沪科版数学八年级下册第17章一元二次方程章节综合检测卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2024九上·成都月考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·福田月考）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，3，1 B．5，，1 C．2，，1 D．5，1，
3．（2024九上·老河口期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
4．（2024九上·潮南期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
5．（2024九上·京山期中）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A． B．1 C．15 D．17
6．（2024八下·合肥期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·合肥月考）年月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼月份销售额为万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计月份可以累计销售收入达万．设月收入的增长率为，则程可列为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·曲靖模拟）小张的书法作品荣获学校书法比赛一等奖．作品尺寸如图所示：书法作品长5尺，宽3尺；将书法作品贴在一张矩形装裱纸的正中央，书法作品四周外露装裱纸的宽度相同；矩形装裱纸的面积为书法作品面积的2倍．设书法作品四周外露装裱纸的宽度为x尺，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·射洪期末）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·蜀山期中）关于的一元二次方程的两根为，记，，则的值为（ ）
A．0 B．2023 C．2024 D．2025
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2020八下·衢州期中）用公式法解一元二次方程，得x= ，则该一元二次方程是 。
12．（2023八下·香坊期末）参加足球联赛的每两队都进行两场比赛，共要比赛72场，则共有 支队伍参加比赛.
13．（2022八下·诸暨期中）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为 m.
14．如图， 已知线段 的长为 2 ， 以 为边在 的下方作正方形 ． 取 边上一点 ， 以 为边在 的上方作正方形 ， 过点 作 ， 垂足为点 ． 若正方形 与四边形 的面积相等， 则 的长为 .
15．（1） 若关于 的方程 的两个根分别是 与 ， 则 ．
（2） 若关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ， 则方程 的根是 ．
三、计算题（共8分）
16．（2024九上·浦北期中）解方程：
（1）；
（2）．
四、解答题（共3题，共28分）
17．（2023九上·郸城月考）一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数．
18．（2023八下·六安期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
19． 如图， 学校为了对学生进行劳动教育， 用总长为 77 米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形种植园， 每个长方形都有一个 1 米宽的门，墙的最大可用长度为 30 米．
（1）如果种植园的总面积为 300 平方米，求边 的长．
（2） 种植园的总面积能为 500 平方米吗 若能， 请求出边 的长； 若不能， 说明理由．
五、综合题（共4题，共49分）
20．（2024八下·雨花期末） 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．如的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断是否是“倍根方程”；
（2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请求出的值．
21．（2023八下·杭州期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．
①当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000元？
②求此停车场的月租金收入最多为多少元？
22．（2023八下·临泉期末）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则有，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n．求的值．
解：∵方程的两个实数根分别为m，n，则，，
∴．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为．，，则 ， ．
（2）类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数m，n满足，，且，求的值．
23．（2024八下·深圳期末）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是元台厂商建议，台灯的标价应不低于元台，且不高于元台．
（1）小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为元台时，每天能售出台；若台灯的价格每上涨元，日销量会下降台求日销售量台与元台之间的函数关系式；
（2）“”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为元“”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按元台标价，并打折销售；当天销售量在台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 一元二次方程的二次项系数为5、一次项系数为-3、常数项为1，故B正确。
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式是，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴
原式=
故答案为：B.
【分析】将代入原方程得到将待求式化简即可求解.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
6．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：矩形装裱纸的长为尺，宽为尺，
其面积为平方尺，
根据题意得：
，
故选：A．
【分析】根据“矩形装裱纸的面积为书法作品面积的2倍”结合题意列出一元二次方程，进而即可求解。
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两根为，，
∴，，
∴
．
故答案为：A．
【分析】根据题意得到，，代入，即可求解．
11．【答案】3x +5x+1=0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ 用公式法解一元二次方程，得x= ，
∴x=
∴2a=2×3，-b=-5，4ac=4×3×1
∴a=3，b=5，c=1
∴这个一元二次方程是：3x +5x+1=0.
故答案为：3x +5x+1=0.
【分析】利用一元二次方程的求根公式：x=（b2-4ac≥0），就可求出a，b，c的值，即可得到一元二次方程。
12．【答案】9
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】 解：设有x队参加比赛
x(x-1)=72，
(2-9)(x+8)=0，
解得x=9，x=-8(不合题意，舍去)
故答案为：9.
【分析】 每两队之间都要进行两场比赛，根据题意可列数量关系为：队的个数×(队的个数-1)=总比赛场数，设共有x个足球队参加比赛，从而列出方程，求出解即可。
13．【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝2，x2＝35.
