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中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第13讲 二次函数与几何综合题
考点精讲精练
第三章 函数
第1课时 角度问题、线段及周长问题
90°
45°
图3
图5
(－1，0)
(3，0)
(0，3)
y＝－x＋3
(t，－t2＋2t＋3)
(t，－t＋3)
(t，0)
(t2－2t，－t2＋2t＋3)
－t2＋3t
－t2＋3t
(－1，0)
(3，0)
(0，－3)
直线x＝1
45°
TB
2
(1，－2)
y＝x－3
－m2＋3m
－m2＋3m＝2
1或2
(1，－4)
(2，－3)
－(m2－2m－3)
－(m－3)
1∶3
2∶3
2
(2，－3)
3
45°
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深圳市二一教育股份有限公司/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第13讲 二次函数与几何综合题
第1课时 角度问题、线段及周长问题
类型一 角度问题
(1)如图1，点B的坐标为(1，0)，AB⊥x轴于点B.若∠AOB＝30°，则点A的坐标为(1，)；
(2)如图2，点A的坐标为(2，2)，AB⊥x轴于点B，C为BA延长线上一点．若∠COB＝2∠AOB，则点C的坐标为(2，6)；
(3)如图3，点A的坐标为(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，C是y轴上一动点，当∠ACO＝∠AOB 时，点C的坐标为(0，)；
(4)如图4，已知点A(0，2)，B(2，0)，点P的坐标为(n，0).当∠PAB＝15°时，点P的坐标为(，0)或(2，0).
(一题多角度)抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC.
(1)【角度1】如图1，直线AD与直线BC相交于点H，连接CD，则∠ACD的度数为90°，∠AHB的度数为45°；
(2)【角度2】如图2，在抛物线上是否存在一点Q，使得∠QAB＝∠BCO？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【分层分析】以AB为角的始边作∠QAB＝∠BCO，有两种情况，过点Q作QF⊥x轴于点F，表示出点Q，F的坐标与QF的长，根据相似(三角函数)列方程求解．
【自主解答】解：存在．由题意，可知点A(－3，0)，C(0，3)，B(1，0).
设点Q的坐标为(t，－t2－2t＋3)，过点Q作 QF⊥x轴于点F，连接 QA，
则∠QFA＝∠BOC＝90°，QF＝|－t2－2t＋3|，AF＝t＋3.
∵∠QAB＝∠BCO，∴△QFA∽△BOC，
∴＝，即＝.
当点Q在x轴上方时，即－t2－2t＋3＝(t＋3)，
解得t1＝－3(舍去)，t2＝，∴点Q的坐标为(，)；
当点Q在x轴下方时，即－(－t2－2t＋3)＝(t＋3)，
解得t1＝－3(舍去)，t2＝，∴点Q的坐标为(，－).
综上所述，点Q的坐标为(，)或(，－).
图1 图2
(3)【角度3】如图3，若点P在抛物线上，且满足∠PCA＝∠DAC，求点P的坐标；
图3
【自主解答】解：由题意，可知A(－3，0)，D(－1，4)，得直线AD的解析式为y＝2x＋6.
分两种情况讨论：
①当点P在直线AC下方时，过点C作CP1∥AD交抛物线于点P1，则直线CP1的解析式为y＝2x＋3.
联立解得(舍去)或
∴点P1(－4，－5)；
②当点P在直线AC上方时，设直线CP1与x轴交于点H，则点H的坐标为(－，0)，
∴AH＝－－(－3)＝.
将△ACH沿AC翻折，得到△ACH′，
∴AH′＝AH＝，∠H′AC＝∠HAC.
易得∠HAC＝45°，∴∠H′AB＝90°，∴AH′⊥AB，
∴点H′的坐标为(－3，).
设直线CH′的解析式为y＝kx＋3.
把点H′(－3，)代入，得k＝，
∴直线CH′的解析式为y＝x＋3.
联立解得(舍去)或∴点P2(－，).
综上所述，点P的坐标为(－4，－5)或(－，).
(4)【角度4】如图4，点P在第二象限内的抛物线上，PG⊥x轴于点G，当∠GPB＝2∠BCO时，求点P的坐标；
图4
【自主解答】解：设BP交y轴于点E.
