专题03 指对幂等函数值大小比较（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 4
【热考考点】 4
【热考点一】用单调性比较大小 4
【热考点二】找中间量比较大小 4
【热考点三】有变量问题 5
【热考点四】构造函数法 6
【热考点五】数形结合法 7
【热考点六】不等式放缩 8
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
【热考点一】用单调性比较大小
【典例1-1】设，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数，，的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】已知，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知，（为自然对数的底数），比较，，的大小（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·江西新余·一模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．a，b的大小无法判断
【热考点二】找中间量比较大小
【典例2-1】（2024·高三·江西·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】三个数，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】已知，，，比较，，的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【热考点三】有变量问题
【典例3-1】[新考法]若，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】（2024·高三·河北邢台·期中）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（多选题）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2024·陕西西安·统考一模）设且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
1．（多选题）若，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【热考点四】构造函数法
【典例4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】[新考法]设函数，，在上的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】已知，，，试比较，，的大小（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）.
A． B． C． D．
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
【热考点五】数形结合法
【典例5-1】函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】实数满足，，，则，，的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】[新考法]已知函数.设，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是函数图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（ ）
①；②；③；④.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【热考点六】不等式放缩
【典例6-1】（2024·高三·四川德阳·开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【典例6-2】（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·浙江杭州·一模）对，不等式恒成立，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式6-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．设，,，则下列大小关系正确的是 （ ）
A． B． C． D．专题03 指对幂等函数值大小比较（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 4
【热考考点】 8
【热考点一】用单调性比较大小 8
【热考点二】找中间量比较大小 10
【热考点三】有变量问题 13
【热考点四】构造函数法 16
【热考点五】数形结合法 21
【热考点六】不等式放缩 25
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A D D A C ACD
1．B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
2．D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：D
3．A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
4．D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
5．D
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故选：D.
6．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
7．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
8．ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
【热考点一】用单调性比较大小
【典例1-1】设，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数在上单调递增，可得， .
因函数在R上单调递增，则.故，
即.
故选：A
【典例1-2】（2024·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数，，的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数解析式可知三个函数在定义域上均为单调递增函数.
∵，，故，
∵，，故，
，故，
∴.
故选：B.
利用指对幂函数的单调性判断
【变式1-1】已知，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，
所以，
又，所以，又因为函数在上单调递减，
所以，因为，
所以，综上，.
故选：C.
【变式1-2】已知，（为自然对数的底数），比较，，的大小（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由三角函数线可得：不等式，
则，
又函数为增函数，为减函数，
则，
所以，
综上所述：，
故选D．
1．（2024·江西新余·一模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以，
故选：D
2．已知实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．a，b的大小无法判断
【答案】A
【解析】函数在上单调递增，且，则由，得，
又，所以.
故选：A
【热考点二】找中间量比较大小
【典例2-1】（2024·高三·江西·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，则.
故选：A
【典例2-2】三个数，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，
所以最大，
因为，所以，
因为，所以，则，所以，
即.
故选：B
寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
【变式2-1】已知，，，比较，，的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知，
.
故选：B
【变式2-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，，
所以，所以.
故选：A.
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，而，
则，又，
所以.
故选：D
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，，，
因为，且在定义域内单调递增，
可得，所以．
故选：D.
3．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于，，
所以.
故选：B
【热考点三】有变量问题
【典例3-1】[新考法]若，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】方法一：因为，所以函数在上单调递增．
因为，所以，即．
同理，由函数在上单调递增，得，即．
因为，所以．
因为，所以在上单调递减，
所以，所以，即，
所以．
方法二：
由，令，，
则，，，．
因为，所以．
故选：B．
【典例3-2】（2024·高三·河北邢台·期中）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以在上均单调递增，
所以，即，
对于，构造函数，
易知时，，即此时函数单调递增，则，
所以，
因为在上单调递增，所以，
综上.
故选：A
对变量取特殊值代入或者构造函数
【变式3-1】（多选题）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A中，因为，可得，又因为，所以，
可得，解得，所以A不正确；
对于B中，由，则，则，
当且仅当，即时，等号成立，因为所以，所以B正确，
对于C中，由函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，则，即，
当且仅当时，等号成立，
因为时，因为，可得，
所以，即，所以C正确；
对于D中，由，所以，可得，所以D正确.
故选：BCD.
【变式3-2】（2024·陕西西安·统考一模）设且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，
则
因为，所以，则，
因为，所以．
故选：A．
1．（多选题）若，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为，所以，则，
又由于，所以，，，则，故B正确；
因为，所以，故C正确；
当，，时，可，故A错误；
当，，时，，故D错误.
故选：BC.
2．（多选题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A选项中，因为，故在R上单调递减，故，
因为在上单调递增，故，综上，，A正确；
B选项中，由于，而已知，所以B不正确；
C选项中，，
设，则，
设，
则，
所以在上递增，这样，故C正确；
D选项中，取，，则，，
又，故，所以D错误.
