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中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第13讲 二次函数与几何综合题
考点精讲精练
第三章 函数
第2课时 面积问题、特殊三角形存在性问题
9
(－2，0)
(4，0)
6
4
(－2，0)
(0，－4)
2
(2，0)
m＋2
m＋2
3
(3，0)
(2，0)
(3，0)
3
(1，3)
1
5
5
(1，－5)
(1，3)
(1，－5)
n－1
n－1
3
3＋n－1
6
(6，8)
(2，－4)
3
(6，8)
(2，－4)
谢谢
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深圳市二一教育股份有限公司/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第13讲 二次函数与几何综合题
第2课时 面积问题、特殊三角形存在性问题
类型一 面积问题
如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，连接AC，BC.
(1)△ABC的面积为9；
(2)如图1，若D是第一象限内直线AC上一动点，其横坐标为m，用含m的式子表示△BCD的面积为m；
(3)如图1，若D是第四象限内直线y＝－2上一点，S△ACD＝S△ABC，则点D的坐标为(，－2)；
(4)如图2，抛物线y＝－x2＋x＋3经过A，B，C三点，若D为第一象限内抛物线上一点，设点D的横坐标为m，请用含m的代数式表示四边形COBD的面积为－m2＋3m＋6．
(一题多设问)如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B的坐标分别为A(－2，0)，B(8，0)，P是直线 BC下方抛物线上一点．
图1
(1)该抛物线的解析式为y＝x2－x－4；
(2)如图2，点P与点C关于抛物线对称轴对称，连接AC，CP，AP，求△ACP的面积；
图2
【自主解答】解：由题意，得C(0，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴P(6，－4)，
∴CP＝6，
∴S△ACP＝×6×4＝12.
(3)如图3，连接PB，PC，BC，求△PBC面积的最大值；
图3
【自主解答】解：由B(8，0)，C(0，－4)，得直线CB的解析式为y＝x－4.
设点P(m，m2－m－4)，0＜m＜8.
过点P作PQ∥y轴，交CB于点Q，则Q(m，m－4)，
∴PQ＝－m2＋2m，
∴S△PBC＝×(－m2＋2m)×8＝－m2＋8m＝－(m－4)2＋16.
当m＝4时，S△PBC最大，为16.
(4)如图4，AP与BC相交于点M，连接BP，若记△BPM的面积为S1，△ABM的面积为S2，求的最大值．
图4
【自主解答】解：过点P作PE∥y轴交BC于点E，过点A作AF∥PE，交BC的延长线于点F.
设P(m，m2－m－4).
由(3)知直线BC的解析式为y＝x－4，∴E(m，m－4)，F(－2，－5)，
∴PE＝m－4－(m2－m－4)＝－m2＋2m，AF＝5.
∵AF∥PE，∴△MPE∽△MAF，∴＝，
∴＝＝＝＝－(m－4)2＋，
∴的最大值为.
类型二 特殊三角形存在性问题
如图，在平面直角坐标系中，点A(1，0)，点B(0，3)，连接 AB，C为x轴上一点．若△ABC是等腰三角形，请你在图中画出符合条件的点C.
【自主解答】解：如图所示．
(一题多角度)如图，已知抛物线y＝x2－x－4与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)【角度1】如图1，连接AC，BC，平移△ABC，平移后使点A落在抛物线上，点C落在x轴上，求此时点B的坐标；
图1
解：由题意，得A(－2，0)，B(4，0)，∴AB＝6．
如图，平移后点A的纵坐标为4．
令x2－x－4＝4，得x＝1±，
∴此时点B的坐标为(7－，4)或(7＋，4)．
(2)【角度2】如图2，若P为x轴上的动点，是否存在点P，使得以点A，C，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
图2
解：存在．
由题意，得A(－2，0)，C(0，－4)，
∴由勾股定理，得AC＝2．
分以下三种情况讨论：
①当AP＝AC时，如图2，
当点P位于点P1或P2处时，AP＝AC＝2，
∴P1(－2－2，0)，P2(2－2，0)；
②当PC＝AC时，如图2，当点P位于点P3处时，PC＝AC＝2．
∵OC⊥AP，∴OP3＝OA＝2，∴P3(2，0)；
③当PA＝PC 时，如图2，当点P位于点P4处时，PA＝PC.