∵PG⊥x轴于点G，∴PG∥y轴，∴∠OEB＝∠GPB.
∵∠GPB＝2∠BCO，∴∠OEB＝2∠BCO.
∵∠OEB＝∠BCO＋∠EBC，∴∠ECB＝∠EBC，∴CE＝EB.
设OE＝a，则EB＝CE＝OC－OE＝3－a.
在Rt△OEB中，OE2＋OB2＝EB2，
∴a2＋12＝(3－a)2，解得a＝，∴E(0，).
由点B，E求得直线PB的解析式为y＝－x＋.
联立解得(舍去)或
∴点P的坐标为(－，).
(5)【角度5】如图5，Q为x轴上一动点，连接QC，将线段QC绕点Q顺时针旋转90°得到线段PQ，当点P刚好落在抛物线上时，求点P的坐标．
【分层分析】如图，过点P作PG⊥x轴于点G，由“K型全等”得PG＝OQ，QG＝OC＝3，表示出点P的坐标代入抛物线即可．
图5
【自主解答】解：过点P作PG⊥x轴于点G，
则由旋转知△GQP≌△OCQ，
∴QG＝OC＝3，PG＝QO.
设点Q(q，0)，则点P的坐标为(q＋3，q).
将点P(q＋3，q)代入y＝－x2－2x＋3，得－(q＋3)2－2(q＋3)＋3＝q，
解得q1＝－－，q2＝－，
∴点P的坐标为(－－，－－)或(－，－).
类型二 线段及周长问题
如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线在第一象限内一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，顶点为D.
(1)点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，直线BC的解析式为y＝－x＋3；
(2)设点P的横坐标为t，则点P的坐标可表示为(t，－t2＋2t＋3)，点Q的坐标可表示为(t，－t＋3)，点H的坐标可表示为(t，0)，过点P作PM∥x轴，交直线BC于点M，则点M的坐标表示为(t2－2t，－t2＋2t＋3)，PM的长表示为－t2＋3t，PQ的长表示为－t2＋3t，点P到直线BC的距离为(－t2＋3t)．
(一题多角度)抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P是第四象限抛物线上一点(不与点B，C重合)，过点P作PD⊥x轴，交直线CB于点E，设点P的横坐标为m.
(1)【角度1】如图1，连接AC，N是抛物线对称轴上一动点，当△ACN的周长最小时，求点N的坐标及△ACN周长的最小值；
图1
解：由题意，得点A，B，C的坐标分别为A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，对称轴为直线x＝1，∴∠OBC＝45°.
∵点A与点B关于直线x＝1对称，连接BC，交对称轴于点N.
设对称轴交x轴于点T，此时C△ACN＝AC＋CN＋AN＝AC＋BC最小．
在Rt△NTB中，∠TBN＝45°，∴TN＝TB＝2，
∴点N的坐标为(1，－2)．此时AC＝，BC＝3，
∴△ACN周长的最小值为＋3．
(2)【角度2】如图2，若PE＝2，求点P的坐标；
图2
解：直线BC的解析式为y＝x－3．
设点P(m，m2－2m－3)，E(m，m－3)，
则PE＝yE－yP＝－m2＋3m(0∵PE＝2，
∴－m2＋3m＝2，解得m＝1或2，
∴点P的坐标为(1，－4)或(2，－3)．
(3)【角度3】如图3，若直线BC将线段PD分成1∶2的两部分，求点P的坐标；
解：由题意，得PD＝－(m2－2m－3)，DE＝－(m－3)，0＜m＜3.
∵直线BC 将线段PD分成1∶2的两部分，即PE＝2DE或DE＝2PE，
即DE∶PD＝1∶3或DE∶PD＝2∶3，
图3
∴＝或＝，
解得m＝2或m＝，
∴点P的坐标为(2，－3)或(，－)．
(4)【角度4】如图4，求线段 PE长的最大值及点P的坐标；
图4
解：设点E(m，m－3)，P(m，m2－2m－3)，
则PE＝－m2＋3m(0∵－1<0，
∴当m＝时，PE长的最大值为，
此时点P的坐标为(，－).
