专题01 集合和常用逻辑用语（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 3
【热考考点】 11
【热考点一】集合的概念 11
【热考点二】集合间的基本关系 15
【热考点三】集合的运算 19
【热考点四】充分条件与必要条件 22
【热考点五】全称量词与存在量词 27
【热考点六】新定义题型 31
1、集合中的逻辑关系（备注：全集为）
（1）交集的运算性质．
，，，，，．
（2）并集的运算性质．
，，，，，．
（3）补集的运算性质．
，，，，．
补充性质：．
（4）结合律与分配律．
结合律：．
分配律：．
（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的补补的并”，“并的补补的交”．
2、由个元素组成的集合的子集个数
的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
3、容斥原理
．
4、从集合与集合之间的关系上看
设．
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件．
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
4．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
14．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
15．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C C B C C C B
题号 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 B C B B A D B B
1．C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．D
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
3．B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
4．C
【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，
则可能的取值为，即，
于是.
故选：C
5．C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定，则，且，
可知，即，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
可知任意两点间距离最大值，
阴影部分面积.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
6．B
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
7．C
【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
8．C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
9．C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
10．B
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：B
11．B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
12．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以 ．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以 ．
故选：C．
13．B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
14．B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
15．A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
16．D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
17．B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
18．B
【分析】求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为
故选：B
【热考点一】集合的基本概念
【典例1-1】（2024·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，则，
由，得，此时，符合题意；
或，此时，符合题意；或，则，此时，符合题意，
所以m可能取值的集合为.
故选：B
【典例1-2】[新考法]（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，因为，，则，，故A 错误；
对于B，因为，，则，
所以，故B错误；
对于C，，，所以，故C错误；
对于D，有无数个元素.故D正确.
故选：D.
集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。
【变式1-1】（2024·高三·江西赣州·期中）已知、，若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．或
【答案】C
【解析】由 且，则，
∴，于是，解得或,
根据集合中元素的互异性可知应舍去，
因此，,
故．
故选：C.
【变式1-2】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由题意知，，，
当，时，，
当，时，，
所以，
所以集合中的元素个数为4.
故选：C.
【变式1-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无穷多个
【答案】C
【解析】由，可得，
所以集合的元素个数为个.
故选：C
1．[新考法]集合,则以下可以是的表达式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于选项A，因为，所以，，，，不满足集合的互异性，所以选项A错误，
对于选项B，因为，所以，不满足集合的互异性，所以选项B错误，
对于选项C，因为，所以，，，，所以选项C正确，
对于选项D，因为，所以，，，，后面再求导，导数均为，不满足集合的互异性，所以选项D错误，
故选：C.
2．已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
【答案】D
【解析】因为集合的元素之和为1，
所以一元二次方程有等根时，可得，即，
当方程有两不相等实根时，，即，
综上，实数a 所有取值的集合为.
故选：D
3．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由题意，，
当，
当，
当，
当，
当，
当，
由集合中元素满足互异性，所以.
故选：B
4．已知集合，若，则（ ）
A．或3 B．0 C．3 D．
【答案】C
【解析】，
，解得或，
当时，，
不满足集合中元素的互异性，舍去.
当时，，
此时，满足题意.
综上，.
故选：C.
【热考点二】集合间的基本关系
【典例2-1】（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合，若，
则若，则满足题意；
若，且，则，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：
【典例2-2】（2024·宁夏·模拟预测）设集合
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，A错；，B错；
，D错，C正确．
故选：C．
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
【变式2-1】（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，故.
故选：A.
【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则集合A的真子集有（ ）个.
A．7 B．15 C．31 D．63
【答案】C
【解析】由题意可知：集合，共5个元素，
所以集合A的真子集有个.
故选：C.
【变式2-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，
若集合且，则的子集的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【解析】由条件可知，，，，，，，
所以集合，集合的子集的个数为个.
故选：C
【变式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知集合为全集的子集，，则（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，，，
则，易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误；
因，即，故D错误；
对于B项，任取，因，则，故B错误．
故选：A．
2．（多选题）已知，则的值可以为（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
【答案】AC
【解析】当时，由得，满足，所以；
当时，由得，满足，所以；
当时，由得，不满足；
综上，则或256.
故选：AC.
3．（多选题）已知集合，，集合满足，则（ ）
A．， B．集合可以为
C．集合的个数为7 D．集合的个数为8
【答案】AC
【解析】由题意得，，又.