设点P4的坐标为(m，0)，则P4A＝m＋2，P4C＝，
∴m＋2＝，解得m＝3，
∴P4(3，0)．
综上所述，点P的坐标为(－2－2，0)，(2－2，0)，(2，0)或(3，0)．
(3)【角度3】如图3，连接BC，若H为抛物线的对称轴上的动点，是否存在点H，使得以点B，C，H为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
图3
解：存在．∵抛物线的解析式为y＝x2－x－4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
分以下三种情况讨论：
①当∠HBC＝90°时，如答图1，点H位于点H1处，抛物线的对称轴交x轴于点F，
∴BF＝3，∴△H1FB∽△BOC，∴＝.
答图1
∵B(4，0)，∴BO＝4，∴＝，
∴H1F＝3，∴点H1的坐标为(1，3)；
②当∠HCB＝90°时，如答图1，点H位于点H2处，过点H2作H2G⊥y轴于点G.
同理可得△CGH2∽△BOC，
∴＝，∴＝，
∴CG＝1，∴OG＝OC＋CG＝5，
∴H2F＝5，∴点H2的坐标为(1，－5)；
答图2
③当∠BHC＝90°时，如答图2，点H位于点H3或点H4处，抛物线的对称轴交x轴于点F，过点C作对称轴的垂线，垂足为K.
∵∠BH3C＝90°，∴△CKH3∽△H3FB，
∴＝，∴＝，
解得H3F＝－2－(舍去)或H3F＝－2，
∴点H3的坐标为(1，－2)；
同理可得，点H4的坐标为(1，－2－)．
综上所述，点H的坐标为(1，3)，(1，－5)，(1，－2)或(1，－2－)．
(4)【角度4】如图4，已知M，N分别为对称轴右侧抛物线和对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点B，M，N为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图4
解：存在．设点M的坐标为(n，n2－n－4).
分以下三种情况：
①当MN＝MB时，如答图3，点M位于点M1或M2处，点N相应的位于点N1或N2处，过点M1作M1H⊥x轴于点H，过点N1作N1K⊥HM，交HM1的延长线于点K，
答图3
∴∠N1KM1＝∠M1HB＝90°，∠N1M1K＝∠M1BH.
∵M1N＝M1B，∴△M1KN1≌△BHM1，
∴N1K＝M1H，KM1＝HB.
∵点M1的坐标为(n，n2－n－4)，
∴M1H＝n2－n－4，N1K＝n－1，
∴n2－n－4＝n－1，解得n＝2＋或2－(舍去)，
∴点M1的坐标为(2＋，1＋)；
同理可得点M2的坐标为(，1－)；
②当NM＝NB 时，如答图4，点M位于点M3或M4处，点N相应的点位于点N3或N4处，对称轴交x轴于点H，过点M3作对称轴的垂线，垂足为K.易得△M3KN3≌△N3HB.
答图4
∵点M3的坐标为(n，n2－n－4)，
∴M3K＝N3H＝n－1，KN3＝HB＝3，KH＝n2－n－4．
∵KH ＝KN3＋N3H，
∴n2－n－4＝3＋n－1，解得n＝－2(舍去)或n＝6，
∴点M3的坐标为(6，8)；
同理可得点M4的坐标为(2，－4)；
答图5
③当BM＝BN时，如答图5，点M位于点M5或M6处，点N相应的点位于点N5或N6处，对称轴交x轴于点H，过点M5作x轴的垂线，垂足为K.