当x＝2时，30﹣2x＝26，符合题意；
当x＝35时，30﹣2x＝﹣40＜0，不合题意，舍去.
故答案为：2.
【分析】设小道进出口的宽度应为xm，则利用平移的性质可得剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积=长×宽，列出方程并解之即可.
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，
∵四边形和四边形都为正方形，
∴，，四边形为矩形，
∴，
∴，．
∵正方形与四边形的面积相等，
∴，
解得：，（舍），
∴．
故答案为：
【分析】设，先根据正方形的性质得到，，四边形为矩形，进而根据矩形的性质得到，从而得到，，再根据面积相等结合题意列出一元二次方程，从而即可求解。
15．【答案】（1）1
（2）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；解一元二次方程的其他方法；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得方程的两个和互为相反数，
∴m+1+2m-4=0，
解得：m=1，
故答案为：1；
（2）∵方程可变形为：，
∵ 关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ，
∴2x-1=3或2x-1=7，
解得：x=2或x=4，
故答案为：.
【分析】（1）利用“方程的两个和互为相反数”可得m+1+2m-4=0，再求出m的值即可；
（2）将原方程变形为，再结合“关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ”可得2x-1=3或2x-1=7，最后求出x的值即可.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解法解一元二次方程
17．【答案】或
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
18．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，列出不等式，解不等式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据题意可得得到方程，再解方程求出k的值即可.
19．【答案】（1）解：设AB=x米， 由题意得BC=(80-4x)米，
∴x(80-4x)=300，
解得x1=15， x2=5，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，BC=60米>30米，
∴x=15.
答：边AB的长为15米.
（2）解：设AB=x米，则x(80-4x)=500，
化简得x2-20x+125=0，
∵，
∴种植园的总面积不能为500平方米.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB=x米，由题意得BC=(80-4x)米，进而根据矩形的面积即可列出一元二次方程，从而解方程即可求解；
（2）设AB=x米，则x(80-4x)=500， 进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
20．【答案】（1）解：，
，
，
所以，
则方程是“倍根方程”；
（2）解：，解得，，
是“倍根方程”，或，
当时，；
当时，，
综上，代数式的值为26或5；
（3）解：根据题意，设方程的根的两根分别为、，
根据根与系数的关系得，，
解得，或，，即的值为13或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先根据因式分解方法求出一元二次方程的根，再根据新定义判断即可.
（2）先根据因式分解方法求出一元二次方程的根，再根据新定义求出，然后把m的值代入计算即可.
（3）设方程的根的两根分别为，再根据根与系数的关系得，进而求出α，计算对应的m的值即可．
21．【答案】（1）解：根据道路的宽为x米，
根据题意得：（52-2x）（28-2x）＝640，
整理，得：x2-40x+204＝0，
解得：x1＝34（舍去），x2＝6，
答：道路的宽是6米；
（2）解：①设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为10000元，
根据题意得：，
整理，得：a2-50a＝0，
解得：a1＝0（舍去），a2＝50．
答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入为10000元；
②设月租金上涨b元，停车场的月租金收入为y元，
根据题意得：，
整理，得：，
所以：当b＝25时，y有最大值为10125．
答：此停车场的月租金收入最多为10125元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据道路的宽为x米，利用平移的思想可得铺花砖部分是一个长为（52-2x）m，宽为（28-2x）m的矩形，进而根据矩形的面积计算公式及 铺花砖的面积为640m2 建立方程，求解并检验即可；
（2）①设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为10000元，则每个车位的月租金为（200+a）元，每月可租出的车位为（50-）个，根据每个车位的月租金×每月租出的车位的个数=停车场的月租金收入建立方程，求解并检验即可；
②设月租金上涨b元，停车场的月租金收入为y元，则每个车位的月租金为（200+b）元，每月可租出的车位为（50-）个，根据每个车位的月租金×每月租出的车位的个数=停车场的月租金收入建立出y关于b的函数解析式，进而根据所得函数解析式的性质即可解决此题.
22．【答案】（1）；
（2）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数、满足，，
∴与看作是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：
故答案为：第1空、
第2空、
【分析】（1）根据一元二次方程的韦达定理即可求出答案。
（2）根据韦达定理求出，，将代数式提公因式化简，代入值即可求出答案。
（3）与看作是方程的两个实数根，根据韦达定理求出，，将代数式通分化简，代入值即可求出答案。
23．【答案】（1）解：根据题意可得：日销售量盏与时间天之间的函数关系式为：
（2）解：根据题意列方程：，
整理得：．
解得或舍去．
【知识点】列一次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出日销售量P与x之间的函数关系式即可；
（2）根据题意列出关于a的二元一次方程求解即可。
1 / 1沪科版数学八年级下册第17章一元二次方程章节综合检测卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2024九上·成都月考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
2．（2024九上·福田月考）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，3，1 B．5，，1 C．2，，1 D．5，1，
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 一元二次方程的二次项系数为5、一次项系数为-3、常数项为1，故B正确。
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式是，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3．（2024九上·老河口期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
4．（2024九上·潮南期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴
原式=
故答案为：B.