(5)【角度5】如图5，过点P作PF⊥BC，交BC于点F，当△PFE周长最大时，求点P的坐标及△PFE周长的最大值．
图5
解：由题意，得OB＝OC＝3，∠OBC＝∠DEB＝∠PEF＝45°，
∴在Rt△PFE中，EF∶PF∶EP＝1∶1∶，
∴当PE的长最大时，△PFE的周长最大，此时PF＝EF＝，
∴△PFE周长的最大值为＋，此时点P的坐标为(，－)．
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第13讲 二次函数与几何综合题
第1课时 角度问题、线段及周长问题
类型一 角度问题
(1)如图1，点B的坐标为(1，0)，AB⊥x轴于点B.若∠AOB＝30°，则点A的坐标为(1，)；
(2)如图2，点A的坐标为(2，2)，AB⊥x轴于点B，C为BA延长线上一点．若∠COB＝2∠AOB，则点C的坐标为(2，6)；
(3)如图3，点A的坐标为(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，C是y轴上一动点，当∠ACO＝∠AOB 时，点C的坐标为(0，)；
(4)如图4，已知点A(0，2)，B(2，0)，点P的坐标为(n，0).当∠PAB＝15°时，点P的坐标为(，0)或(2，0).
(一题多角度)抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC.
(1)【角度1】如图1，直线AD与直线BC相交于点H，连接CD，则∠ACD的度数为90°，∠AHB的度数为45°；
(2)【角度2】如图2，在抛物线上是否存在一点Q，使得∠QAB＝∠BCO？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【分层分析】以AB为角的始边作∠QAB＝∠BCO，有两种情况，过点Q作QF⊥x轴于点F，表示出点Q，F的坐标与QF的长，根据相似(三角函数)列方程求解．
【自主解答】解：存在．由题意，可知点A(－3，0)，C(0，3)，B(1，0).
设点Q的坐标为(t，－t2－2t＋3)，过点Q作 QF⊥x轴于点F，连接 QA，
则∠QFA＝∠BOC＝90°，QF＝|－t2－2t＋3|，AF＝t＋3.
∵∠QAB＝∠BCO，∴△QFA∽△BOC，
∴＝，即＝.
当点Q在x轴上方时，即－t2－2t＋3＝(t＋3)，
解得t1＝－3(舍去)，t2＝，∴点Q的坐标为(，)；
当点Q在x轴下方时，即－(－t2－2t＋3)＝(t＋3)，
解得t1＝－3(舍去)，t2＝，∴点Q的坐标为(，－).
综上所述，点Q的坐标为(，)或(，－).
图1 图2
(3)【角度3】如图3，若点P在抛物线上，且满足∠PCA＝∠DAC，求点P的坐标；
图3
【自主解答】解：由题意，可知A(－3，0)，D(－1，4)，得直线AD的解析式为y＝2x＋6.
分两种情况讨论：
①当点P在直线AC下方时，过点C作CP1∥AD交抛物线于点P1，则直线CP1的解析式为y＝2x＋3.
联立解得(舍去)或
∴点P1(－4，－5)；
②当点P在直线AC上方时，设直线CP1与x轴交于点H，则点H的坐标为(－，0)，
∴AH＝－－(－3)＝.
将△ACH沿AC翻折，得到△ACH′，
∴AH′＝AH＝，∠H′AC＝∠HAC.
易得∠HAC＝45°，∴∠H′AB＝90°，∴AH′⊥AB，
∴点H′的坐标为(－3，).
设直线CH′的解析式为y＝kx＋3.
把点H′(－3，)代入，得k＝，
∴直线CH′的解析式为y＝x＋3.
联立解得(舍去)或∴点P2(－，).
综上所述，点P的坐标为(－4，－5)或(－，).
(4)【角度4】如图4，点P在第二象限内的抛物线上，PG⊥x轴于点G，当∠GPB＝2∠BCO时，求点P的坐标；
图4
【自主解答】解：设BP交y轴于点E.
∵PG⊥x轴于点G，∴PG∥y轴，∴∠OEB＝∠GPB.
∵∠GPB＝2∠BCO，∴∠OEB＝2∠BCO.
∵∠OEB＝∠BCO＋∠EBC，∴∠ECB＝∠EBC，∴CE＝EB.
设OE＝a，则EB＝CE＝OC－OE＝3－a.