易得△M5KB≌△BHN5，
∴KM5＝HB＝3，即n2－n－4＝3，
解得n＝1＋或n＝1－(舍去)，
∴点M5的坐标为(1＋，3)；
同理可得点M6的坐标为(1＋，－3)．
综上所述，点M的坐标为(2＋，1＋)，(，1－)，(6，8)，(2，－4)，(1＋，3)或(1＋，－3)．
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第13讲 二次函数与几何综合题
第2课时 面积问题、特殊三角形存在性问题
类型一 面积问题
如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，连接AC，BC.
(1)△ABC的面积为9；
(2)如图1，若D是第一象限内直线AC上一动点，其横坐标为m，用含m的式子表示△BCD的面积为m；
(3)如图1，若D是第四象限内直线y＝－2上一点，S△ACD＝S△ABC，则点D的坐标为(，－2)；
(4)如图2，抛物线y＝－x2＋x＋3经过A，B，C三点，若D为第一象限内抛物线上一点，设点D的横坐标为m，请用含m的代数式表示四边形COBD的面积为－m2＋3m＋6．
(一题多设问)如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B的坐标分别为A(－2，0)，B(8，0)，P是直线 BC下方抛物线上一点．
图1
(1)该抛物线的解析式为y＝x2－x－4；
(2)如图2，点P与点C关于抛物线对称轴对称，连接AC，CP，AP，求△ACP的面积；
图2
【自主解答】解：由题意，得C(0，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴P(6，－4)，
∴CP＝6，
∴S△ACP＝×6×4＝12.
(3)如图3，连接PB，PC，BC，求△PBC面积的最大值；
图3
【自主解答】解：由B(8，0)，C(0，－4)，得直线CB的解析式为y＝x－4.
设点P(m，m2－m－4)，0＜m＜8.
过点P作PQ∥y轴，交CB于点Q，则Q(m，m－4)，
∴PQ＝－m2＋2m，
∴S△PBC＝×(－m2＋2m)×8＝－m2＋8m＝－(m－4)2＋16.
当m＝4时，S△PBC最大，为16.
(4)如图4，AP与BC相交于点M，连接BP，若记△BPM的面积为S1，△ABM的面积为S2，求的最大值．
图4
【自主解答】解：过点P作PE∥y轴交BC于点E，过点A作AF∥PE，交BC的延长线于点F.
设P(m，m2－m－4).
由(3)知直线BC的解析式为y＝x－4，∴E(m，m－4)，F(－2，－5)，
∴PE＝m－4－(m2－m－4)＝－m2＋2m，AF＝5.
∵AF∥PE，∴△MPE∽△MAF，∴＝，
∴＝＝＝＝－(m－4)2＋，
∴的最大值为.
类型二 特殊三角形存在性问题
如图，在平面直角坐标系中，点A(1，0)，点B(0，3)，连接 AB，C为x轴上一点．若△ABC是等腰三角形，请你在图中画出符合条件的点C.
【自主解答】解：如图所示．
(一题多角度)如图，已知抛物线y＝x2－x－4与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)【角度1】如图1，连接AC，BC，平移△ABC，平移后使点A落在抛物线上，点C落在x轴上，求此时点B的坐标；
图1
解：由题意，得A(－2，0)，B(4，0)，∴AB＝6．
如图，平移后点A的纵坐标为4．
令x2－x－4＝4，得x＝1±，
∴此时点B的坐标为(7－，4)或(7＋，4)．
(2)【角度2】如图2，若P为x轴上的动点，是否存在点P，使得以点A，C，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
图2
解：存在．
由题意，得A(－2，0)，C(0，－4)，
∴由勾股定理，得AC＝2．
分以下三种情况讨论：
①当AP＝AC时，如图2，
当点P位于点P1或P2处时，AP＝AC＝2，
∴P1(－2－2，0)，P2(2－2，0)；
②当PC＝AC时，如图2，当点P位于点P3处时，PC＝AC＝2．
∵OC⊥AP，∴OP3＝OA＝2，∴P3(2，0)；
③当PA＝PC 时，如图2，当点P位于点P4处时，PA＝PC.