【分析】将代入原方程得到将待求式化简即可求解.
5．（2024九上·京山期中）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A． B．1 C．15 D．17
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
6．（2024八下·合肥期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
7．（2024八下·合肥月考）年月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼月份销售额为万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计月份可以累计销售收入达万．设月收入的增长率为，则程可列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
8．（2024九上·曲靖模拟）小张的书法作品荣获学校书法比赛一等奖．作品尺寸如图所示：书法作品长5尺，宽3尺；将书法作品贴在一张矩形装裱纸的正中央，书法作品四周外露装裱纸的宽度相同；矩形装裱纸的面积为书法作品面积的2倍．设书法作品四周外露装裱纸的宽度为x尺，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：矩形装裱纸的长为尺，宽为尺，
其面积为平方尺，
根据题意得：
，
故选：A．
【分析】根据“矩形装裱纸的面积为书法作品面积的2倍”结合题意列出一元二次方程，进而即可求解。
9．（2024九上·射洪期末）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
10．（2024八下·蜀山期中）关于的一元二次方程的两根为，记，，则的值为（ ）
A．0 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两根为，，
∴，，
∴
．
故答案为：A．
【分析】根据题意得到，，代入，即可求解．
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2020八下·衢州期中）用公式法解一元二次方程，得x= ，则该一元二次方程是 。
【答案】3x +5x+1=0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ 用公式法解一元二次方程，得x= ，
∴x=
∴2a=2×3，-b=-5，4ac=4×3×1
∴a=3，b=5，c=1
∴这个一元二次方程是：3x +5x+1=0.
故答案为：3x +5x+1=0.
【分析】利用一元二次方程的求根公式：x=（b2-4ac≥0），就可求出a，b，c的值，即可得到一元二次方程。
12．（2023八下·香坊期末）参加足球联赛的每两队都进行两场比赛，共要比赛72场，则共有 支队伍参加比赛.
【答案】9
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】 解：设有x队参加比赛
x(x-1)=72，
(2-9)(x+8)=0，
解得x=9，x=-8(不合题意，舍去)
故答案为：9.
【分析】 每两队之间都要进行两场比赛，根据题意可列数量关系为：队的个数×(队的个数-1)=总比赛场数，设共有x个足球队参加比赛，从而列出方程，求出解即可。
13．（2022八下·诸暨期中）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为 m.
【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝2，x2＝35.
当x＝2时，30﹣2x＝26，符合题意；
当x＝35时，30﹣2x＝﹣40＜0，不合题意，舍去.
故答案为：2.
【分析】设小道进出口的宽度应为xm，则利用平移的性质可得剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积=长×宽，列出方程并解之即可.
14．如图， 已知线段 的长为 2 ， 以 为边在 的下方作正方形 ． 取 边上一点 ， 以 为边在 的上方作正方形 ， 过点 作 ， 垂足为点 ． 若正方形 与四边形 的面积相等， 则 的长为 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，
∵四边形和四边形都为正方形，
∴，，四边形为矩形，
∴，
∴，．
∵正方形与四边形的面积相等，
∴，
解得：，（舍），
∴．
故答案为：
【分析】设，先根据正方形的性质得到，，四边形为矩形，进而根据矩形的性质得到，从而得到，，再根据面积相等结合题意列出一元二次方程，从而即可求解。
15．（1） 若关于 的方程 的两个根分别是 与 ， 则 ．
（2） 若关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ， 则方程 的根是 ．
【答案】（1）1
（2）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；解一元二次方程的其他方法；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得方程的两个和互为相反数，
∴m+1+2m-4=0，
解得：m=1，
故答案为：1；
（2）∵方程可变形为：，
∵ 关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ，
∴2x-1=3或2x-1=7，
解得：x=2或x=4，
故答案为：.
【分析】（1）利用“方程的两个和互为相反数”可得m+1+2m-4=0，再求出m的值即可；
（2）将原方程变形为，再结合“关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ”可得2x-1=3或2x-1=7，最后求出x的值即可.