故选：AC.
【热考点四】构造函数法
【典例4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
设，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，
又因为，
所以.
故选：D.
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，则，，，
由，令得，令得，
则在上单调递增，在上单调递减．
因为，所以，所以；
因为，所以，所以；
令，且，则，
令，，
则，
所以在上单调递增，
又，所以，所以，
因为，且，所以，所以.
故选：B
构造函数比大小是高考数学的重点题型，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。
“形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据“若函数单调递增，则；若函数单调递减，”判断．
“数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数．
【变式4-1】[新考法]设函数，，在上的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以在上单调递增，
又因为，所以存在使得，
所以，
因为，，令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又因为，
又，，所以，所以在上单调递增，
又，，所以存在使得，所以最大，
因为，所以，
，，
又，
.
故选：B．
【变式4-2】已知，，，试比较，，的大小（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设
则当时单调递减，
故
故进而，
设
由于函数和均为定义域内的单调递增函数，
所以为上的单调递增函数，
因此，
故，
故，
因此，
故选：B
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在内单调递增，
则，即，
又因为在内单调递增，
则，，可得；
令，则，，
构建，
则，
可知在上递减，则，即；
综上所述：.
故选：C.
2．若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】显然，即，而，
设，求导得在上单调递增，
则，即当时，，因此；
设，求导得，
令，，
则函数，即在上单调递增，，
即函数在上单调递增，于是，则当时，，
从而，而，即有，
所以.
故选：A
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以；
因为函数单调递增，，所以，即，则，所以；
构造函数，则，
令，则，
显然在上单调递增，所以，
故在上单调递增，所以，所以在上单调递增，
从而，故有，整理得，
所以，故．
故选：B
【热考点五】数形结合法
【典例5-1】函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，即，
令，即，
令，即，分别作出，，和的图象，
如图所示：
由图象可知：，所以.
故选：.
【典例5-2】实数满足，，，则，，的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，则，令，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
由条件可知，
且，，，故有，
如下图所示，作出函数简图，可知，由，
故选：D
转化为两函数图象交点的横坐标
【变式5-1】[新考法]已知函数.设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数的定义域为，
令，
则，
所以为奇函数，且在单调递增，如图所示，
因为，
所以不妨设，
设点，
则的直线方程为，
如图，因为，
所以两式相加得，
又因为，
所以，
所以，
即.
故选：C.
【变式5-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，画出的图象，
故为下凸函数，
当时，
所以，．
设，画出图象，
故为上凸函数，当时，
所以，
同一坐标系内画出和的图象，
又在R上单调递减，故，所以．
设，则，在上单调递减，
所以时，
所以，，
所以，同理可得，，
相加得，，
所以．
故选：A
1．若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，易知，
设直线l：，作出，，直线l图象，
如图：当时，，，
当时，，，
所以不可能成立，
故选:
2．已知是函数图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（ ）
①；②；③；④.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】B
【解析】如图所示，设，的中点为，
点在函数的图象上，且轴，则，
由图知点在的左侧，即，故①错误，②正确；
则，即，
即，故③正确，④错误.
故选：B.
【热考点六】不等式放缩
【典例6-1】（2024·高三·四川德阳·开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，
所以，即，
所以，且，
所以，
又因为，
所以，
综上，，
故选：D.
【典例6-2】（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可构造函数，
则，令，解得，
因此可得当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
可知在处取得极小值，也是最小值，所以，
即，故，即
当时，有，所以，可得；
令，
则，
故在上单调递增，
可得，即，
取，则，所以，可得；
综上可得，.
故选：A
放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保比较结果的准确性。
【变式6-1】（2024·浙江杭州·一模）对，不等式恒成立，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】由得，
对于选项A、B，若，可令，不等式可化为，
当时，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
∴，
当时，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
∴，
∴，
当时，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
∴，
综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误.
对于选项C、D，若，
∵
∴，
∴，
要使不等式恒成立，则需，
∵函数在为增函数，
∴函数有相同的零点，
由得，由得，，
∴，即，
∴，
∴，选项D正确.
故选D.
【变式6-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造，，
则对恒成立，则在单调递增，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
构造，，
则对恒成立，则在单调递减，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
构造，，
则对恒成立，则在单调递减，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
则，；
下面比较b和c的大小：
设，，，
设，，，
易知在上单调递增，则，
所以在上单调递减，，
即在上恒成立，则在上单调递减，
由，则，即，则，
综上所述，
故选：D.
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，，
，
，等号取不到，
，
，
，
，
令，
∵，∴单调递减，且，
，可得
于是 ，
，
故选：A.
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因，
故，即；
又，
故，即.
故有即.
故选：A.
3．设，,，则下列大小关系正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
令，则，
所以在上单调递增，
从而，即，，
所以，，
从而当时，，
，
所以.
故选：B.
