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第13讲 二次函数与几何综合题
第3课时 特殊四边形存在性问题、相似(含全等)有关的问题
类型一 特殊四边形存在性问题
如图，已知点A(－3，0)，B(0，－2)，C(0，－4)，在平面内是否存在一点P，使得以P，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【自主解答】解：存在，点P的坐标为(－3，2)或(－3，－2)或(3，－6).
(一题多设问)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋5(a≠0)的图象经过A(－5，0)，B(－1，0)两点，顶点为M，抛物线的对称轴l与x轴交于点D，与直线AC交于点E.
(1)该抛物线的解析式为y＝x2＋6x＋5；
(2)设G是抛物线的对称轴上一点，K是平面内一点，是否存在点G，使得以点A，C，G，K为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
【自主解答】解：要使以点A，C，G，K为顶点的四边形是矩形，只需△ACG是直角三角形即可．
由题意，得抛物线的对称轴为直线x＝－3，∴设点G(－3，k).
∵A(－5，0)，C(0，5)，
∴AG2＝22＋k2，AC2＝52＋52＝50，CG2＝32＋(k－5)2.
分三种情况讨论：
①当∠ACG＝90°时，
∴32＋(k－5)2＋50＝22＋k2，解得k＝8；
②当∠CGA＝90°时，
∴22＋k2＋32＋(k－5)2＝50，解得k＝6或－1；
③当∠CAG＝90°时，
22＋k2＋50＝32＋(k－5)2，解得k＝－2.
综上所述，点G的坐标为(－3，8)或(－3，6)或(－3，－1)或(－3，－2).
(3)设Q是抛物线上一点，R是平面内一点，是否存在四边形AQCR是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【自主解答】解：过点O作OI⊥AC于点I.
∵OA＝OC，∴OI垂直平分AC.
由四边形AQCR是菱形，可得AC是对角线，
∴点Q在直线OI上．
易得OI的解析式为y＝－x.
联立解得或
∴点Q的坐标为(，)或(，).
(4)若P是直线AC上一动点，H是抛物线上一动点，L是平面内任意一点，是否存在以A，P，H，L为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【自主解答】解：存在．由(1)可得y＝x2＋6x＋5，
∴C(0，5)，抛物线的对称轴为直线x＝－＝－3.
设直线AC 的解析式为y＝kx＋b(k≠0).
将点A(－5，0)，C(0，5)代入，得解得
∴直线 AC的解析式为y＝x＋5.
当x＝－3时，y＝2，∴E(－3，2).
∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°.
若以A，P，H，L四点构成的四边形是正方形，则△APH是等腰直角三角形．
①如图1，当AH为正方形的对角线，AP为正方形的边时，即AH为等腰直角三角形APH的斜边时，此时，点P1与点E重合，点H1与点B重合，∴H1(－1，0)；
②如图2，当AH，AP均为正方形的边时，即AH，AP均为等腰直角三角形APH的直角边时，∠H2AP2＝90°，∴∠OAH2＝45°.
设直线AH2与y轴交于点N，
∴ON＝OA＝5，∴N(0，－5).
设直线AN的解析式为y＝qx＋p(q≠0).
将点A(－5，0)，N(0，－5)代入，得解得
∴直线 AN 的解析式为y＝－x－5.
联立解得或(舍去)，
图3
∴H2(－2，－3)；
③如图3，当AP为正方形的对角线，AH为正方形的边时，即AP为等腰直角三角形APH的斜边，AH为直角边时，此时，点H3与点B重合，
∴H3(－1，0).
综上所述，存在满足条件的点H，点H的坐标为(－1，0)或(－2，－3).
类型二 相似(含全等)有关的问题
(1)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(3，0)，C(0，4)，D为x轴上的点，当△ABC∽△ACD时，求点D的坐标；
【自主解答】解：∵A(－3，0)，B(3，0)，C(0，4)，
∴AC＝＝5，AB＝6.
∵△ABC∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴AD＝，
∴点D(，0).
(2)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，D是直线AB上的点，E是x轴负半轴上的点，当△ADE 和△AOB全等时，直接写出点D的坐标．
【自主解答】解：点D的坐标为(－6，－4)或(－，－).
(一题多设问)如图，抛物线y＝x2－x＋1与y轴交于点C，过点C的直线与x轴交于点A，与抛物线交于点B，点B的横坐标为4.
(1)如图1，M为x轴上一动点(点M不与点O重合)，连接CM，当△AOC与△ACM相似时，求点M的坐标；
图1
【自主解答】解：由y＝x2－x＋1，得C(0，1)，B(4，3)，
∴直线BC的解析式为y＝x＋1，
∴点A(－2，0)，∴AC＝＝.
∵△AOC∽△ACM，
∴＝，∴＝，
∴AM＝，∴M(，0).
