－(x－34)2＋256＝240，
解得x1＝38，x2＝30.
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x＝30.
答：此时的售价为30元/kg.
5．(2023·十堰)“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
(1)当x＝60时，p＝400；
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(元)最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8 000元时，每盒售价x(元)的范围为60≤x≤80.”他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请写出正确的结论．
解：(2)由题意，得p＝500－10(x－50)＝－10x＋1 000，
则W＝(x－40)(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10(x－70)2＋9 000.
∵∴
解得50≤x≤65，
∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8 750.
答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W(元)最大，最大利润是8 750元．
(3)小强：设日销售额为y元，
则y＝x·p＝x(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 000x＝－10(x－50)2＋25 000.
由(2)知50≤x≤65，
∴当x＝50时，y值最大，此时y＝25 000.
∵当x＝65时，W值最大，此时W＝8 750，
∴小强正确．
小红：当日销售利润不低于8 000元时，
即W≥8 000，∴－10(x－70)2＋9 000≥8 000，
解得60≤x≤80.
∵50≤x≤65，
∴当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65.
故小红错误，当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65.第12讲 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数的实际应用
二次函数的实际应用
1．解题步骤
步骤 关键点
分析问题 明确题中的常量与变量及它们之间的关系，确定自变量及函数
建立模型，确定函数解析式 根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系
求函数解析式 变量间的数量关系表示及自变量的取值范围
应用性质，解决问题 熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围
2.常考题型
抛物线型的二次函数的实际应用，此类问题一般分为四种：
(1)求高度：此时一般是求二次函数图象的顶点的纵坐标，或根据自变量的取值范围，利用函数增减性求二次函数的最值；
(2)求水平距离：此时一般是令函数值y＝0，解出所得一元二次方程的两个根，求两根之差的绝对值；
(3)用二次函数求图形面积的最值问题；
(4)用二次函数求利润最大问题．
【夺分宝典】
1．如何求关于利润的二次函数解析式：
(1)若题目给出销售量与销售单价之间的函数解析式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据销售利润＝销售总额－成本＝销售量×销售单价－销售量×进价＝销售量×(销售单价－进价)来解决；
(2)若题目中未给出销售量与销售单价之间的函数解析式，则要先求出销售量与销售单价之间的函数解析式，解析式一般是一次函数关系，再根据销售利润＝销售量×(销售单价－进价)来解决．
张师傅在市民广场内制作并销售竹雕小摆件，每件成本为10元，物价部门规定销售单价不高于成本价的1.8倍．在销售过程中发现，日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)y与x之间的函数解析式为y＝－5x＋200；
(2)当销售单价定为16元时，每天获得的利润为多少？
(3)当销售单价定为多少时，每天获得的利润最大，最大利润为多少？
【自主解答】解：(2)当x＝16时，y＝120，
∴每天获得的利润为(16－10)×120＝720(元).
(3)设每天获得的利润为w元．
由题意，得w＝(x－10)(－5x＋200)＝－5(x－25)2＋1 125.
∵10≤x≤10×1.8，∴10≤x≤18，
∴当x＝18时，w最大，w最大＝－5×(18－25)2＋1 125＝880.
答：当销售单价定为18元时，每天获得的利润最大，最大利润为880元．
【夺分宝典】
2．如何求二次函数的最值：
(1)可直接利用配方法求最值，即y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，当a＞0时，有最小值，当a＜0时，有最大值；
(2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值．
此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义，最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的c值，落地点为抛物线与x轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．
(1)抛球运动判断球是否过网即判断此点的坐标是否在抛物线上方；(2)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线上；(3)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；(4)判断船是否能通过拱桥即判断船两端的高度是否比桥上对应点到水面的距离小；(5)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高大．
(一题多设问)某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向前方喷水，喷出的水柱为抛物线．如图1，以水平方向为x轴，O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点B为水柱的落水点，①水柱最高点离雕塑OA的水平距离为5 m，②雕塑OA的高为 m，③落水点到雕塑之间的距离OB为11 m.
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
【思路引导】由①可知，水柱所在抛物线的对称轴为直线x＝5，由②可知点A的坐标为(0，)，由③可知点B的坐标为(11，0)；根据抛物线的对称轴设出解析式，将A，B两点的坐标代入，解方程组即可得到水柱所在抛物线的解析式．
图1
【自主解答】解：由题意，得抛物线的对称轴为直线x＝5，点A(0，)，B(11，0).
设水柱所在抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋k.
把点A(0，)，B(11，0)代入，得
解得
∴水柱所在抛物线的解析式为y＝－(x－5)2＋6.