三、计算题（共8分）
16．（2024九上·浦北期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解法解一元二次方程
四、解答题（共3题，共28分）
17．（2023九上·郸城月考）一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数．
【答案】或
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
18．（2023八下·六安期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，列出不等式，解不等式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据题意可得得到方程，再解方程求出k的值即可.
19． 如图， 学校为了对学生进行劳动教育， 用总长为 77 米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形种植园， 每个长方形都有一个 1 米宽的门，墙的最大可用长度为 30 米．
（1）如果种植园的总面积为 300 平方米，求边 的长．
（2） 种植园的总面积能为 500 平方米吗 若能， 请求出边 的长； 若不能， 说明理由．
【答案】（1）解：设AB=x米， 由题意得BC=(80-4x)米，
∴x(80-4x)=300，
解得x1=15， x2=5，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，BC=60米>30米，
∴x=15.
答：边AB的长为15米.
（2）解：设AB=x米，则x(80-4x)=500，
化简得x2-20x+125=0，
∵，
∴种植园的总面积不能为500平方米.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB=x米，由题意得BC=(80-4x)米，进而根据矩形的面积即可列出一元二次方程，从而解方程即可求解；
（2）设AB=x米，则x(80-4x)=500， 进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
五、综合题（共4题，共49分）
20．（2024八下·雨花期末） 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．如的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断是否是“倍根方程”；
（2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请求出的值．
【答案】（1）解：，
，
，
所以，
则方程是“倍根方程”；
（2）解：，解得，，
是“倍根方程”，或，
当时，；
当时，，
综上，代数式的值为26或5；
（3）解：根据题意，设方程的根的两根分别为、，
根据根与系数的关系得，，
解得，或，，即的值为13或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先根据因式分解方法求出一元二次方程的根，再根据新定义判断即可.
（2）先根据因式分解方法求出一元二次方程的根，再根据新定义求出，然后把m的值代入计算即可.
（3）设方程的根的两根分别为，再根据根与系数的关系得，进而求出α，计算对应的m的值即可．
21．（2023八下·杭州期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．
①当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000元？
②求此停车场的月租金收入最多为多少元？
【答案】（1）解：根据道路的宽为x米，
根据题意得：（52-2x）（28-2x）＝640，
整理，得：x2-40x+204＝0，
解得：x1＝34（舍去），x2＝6，
答：道路的宽是6米；
（2）解：①设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为10000元，
根据题意得：，
整理，得：a2-50a＝0，
解得：a1＝0（舍去），a2＝50．
答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入为10000元；
②设月租金上涨b元，停车场的月租金收入为y元，
根据题意得：，
整理，得：，
所以：当b＝25时，y有最大值为10125．
答：此停车场的月租金收入最多为10125元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据道路的宽为x米，利用平移的思想可得铺花砖部分是一个长为（52-2x）m，宽为（28-2x）m的矩形，进而根据矩形的面积计算公式及 铺花砖的面积为640m2 建立方程，求解并检验即可；
（2）①设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为10000元，则每个车位的月租金为（200+a）元，每月可租出的车位为（50-）个，根据每个车位的月租金×每月租出的车位的个数=停车场的月租金收入建立方程，求解并检验即可；
②设月租金上涨b元，停车场的月租金收入为y元，则每个车位的月租金为（200+b）元，每月可租出的车位为（50-）个，根据每个车位的月租金×每月租出的车位的个数=停车场的月租金收入建立出y关于b的函数解析式，进而根据所得函数解析式的性质即可解决此题.
22．（2023八下·临泉期末）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则有，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n．求的值．
解：∵方程的两个实数根分别为m，n，则，，
∴．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为．，，则 ， ．
（2）类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数m，n满足，，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数、满足，，
∴与看作是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：
故答案为：第1空、
第2空、
【分析】（1）根据一元二次方程的韦达定理即可求出答案。
（2）根据韦达定理求出，，将代数式提公因式化简，代入值即可求出答案。
（3）与看作是方程的两个实数根，根据韦达定理求出，，将代数式通分化简，代入值即可求出答案。
23．（2024八下·深圳期末）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是元台厂商建议，台灯的标价应不低于元台，且不高于元台．
（1）小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为元台时，每天能售出台；若台灯的价格每上涨元，日销量会下降台求日销售量台与元台之间的函数关系式；
（2）“”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为元“”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按元台标价，并打折销售；当天销售量在台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值．
【答案】（1）解：根据题意可得：日销售量盏与时间天之间的函数关系式为：
（2）解：根据题意列方程：，
整理得：．
解得或舍去．
【知识点】列一次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出日销售量P与x之间的函数关系式即可；
（2）根据题意列出关于a的二元一次方程求解即可。
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