(2)如图2，M为x轴上一动点，连接BM，当△ABM与△AOC相似时，求点M的坐标；
图2
【自主解答】解：分两种情况讨论：
①当△ABM∽△ACO时，BM⊥x轴，∴M(4，0)；
②当△ABM∽△AOC时，＝.
∵A(－2，0)，B(4，3)，
∴AC＝，AB＝3，AO＝2，
∴＝，
∴AM＝，∴M(，0).
(3)如图3，N是抛物线上一点，点D(1，0)，当△NOC≌△NOD时，求点N的坐标；
图3
【自主解答】解：∵C(0，1)，D(1，0)，∴OC＝OD＝1.
当△NOC≌△NOD时，∠NOC＝∠NOD＝45°.
过点N作NE⊥x轴于点E，
∴∠NOE＝∠ONE＝45°，
∴OE＝NE.
设点N(x，x2－x＋1)，则x＝x2－x＋1，
解得x1＝，x2＝，
∴点N(，)或(，).
(4)如图4，P是抛物线对称轴上的动点，设抛物线的对称轴与BC 相交于点Q，且点P不与点Q重合，当以P，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标．
图4
【自主解答】解：由抛物线的解析式y＝x2－x＋1得对称轴为直线x＝.
∵直线AC的解析式为y＝x＋1，点Q在直线AC上，
∴将x＝代入y＝x＋1，得y＝，∴点Q的坐标为(，).
如图，由题意得，点P在点Q的上方．
设直线x＝与x轴的交点为M，则OC∥QM，
∴∠OCA＝∠MQA＝∠BQP.
又∵∠AOC＝90°，∴要分两种情况讨论：
①当∠BP1Q＝90°，即BP1∥x轴时，△BP1Q∽△AOC.
∵点B的坐标为(4，3)，∴点P1的坐标为(，3)；
②当∠QBP2＝90°，即 BP2⊥BQ时，△QBP2∽△COA，
∴＝.
∵A(－2，0)，C(0，1)，∴CA＝.
设P2(，p).∵B(4，3)，Q(，)，P1(，3)，
∴BP1＝4－＝，P1Q＝3－＝，P2Q＝p－.
∴BQ＝＝，
∴＝，解得p＝，∴点P2的坐标为(，).
综上所述，点P的坐标为(，3)或(，).
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2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第13讲 二次函数与几何综合题
考点精讲精练
第三章 函数
第3课时 特殊四边形存在性问题、
相似(含全等)有关的问题
y＝x2＋6x＋5
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第13讲 二次函数与几何综合题
第3课时 特殊四边形存在性问题、相似(含全等)有关的问题
类型一 特殊四边形存在性问题
如图，已知点A(－3，0)，B(0，－2)，C(0，－4)，在平面内是否存在一点P，使得以P，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【自主解答】解：存在，点P的坐标为(－3，2)或(－3，－2)或(3，－6).
(一题多设问)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋5(a≠0)的图象经过A(－5，0)，B(－1，0)两点，顶点为M，抛物线的对称轴l与x轴交于点D，与直线AC交于点E.
(1)该抛物线的解析式为y＝x2＋6x＋5；
(2)设G是抛物线的对称轴上一点，K是平面内一点，是否存在点G，使得以点A，C，G，K为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
【自主解答】解：要使以点A，C，G，K为顶点的四边形是矩形，只需△ACG是直角三角形即可．
由题意，得抛物线的对称轴为直线x＝－3，∴设点G(－3，k).
∵A(－5，0)，C(0，5)，
∴AG2＝22＋k2，AC2＝52＋52＝50，CG2＝32＋(k－5)2.
分三种情况讨论：
①当∠ACG＝90°时，
∴32＋(k－5)2＋50＝22＋k2，解得k＝8；
②当∠CGA＝90°时，
∴22＋k2＋32＋(k－5)2＝50，解得k＝6或－1；
③当∠CAG＝90°时，
22＋k2＋50＝32＋(k－5)2，解得k＝－2.
综上所述，点G的坐标为(－3，8)或(－3，6)或(－3，－1)或(－3，－2).
(3)设Q是抛物线上一点，R是平面内一点，是否存在四边形AQCR是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【自主解答】解：过点O作OI⊥AC于点I.
∵OA＝OC，∴OI垂直平分AC.
由四边形AQCR是菱形，可得AC是对角线，
∴点Q在直线OI上．
易得OI的解析式为y＝－x.
联立解得或
∴点Q的坐标为(，)或(，).
(4)若P是直线AC上一动点，H是抛物线上一动点，L是平面内任意一点，是否存在以A，P，H，L为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【自主解答】解：存在．由(1)可得y＝x2＋6x＋5，
∴C(0，5)，抛物线的对称轴为直线x＝－＝－3.
设直线AC 的解析式为y＝kx＋b(k≠0).