(2)若需要在OB上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10 m，EF＝1.8 m，EF⊥OB，则雕塑顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明；
【思路引导】要判断雕塑顶部F是否会碰到水柱，将x＝10代入抛物线的解析式中，得到纵坐标为，通过比较该点的纵坐标与线段EF的大小关系即可求解．
【自主解答】解：在y＝－(x－5)2＋6中，
令x＝10，得y＝－×(10－5)2＋6＝＞1.8，
∴雕塑顶部F不会碰到水柱．
(3)如图2，为保证游客安全，现对该圆形喷水池喷出的水柱范围进行改造，保证改造前后的水柱喷洒的开口大小不变，且喷出的水柱最远距离OC为6 m，求改造后喷出的水柱所在抛物线的解析式及改造后喷出水柱的最高处到雕塑OA的水平距离．
【思路引导】改造前后的水柱喷洒的开口大小不变，说明抛物线的解析式中的二次项系数不变，根据题意知OC的长度为6 m，由A，C两点的坐标可求出改造后抛物线的解析式，进而求出改造后喷出水柱的最高处到雕塑OA的水平距离．
图2
【自主解答】解：由题意，可设改造后喷出的水柱所在抛物线的解析式为y＝－x2＋bx＋.将点(6，0)代入，得－6＋6b＋＝0，解得b＝，
∴改造后喷出的水柱所在抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋，
∴改造后喷出水柱的最高处到雕塑OA的水平距离为－＝(m).
命题点 二次函数的实际应用
1．(2023·宜昌)如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－(x－10)(x＋4)，则铅球推出的水平距离OA＝10m.
2．(2023·襄阳)如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手点的水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－(x－)2＋.下列说法正确的是①.(填序号)
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5 m；
②篮球出手点距离地面的高度为2.25 m.
3．(2024·湖北)如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为42 m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2).
(1)写出y与x，S与x之间的函数解析式；(不要求写出x的取值范围)
(2)矩形试验田的面积S能达到750 m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；
(3)当x的值是多少时，矩形试验田的面积S最大？最大面积是多少？
解：(1)由题意，得2x＋y＝80，
∴y＝－2x＋80，
∴S＝xy＝x(－2x＋80)＝－2x2＋80x.
(2)能．
由(1)知y＝－2x＋80.
∵0＜y≤42，∴0＜－2x＋80≤42，
解得19≤x＜40.
由(1)知S＝－2x2＋80x.
当S＝750时，－2x2＋80x＝750，
解得x1＝25，x2＝15(舍去)，
∴当x＝25时，矩形试验田的面积S能达到750 m2.
(3)由(1)知S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800.
∵－2＜0，
∴当x＝20时，S最大，最大面积是800 m2.
4．(2022·仙桃、潜江、天门联考)某超市销售一种进价为18元/kg的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y(kg)与售价x(元/kg)有如下表所示的关系：
售价x/ (元·kg-1) … 20 22.5 25 37.5 40 …
销售量y /kg … 30 27.5 25 12.5 10 …
(1)根据表中的数据在下图中描出点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w(元)(不计其他成本).
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，售价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240(元)时的售价．
解：(1)描点如图所示．
设y＝kx＋b.
把点(20，30)，(25，25)代入y＝kx＋b，
得解得
∴y＝－x＋50.
(2)①由题意，得w＝(x－18)(－x＋50)＝－x2＋68x－900＝－(x－34)2＋256.
∵－1＜0，
∴当x＝34时，w有最大值．
答：超市每天销售这种商品获得最大利润时，售价为34元/kg.
②当w＝240时，－(x－34)2＋256＝240，
解得x1＝38，x2＝30.
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x＝30.
答：此时的售价为30元/kg.
5．(2023·十堰)“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
(1)当x＝60时，p＝400；
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(元)最大？最大利润是多少？
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8 000元时，每盒售价x(元)的范围为60≤x≤80.”他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请写出正确的结论．
解：(2)由题意，得p＝500－10(x－50)＝－10x＋1 000，
则W＝(x－40)(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10(x－70)2＋9 000.
∵∴
解得50≤x≤65，
∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8 750.
答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W(元)最大，最大利润是8 750元．
(3)小强：设日销售额为y元，
则y＝x·p＝x(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 000x＝－10(x－50)2＋25 000.
由(2)知50≤x≤65，
∴当x＝50时，y值最大，此时y＝25 000.
∵当x＝65时，W值最大，此时W＝8 750，
∴小强正确．
小红：当日销售利润不低于8 000元时，
即W≥8 000，∴－10(x－70)2＋9 000≥8 000，
解得60≤x≤80.
∵50≤x≤65，
∴当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65.
故小红错误，当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65.(共31张PPT)
中考数学一轮复习课件
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第12讲 二次函数的图象与性质
考点精讲精练
第三章 函数
第2课时 二次函数的实际应用
知识点 二次函数的实际应用
1．解题步骤
步骤 关键点
分析问题 明确题中的常量与变量及它们之间的关系，确定自变量及函数
建立模型， 确定函数解析式 根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系
求函数解析式 变量间的数量关系表示及自变量的取值范围
应用性质，解决问题 熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围
y＝－5x＋200
图1
x＝5
(11，0)
图1
图1
图1
图2
图2
图2
10
①
400
谢谢
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