专题03 指对幂等函数值大小比较(新高考专用)
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 4
【热考考点】 4
【热考点一】用单调性比较大小 4
【热考点二】找中间量比较大小 4
【热考点三】有变量问题 5
【热考点四】构造函数法 6
【热考点五】数形结合法 7
【热考点六】不等式放缩 8
(1)利用函数与方程的思想,构造函数,结合导数研究其单调性或极值,从而确定a,b,c的大小.
(2)指、对、幂大小比较的常用方法:
①底数相同,指数不同时,如和,利用指数函数的单调性;
②指数相同,底数不同,如和利用幂函数单调性比较大小;
③底数相同,真数不同,如和利用指数函数单调性比较大小;
④底数、指数、真数都不同,寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量,借助中间量进行大小关系的判定.
(3)转化为两函数图象交点的横坐标
(4)特殊值法
(5)估算法
(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
(7)常见函数的麦克劳林展开式:
①
②
③
④
⑤
⑥
一、单选题
1.(2024·北京·高考真题)已知,是函数的图象上两个不同的点,则( )
A. B.
C. D.
2.(2024·天津·高考真题)设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.(2023·全国甲卷·高考真题)已知函数.记,则( )
A. B. C. D.
4.(2023·天津·高考真题)设,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
5.(2022·天津·高考真题)设,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.(2022·全国甲卷·高考真题)已知,则( )
A. B. C. D.
7.(2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)设,则( )
A. B. C. D.
二、多选题
8.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,则( ).
A. B.
C. D.
【热考点一】用单调性比较大小
【典例1-1】设,则的大小顺序为( )
A. B. C. D.
【典例1-2】(2024·高三·黑龙江鸡西·期中)已知函数,,的零点分别为,则的大小顺序为( )
A. B.
C. D.
【变式1-1】已知,比较a,b,c的大小为( )
A. B. C. D.
【变式1-2】已知,(为自然对数的底数),比较,,的大小( )
A. B.
C. D.
1.(2024·江西新余·一模)故,,,则a,b,c的大小顺序是( )
A. B. C. D.
2.已知实数a,b满足,则( )
A. B. C. D.a,b的大小无法判断
【热考点二】找中间量比较大小
【典例2-1】(2024·高三·江西·期中)已知,则a,b,c的大小顺序为( )
A. B. C. D.
【典例2-2】三个数,,的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
【变式2-1】已知,,,比较,,的大小为( )
A. B.
C. D.
【变式2-2】已知,,,则( )
A. B. C. D.
1.已知,,,则( )
A. B. C. D.
2.已知,则( )
A. B. C. D.
3.已知,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【热考点三】有变量问题
【典例3-1】[新考法]若,,,,,则( )
A. B.
C. D.
【典例3-2】(2024·高三·河北邢台·期中)已知,则的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【变式3-1】(多选题)已知正数满足,则( )
A. B.
C. D.
【变式3-2】(2024·陕西西安·统考一模)设且,则的大小关系是( )
A. B.
C. D.
1.(多选题)若,且,则下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.(多选题)若,则( )
A. B.
C. D.
【热考点四】构造函数法
【典例4-1】(2024·陕西咸阳·模拟预测)已知,则的大小为( )
A. B. C. D.
【典例4-2】(2024·全国·模拟预测)若,,,则,,的大小顺序为( )
A. B. C. D.
【变式4-1】[新考法]设函数,,在上的零点分别为,则的大小顺序为( )
A. B.
C. D.
【变式4-2】已知,,,试比较,,的大小( )
A. B. C. D.
1.已知,,,则( )
A. B. C. D.
2.若,,,则a、b、c满足的大小关系式是( ).
A. B. C. D.
3.设,则( )
A. B. C. D.
【热考点五】数形结合法
【典例5-1】函数,,的零点分别为,,,则,,,的大小顺序为( )
A. B. C. D.
【典例5-2】实数满足,,,则,,的大小为( )
A. B.
C. D.
【变式5-1】[新考法]已知函数.设,则( )
A. B.
C. D.
【变式5-2】已知,,,则( )
A. B. C. D.
1.若实数a,b,c满足,则下列不等关系中不可能成立的是( )
A. B. C. D.
2.已知是函数图象上两个不同的点,则下列4个式子中正确的是( )
①;②;③;④.