在Rt△OEB中，OE2＋OB2＝EB2，
∴a2＋12＝(3－a)2，解得a＝，∴E(0，).
由点B，E求得直线PB的解析式为y＝－x＋.
联立解得(舍去)或
∴点P的坐标为(－，).
(5)【角度5】如图5，Q为x轴上一动点，连接QC，将线段QC绕点Q顺时针旋转90°得到线段PQ，当点P刚好落在抛物线上时，求点P的坐标．
【分层分析】如图，过点P作PG⊥x轴于点G，由“K型全等”得PG＝OQ，QG＝OC＝3，表示出点P的坐标代入抛物线即可．
图5
【自主解答】解：过点P作PG⊥x轴于点G，
则由旋转知△GQP≌△OCQ，
∴QG＝OC＝3，PG＝QO.
设点Q(q，0)，则点P的坐标为(q＋3，q).
将点P(q＋3，q)代入y＝－x2－2x＋3，得－(q＋3)2－2(q＋3)＋3＝q，
解得q1＝－－，q2＝－，
∴点P的坐标为(－－，－－)或(－，－).
类型二 线段及周长问题
如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线在第一象限内一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，顶点为D.
(1)点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，直线BC的解析式为y＝－x＋3；
(2)设点P的横坐标为t，则点P的坐标可表示为(t，－t2＋2t＋3)，点Q的坐标可表示为(t，－t＋3)，点H的坐标可表示为(t，0)，过点P作PM∥x轴，交直线BC于点M，则点M的坐标表示为(t2－2t，－t2＋2t＋3)，PM的长表示为－t2＋3t，PQ的长表示为－t2＋3t，点P到直线BC的距离为(－t2＋3t)．
(一题多角度)抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P是第四象限抛物线上一点(不与点B，C重合)，过点P作PD⊥x轴，交直线CB于点E，设点P的横坐标为m.
(1)【角度1】如图1，连接AC，N是抛物线对称轴上一动点，当△ACN的周长最小时，求点N的坐标及△ACN周长的最小值；
图1
解：由题意，得点A，B，C的坐标分别为A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，对称轴为直线x＝1，∴∠OBC＝45°.
∵点A与点B关于直线x＝1对称，连接BC，交对称轴于点N.
设对称轴交x轴于点T，此时C△ACN＝AC＋CN＋AN＝AC＋BC最小．
在Rt△NTB中，∠TBN＝45°，∴TN＝TB＝2，
∴点N的坐标为(1，－2)．此时AC＝，BC＝3，
∴△ACN周长的最小值为＋3．
(2)【角度2】如图2，若PE＝2，求点P的坐标；
图2
解：直线BC的解析式为y＝x－3．
设点P(m，m2－2m－3)，E(m，m－3)，
则PE＝yE－yP＝－m2＋3m(0∵PE＝2，
∴－m2＋3m＝2，解得m＝1或2，
∴点P的坐标为(1，－4)或(2，－3)．
(3)【角度3】如图3，若直线BC将线段PD分成1∶2的两部分，求点P的坐标；
解：由题意，得PD＝－(m2－2m－3)，DE＝－(m－3)，0＜m＜3.
∵直线BC 将线段PD分成1∶2的两部分，即PE＝2DE或DE＝2PE，
即DE∶PD＝1∶3或DE∶PD＝2∶3，
图3
∴＝或＝，
解得m＝2或m＝，
∴点P的坐标为(2，－3)或(，－)．
(4)【角度4】如图4，求线段 PE长的最大值及点P的坐标；
图4
解：设点E(m，m－3)，P(m，m2－2m－3)，
则PE＝－m2＋3m(0∵－1<0，
∴当m＝时，PE长的最大值为，
此时点P的坐标为(，－).
(5)【角度5】如图5，过点P作PF⊥BC，交BC于点F，当△PFE周长最大时，求点P的坐标及△PFE周长的最大值．
图5
解：由题意，得OB＝OC＝3，∠OBC＝∠DEB＝∠PEF＝45°，
∴在Rt△PFE中，EF∶PF∶EP＝1∶1∶，
∴当PE的长最大时，△PFE的周长最大，此时PF＝EF＝，
∴△PFE周长的最大值为＋，此时点P的坐标为(，－)．
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