将点A(－5，0)，C(0，5)代入，得解得
∴直线 AC的解析式为y＝x＋5.
当x＝－3时，y＝2，∴E(－3，2).
图1
∵A(－5，0)，C(0，5)，∴OA＝OC＝5，
∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°.
若以A，P，H，L四点构成的四边形是正方形，则△APH是等腰直角三角形．
①如图1，当AH为正方形的对角线，AP为正方形的边时，即AH为等腰直角三角形APH的斜边时，此时，点P1与点E重合，点H1与点B重合，∴H1(－1，0)；
②如图2，当AH，AP均为正方形的边时，即AH，AP均为等腰直角三角形APH的直角边时，∠H2AP2＝90°，∴∠OAH2＝45°.
设直线AH2与y轴交于点N，
图2
∴ON＝OA＝5，∴N(0，－5).
设直线AN的解析式为y＝qx＋p(q≠0).
将点A(－5，0)，N(0，－5)代入，得解得
∴直线 AN 的解析式为y＝－x－5.
联立解得或(舍去)，
图3
∴H2(－2，－3)；
③如图3，当AP为正方形的对角线，AH为正方形的边时，即AP为等腰直角三角形APH的斜边，AH为直角边时，此时，点H3与点B重合，
∴H3(－1，0).
综上所述，存在满足条件的点H，点H的坐标为(－1，0)或(－2，－3).
类型二 相似(含全等)有关的问题
(1)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(3，0)，C(0，4)，D为x轴上的点，当△ABC∽△ACD时，求点D的坐标；
【自主解答】解：∵A(－3，0)，B(3，0)，C(0，4)，
∴AC＝＝5，AB＝6.
∵△ABC∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴AD＝，
∴点D(，0).
(2)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，D是直线AB上的点，E是x轴负半轴上的点，当△ADE 和△AOB全等时，直接写出点D的坐标．
【自主解答】解：点D的坐标为(－6，－4)或(－，－).
(一题多设问)如图，抛物线y＝x2－x＋1与y轴交于点C，过点C的直线与x轴交于点A，与抛物线交于点B，点B的横坐标为4.
(1)如图1，M为x轴上一动点(点M不与点O重合)，连接CM，当△AOC与△ACM相似时，求点M的坐标；
图1
【自主解答】解：由y＝x2－x＋1，得C(0，1)，B(4，3)，
∴直线BC的解析式为y＝x＋1，
∴点A(－2，0)，∴AC＝＝.
∵△AOC∽△ACM，
∴＝，∴＝，
∴AM＝，∴M(，0).
(2)如图2，M为x轴上一动点，连接BM，当△ABM与△AOC相似时，求点M的坐标；
图2
【自主解答】解：分两种情况讨论：
①当△ABM∽△ACO时，BM⊥x轴，∴M(4，0)；
②当△ABM∽△AOC时，＝.
∵A(－2，0)，B(4，3)，
∴AC＝，AB＝3，AO＝2，
∴＝，
∴AM＝，∴M(，0).
(3)如图3，N是抛物线上一点，点D(1，0)，当△NOC≌△NOD时，求点N的坐标；
图3
【自主解答】解：∵C(0，1)，D(1，0)，∴OC＝OD＝1.
当△NOC≌△NOD时，∠NOC＝∠NOD＝45°.
过点N作NE⊥x轴于点E，
∴∠NOE＝∠ONE＝45°，
∴OE＝NE.
设点N(x，x2－x＋1)，则x＝x2－x＋1，
解得x1＝，x2＝，
∴点N(，)或(，).
(4)如图4，P是抛物线对称轴上的动点，设抛物线的对称轴与BC 相交于点Q，且点P不与点Q重合，当以P，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标．
图4
【自主解答】解：由抛物线的解析式y＝x2－x＋1得对称轴为直线x＝.
∵直线AC的解析式为y＝x＋1，点Q在直线AC上，
∴将x＝代入y＝x＋1，得y＝，∴点Q的坐标为(，).
如图，由题意得，点P在点Q的上方．
设直线x＝与x轴的交点为M，则OC∥QM，
∴∠OCA＝∠MQA＝∠BQP.
又∵∠AOC＝90°，∴要分两种情况讨论：
①当∠BP1Q＝90°，即BP1∥x轴时，△BP1Q∽△AOC.
∵点B的坐标为(4，3)，∴点P1的坐标为(，3)；
②当∠QBP2＝90°，即 BP2⊥BQ时，△QBP2∽△COA，
∴＝.
∵A(－2，0)，C(0，1)，∴CA＝.
设P2(，p).∵B(4，3)，Q(，)，P1(，3)，
∴BP1＝4－＝，P1Q＝3－＝，P2Q＝p－.
∴BQ＝＝，
∴＝，解得p＝，∴点P2的坐标为(，).
综上所述，点P的坐标为(，3)或(，).
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