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
【热考点六】不等式放缩
【典例6-1】(2024·高三·四川德阳·开学考试)已知,,,比较a,b,c的大小为( )
A. B.
C. D.
【典例6-2】(2024·河南·模拟预测)已知,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
【变式6-1】(2024·浙江杭州·一模)对,不等式恒成立,则( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【变式6-2】已知,,,则( )
A. B. C. D.
1.已知,,则( )
A. B. C. D.
2.已知,,,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
3.设,,,则下列大小关系正确的是 ( )
A. B. C. D.专题03 指对幂等函数值大小比较(新高考专用)
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 4
【热考考点】 8
【热考点一】用单调性比较大小 8
【热考点二】找中间量比较大小 10
【热考点三】有变量问题 13
【热考点四】构造函数法 16
【热考点五】数形结合法 21
【热考点六】不等式放缩 25
(1)利用函数与方程的思想,构造函数,结合导数研究其单调性或极值,从而确定a,b,c的大小.
(2)指、对、幂大小比较的常用方法:
①底数相同,指数不同时,如和,利用指数函数的单调性;
②指数相同,底数不同,如和利用幂函数单调性比较大小;
③底数相同,真数不同,如和利用指数函数单调性比较大小;
④底数、指数、真数都不同,寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量,借助中间量进行大小关系的判定.
(3)转化为两函数图象交点的横坐标
(4)特殊值法
(5)估算法
(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
(7)常见函数的麦克劳林展开式:
①
②
③
④
⑤
⑥
一、单选题
1.(2024·北京·高考真题)已知,是函数的图象上两个不同的点,则( )
A. B.
C. D.
2.(2024·天津·高考真题)设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.(2023·全国甲卷·高考真题)已知函数.记,则( )
A. B. C. D.
4.(2023·天津·高考真题)设,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
5.(2022·天津·高考真题)设,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.(2022·全国甲卷·高考真题)已知,则( )
A. B. C. D.
7.(2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)设,则( )
A. B. C. D.
二、多选题
8.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,则( ).
A. B.
C. D.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A D D A C ACD
1.B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB;举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设,因为函数是增函数,所以,即,
对于选项AB:可得,即,
根据函数是增函数,所以,故B正确,A错误;
对于选项D:例如,则,
可得,即,故D错误;
对于选项C:例如,则,
可得,即,故C错误,
故选:B.
2.D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增,且,
所以,
所以,即,
因为在上递增,且,
所以,即,
所以,
故选:D
3.A
【分析】利用作差法比较自变量的大小,再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令,则开口向下,对称轴为,
因为,而,
所以,即
由二次函数性质知,
因为,而,
即,所以,
综上,,
又为增函数,故,即.
故选:A.
4.D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增,则,
由在上递增,则.
所以.
故选:D
5.D
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为,故.
故选:D.
6.A
【分析】法一:根据指对互化以及对数函数的单调性即可知,再利用基本不等式,换底公式可得,,然后由指数函数的单调性即可解出.
【详解】[方法一]:(指对数函数性质)
由可得,而,所以,即,所以.
又,所以,即,
所以.综上,.
[方法二]:【最优解】(构造函数)
由,可得.
根据的形式构造函数 ,则,
令,解得 ,由 知 .
在 上单调递增,所以 ,即 ,
又因为 ,所以 .
故选:A.
【点评】法一:通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较,方法直接常用,属于通性通法;
法二:利用的形式构造函数,根据函数的单调性得出大小关系,简单明了,是该题的最优解.
7.C
【分析】构造函数, 导数判断其单调性,由此确定的大小.
【详解】方法一:构造法
设,因为,
当时,,当时,
所以函数在单调递减,在上单调递增,
所以,所以,故,即,
所以,所以,故,所以,
故,
设,则,
令,,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
又,
所以当时,,
所以当时,,函数单调递增,
所以,即,所以
故选:C.
方法二:比较法
解: , , ,
① ,
令
则 ,
故 在 上单调递减,
可得 ,即 ,所以 ;
② ,
令
则 ,
令 ,所以 ,
所以 在 上单调递增,可得 ,即 ,
所以 在 上单调递增,可得 ,即 ,所以
故
8.ACD
【分析】根据题意可知,结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知:,
对于选项A:可得,
因为,则,即,
所以且,可得,故A正确;
对于选项B:可得,
因为,则,即,
所以且,可得,
当且仅当时,等号成立,故B错误;
对于选项C:因为,即,
可得,即,故C正确;
对于选项D:由选项A可知:,
且,则,
即,可得,且,所以,故D正确;
故选:ACD.
【热考点一】用单调性比较大小
【典例1-1】设,则的大小顺序为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数在上单调递增,可得, .
因函数在R上单调递增,则.故,
即.
故选:A
【典例1-2】(2024·高三·黑龙江鸡西·期中)已知函数,,的零点分别为,则的大小顺序为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数解析式可知三个函数在定义域上均为单调递增函数.
∵,,故,
∵,,故,
,故,
∴.
故选:B.