设点P4的坐标为(m，0)，则P4A＝m＋2，P4C＝，
∴m＋2＝，解得m＝3，
∴P4(3，0)．
综上所述，点P的坐标为(－2－2，0)，(2－2，0)，(2，0)或(3，0)．
(3)【角度3】如图3，连接BC，若H为抛物线的对称轴上的动点，是否存在点H，使得以点B，C，H为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
图3
解：存在．∵抛物线的解析式为y＝x2－x－4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
分以下三种情况讨论：
①当∠HBC＝90°时，如答图1，点H位于点H1处，抛物线的对称轴交x轴于点F，
∴BF＝3，∴△H1FB∽△BOC，∴＝.
答图1
∵B(4，0)，∴BO＝4，∴＝，
∴H1F＝3，∴点H1的坐标为(1，3)；
②当∠HCB＝90°时，如答图1，点H位于点H2处，过点H2作H2G⊥y轴于点G.
同理可得△CGH2∽△BOC，
∴＝，∴＝，
∴CG＝1，∴OG＝OC＋CG＝5，
∴H2F＝5，∴点H2的坐标为(1，－5)；
答图2
③当∠BHC＝90°时，如答图2，点H位于点H3或点H4处，抛物线的对称轴交x轴于点F，过点C作对称轴的垂线，垂足为K.
∵∠BH3C＝90°，∴△CKH3∽△H3FB，
∴＝，∴＝，
解得H3F＝－2－(舍去)或H3F＝－2，
∴点H3的坐标为(1，－2)；
同理可得，点H4的坐标为(1，－2－)．
综上所述，点H的坐标为(1，3)，(1，－5)，(1，－2)或(1，－2－)．
(4)【角度4】如图4，已知M，N分别为对称轴右侧抛物线和对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点B，M，N为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图4
解：存在．设点M的坐标为(n，n2－n－4).
分以下三种情况：
①当MN＝MB时，如答图3，点M位于点M1或M2处，点N相应的位于点N1或N2处，过点M1作M1H⊥x轴于点H，过点N1作N1K⊥HM，交HM1的延长线于点K，
答图3
∴∠N1KM1＝∠M1HB＝90°，∠N1M1K＝∠M1BH.
∵M1N＝M1B，∴△M1KN1≌△BHM1，
∴N1K＝M1H，KM1＝HB.
∵点M1的坐标为(n，n2－n－4)，
∴M1H＝n2－n－4，N1K＝n－1，
∴n2－n－4＝n－1，解得n＝2＋或2－(舍去)，
∴点M1的坐标为(2＋，1＋)；
同理可得点M2的坐标为(，1－)；
②当NM＝NB 时，如答图4，点M位于点M3或M4处，点N相应的点位于点N3或N4处，对称轴交x轴于点H，过点M3作对称轴的垂线，垂足为K.易得△M3KN3≌△N3HB.
答图4
∵点M3的坐标为(n，n2－n－4)，
∴M3K＝N3H＝n－1，KN3＝HB＝3，KH＝n2－n－4．
∵KH ＝KN3＋N3H，
∴n2－n－4＝3＋n－1，解得n＝－2(舍去)或n＝6，
∴点M3的坐标为(6，8)；
同理可得点M4的坐标为(2，－4)；
答图5
③当BM＝BN时，如答图5，点M位于点M5或M6处，点N相应的点位于点N5或N6处，对称轴交x轴于点H，过点M5作x轴的垂线，垂足为K.
易得△M5KB≌△BHN5，
∴KM5＝HB＝3，即n2－n－4＝3，
解得n＝1＋或n＝1－(舍去)，
∴点M5的坐标为(1＋，3)；
同理可得点M6的坐标为(1＋，－3)．
综上所述，点M的坐标为(2＋，1＋)，(，1－)，(6，8)，(2，－4)，(1＋，3)或(1＋，－3)．
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