利用指对幂函数的单调性判断
【变式1-1】已知,比较a,b,c的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增,
所以,
又,所以,又因为函数在上单调递减,
所以,因为,
所以,综上,.
故选:C.
【变式1-2】已知,(为自然对数的底数),比较,,的大小( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由三角函数线可得:不等式,
则,
又函数为增函数,为减函数,
则,
所以,
综上所述:,
故选D.
1.(2024·江西新余·一模)故,,,则a,b,c的大小顺序是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,
所以,
故选:D
2.已知实数a,b满足,则( )
A. B. C. D.a,b的大小无法判断
【答案】A
【解析】函数在上单调递增,且,则由,得,
又,所以.
故选:A
【热考点二】找中间量比较大小
【典例2-1】(2024·高三·江西·期中)已知,则a,b,c的大小顺序为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,,,则.
故选:A
【典例2-2】三个数,,的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】,,,
所以最大,
因为,所以,
因为,所以,则,所以,
即.
故选:B
寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量,借助中间量进行大小关系的判定.
【变式2-1】已知,,,比较,,的大小为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】易知,
.
故选:B
【变式2-2】已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,,,,
所以,所以.
故选:A.
1.已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,而,
则,又,
所以.
故选:D
2.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得:,,,
因为,且在定义域内单调递增,
可得,所以.
故选:D.
3.已知,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于,,
所以.
故选:B
【热考点三】有变量问题
【典例3-1】[新考法]若,,,,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】方法一:因为,所以函数在上单调递增.
因为,所以,即.
同理,由函数在上单调递增,得,即.
因为,所以.
因为,所以在上单调递减,
所以,所以,即,
所以.
方法二:
由,令,,
则,,,.
因为,所以.
故选:B.
【典例3-2】(2024·高三·河北邢台·期中)已知,则的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为,所以在上均单调递增,
所以,即,
对于,构造函数,
易知时,,即此时函数单调递增,则,
所以,
因为在上单调递增,所以,
综上.
故选:A
对变量取特殊值代入或者构造函数
【变式3-1】(多选题)已知正数满足,则( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A中,因为,可得,又因为,所以,
可得,解得,所以A不正确;
对于B中,由,则,则,
当且仅当,即时,等号成立,因为所以,所以B正确,
对于C中,由函数,可得,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以,则,即,
当且仅当时,等号成立,
因为时,因为,可得,
所以,即,所以C正确;
对于D中,由,所以,可得,所以D正确.
故选:BCD.
【变式3-2】(2024·陕西西安·统考一模)设且,则的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由,可得,
则
因为,所以,则,
因为,所以.
故选:A.
1.(多选题)若,且,则下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】因为,所以,则,
又由于,所以,,,则,故B正确;
因为,所以,故C正确;
当,,时,可,故A错误;
当,,时,,故D错误.
故选:BC.
2.(多选题)若,则( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】A选项中,因为,故在R上单调递减,故,
因为在上单调递增,故,综上,,A正确;
B选项中,由于,而已知,所以B不正确;
C选项中,,
设,则,
设,
则,
所以在上递增,这样,故C正确;
D选项中,取,,则,,
又,故,所以D错误.
故选:AC.
【热考点四】构造函数法
【典例4-1】(2024·陕西咸阳·模拟预测)已知,则的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,,
设,
则,
所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
所以,,
又因为,
所以.
故选:D.
【典例4-2】(2024·全国·模拟预测)若,,,则,,的大小顺序为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】构造函数,则,,,
由,令得,令得,
则在上单调递增,在上单调递减.
因为,所以,所以;
因为,所以,所以;
令,且,则,
令,,
则,
所以在上单调递增,
又,所以,所以,
因为,且,所以,所以.
故选:B
构造函数比大小是高考数学的重点题型,它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。
“形”的构造:不等式两边的结构相似时,我们可以构建一个函数,通过分析这个函数的单调性,进而根据“若函数单调递增,则;若函数单调递减,”判断.
“数”的构造:观察到待比较式子间数与数的关系后,我们可据此构造函数.
【变式4-1】[新考法]设函数,,在上的零点分别为,则的大小顺序为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为,,所以在上单调递增,
又因为,所以存在使得,
所以,
因为,,令,解得,
当时,,则在上单调递减,
当时,,则在上单调递增,
又因为,
又,,所以,所以在上单调递增,
又,,所以存在使得,所以最大,
因为,所以,
,,
又,
.
故选:B.
【变式4-2】已知,,,试比较,,的大小( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设
则当时单调递减,
故
故进而,
设
由于函数和均为定义域内的单调递增函数,
所以为上的单调递增函数,
因此,
故,
故,
因此,
故选:B
1.已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在内单调递增,
则,即,
又因为在内单调递增,
则,,可得;
令,则,,
构建,
则,
可知在上递减,则,即;
综上所述:.
故选:C.
2.若,,,则a、b、c满足的大小关系式是( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】显然,即,而,
设,求导得在上单调递增,
则,即当时,,因此;
设,求导得,
令,,
则函数,即在上单调递增,,
即函数在上单调递增,于是,则当时,,
从而,而,即有,
所以.
故选:A
3.设,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以;
因为函数单调递增,,所以,即,则,所以;
构造函数,则,
令,则,
显然在上单调递增,所以,
故在上单调递增,所以,所以在上单调递增,
从而,故有,整理得,
所以,故.
故选:B
【热考点五】数形结合法
【典例5-1】函数,,的零点分别为,,,则,,,的大小顺序为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令,即,
令,即,
令,即,分别作出,,和的图象,
如图所示:
由图象可知:,所以.
故选:.
【典例5-2】实数满足,,,则,,的大小为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设,则,令,,
∴在上单调递增,在上单调递减,
由条件可知,
且,,,故有,
如下图所示,作出函数简图,可知,由,
故选:D
转化为两函数图象交点的横坐标
【变式5-1】[新考法]已知函数.设,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意,函数的定义域为,
令,
则,
所以为奇函数,且在单调递增,如图所示,
因为,
所以不妨设,
设点,
则的直线方程为,
如图,因为,
所以两式相加得,
又因为,
所以,
所以,
即.
故选:C.
【变式5-2】已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设,画出的图象,
故为下凸函数,
当时,
所以,.
设,画出图象,
故为上凸函数,当时,
所以,
同一坐标系内画出和的图象,
又在R上单调递减,故,所以.
设,则,在上单调递减,
所以时,
所以,,
所以,同理可得,,
相加得,,
所以.
故选:A
1.若实数a,b,c满足,则下列不等关系中不可能成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得,易知,
设直线l:,作出,,直线l图象,
如图:当时,,,
当时,,,
所以不可能成立,
故选:
2.已知是函数图象上两个不同的点,则下列4个式子中正确的是( )
①;②;③;④.
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
【答案】B
【解析】如图所示,设,的中点为,
点在函数的图象上,且轴,则,
由图知点在的左侧,即,故①错误,②正确;
则,即,
即,故③正确,④错误.
故选:B.
【热考点六】不等式放缩
【典例6-1】(2024·高三·四川德阳·开学考试)已知,,,比较a,b,c的大小为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】,
因为,
所以,即,
所以,且,
所以,
又因为,
所以,
综上,,
故选:D.
【典例6-2】(2024·河南·模拟预测)已知,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由可构造函数,
则,令,解得,
因此可得当时,,即在上单调递增,
当时,,即在上单调递减,
可知在处取得极小值,也是最小值,所以,
即,故,即
当时,有,所以,可得;
令,
则,
故在上单调递增,
可得,即,
取,则,所以,可得;
综上可得,.
故选:A
放缩法比较指对幂大小,关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值,转化为更易比较的形式,如利用指数、对数的性质进行放缩,或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性,以确保比较结果的准确性。
【变式6-1】(2024·浙江杭州·一模)对,不等式恒成立,则( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】D
【解析】由得,
对于选项A、B,若,可令,不等式可化为,
当时,,
要使恒成立,则需,即恒成立,
∴,
当时,,
要使恒成立,则需,即恒成立,
∴,
∴,
当时,,
要使恒成立,则需,即恒成立,
∴,
综上可得,不存在使得不等式恒成立,选项A、B错误.
对于选项C、D,若,
∵
∴,
∴,
要使不等式恒成立,则需,
∵函数在为增函数,
∴函数有相同的零点,
由得,由得,,
∴,即,
∴,
∴,选项D正确.
故选D.
【变式6-2】已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】构造,,
则对恒成立,则在单调递增,
此时,当且仅当时取等,
所以,则;
构造,,
则对恒成立,则在单调递减,
此时,当且仅当时取等,
所以,则;
构造,,
则对恒成立,则在单调递减,
此时,当且仅当时取等,
所以,则;
则,;
下面比较b和c的大小:
设,,,
设,,,
易知在上单调递增,则,
所以在上单调递减,,
即在上恒成立,则在上单调递减,
由,则,即,则,
综上所述,
故选:D.
1.已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,,
,
,等号取不到,
,
,
,
,
令,
∵,∴单调递减,且,
,可得
于是 ,
,
故选:A.
2.已知,,,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因,
故,即;
又,
故,即.
故有即.
故选:A.
3.设,,,则下列大小关系正确的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设,则,
所以在上单调递增,
所以,即,
令,则,
所以在上单调递增,
从而,即,,
所以,,
从而当时,,
,
所以.
故选:B.