所以，，故A正确；
当时，不满足，B错误，
集合的个数等价于集合的非空子集的个数，
所以集合的个数为，故C正确，D错误，
故选：AC.
4．（多选题）若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】根据Venn图可知，
对于A，显然，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，，或 ，
则，故D正确.
故选：ACD
【热考点三】集合的运算
【典例2-1】（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合，若，
则若，则满足题意；
若，且，则，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：
【典例2-2】（2024·宁夏·模拟预测）设集合
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，A错；，B错；
，D错，C正确．
故选：C．
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
【变式2-1】（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，故.
故选：A.
【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则集合A的真子集有（ ）个.
A．7 B．15 C．31 D．63
【答案】C
【解析】由题意可知：集合，共5个元素，
所以集合A的真子集有个.
故选：C.
【变式2-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，
若集合且，则的子集的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【解析】由条件可知，，，，，，，
所以集合，集合的子集的个数为个.
故选：C
【变式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知集合为全集的子集，，则（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，，，
则，易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误；
因，即，故D错误；
对于B项，任取，因，则，故B错误．
故选：A．
2．（多选题）已知，则的值可以为（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
【答案】AC
【解析】当时，由得，满足，所以；
当时，由得，满足，所以；
当时，由得，不满足；
综上，则或256.
故选：AC.
3．（多选题）已知集合，，集合满足，则（ ）
A．， B．集合可以为
C．集合的个数为7 D．集合的个数为8
【答案】AC
【解析】由题意得，，又.
所以，，故A正确；
当时，不满足，B错误，
集合的个数等价于集合的非空子集的个数，
所以集合的个数为，故C正确，D错误，
故选：AC.
4．（多选题）若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】根据Venn图可知，
对于A，显然，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，，或 ，
则，故D正确.
故选：ACD
【热考点四】充分条件与必要条件
【典例4-1】（2024·高三·福建宁德·期中）对任意实数,“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对于函数，根据均值不等式（当且仅当时取等号），
则.
当即时取等号，但是，所以
判断充分性:
若，因为时，那么，所以充分性成立.
判断必要性:
若，当时，显然，所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
【典例4-2】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，
是的必要不充分条件，
，
故选：B．
抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.
【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据极值点的定义，是函数的一个极值点可得，
但是时，不一定是函数的一个极值点，
比如，，满足，但在R上单调递增，
即不是函数的极值点，
故“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件，
故选：B
【变式4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，故是的充要条件；
对于B，由得，能推出，反之不成立，
所以是的充分不必要条件；
对于C，由无法得到之间的大小关系，反之也是，
所以是的既不充分也不必要条件；
对于D，由不能推出，反之则成立，所以是的必要不充分条件．
故选：B．
【变式4-3】（多选题）（2024·山东临沂·二模）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，当时，满足，但不满足，
所以是的不充分条件，是的不必要条件，故A错误；
对于B，当时，满足，但不满足，
所以是的不充分条件；
当时，，
所以，所以，
所以是的充分条件，是的必要条件，故B正确；
对于C，当时，满足，但不满足，
所以是的不充分条件；
当时，，所以，
所以是的充分条件，是的必要条件，故C正确；
对于D，当时，满足时，但即不满足，
所以是的不充分条件，是的不必要条件，故D错误；
故选：BC.
【变式4-4】已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 .
【答案】
【解析】依题意，，，显然，
由“”是“”的充分不必要条件，得，
当时，，符合题意，当时，方程的根为和，
显然，否则，不符合题意，因此，解得，此时，符合题意，
所以实数的所有取值组成的集合是.
故答案为：
1．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由，
因为不等式成立的一个充分不必要条件是，
所以有，等号不同时成立，，
当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意，
所以，实数的取值范围为.
故答案为：.
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，满足，但推不出，即“”不是“”的充分条件；
当时，或，总有成立，即“”是“”的必要条件，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：A
3．（多选题）若，则“”成立的充分不必要条件可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由解得，，即，
对A，因为推不出，能推出，
所以是的必要不充分条件，A错误；
对B，因为能推出，不能推出，
所以是的充分不必要条件，B正确；
对C，因为能推出，不能推出，
所以是的充分不必要条件，C正确；
对D，因为不能推出，不能推出，
所以是的既不充分也不必要条件，D错误；
故选:BC.
4．已知集合，集合其中是的充分不必要条件，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为是的充分不必要条件，
所以，
因为不等式的解集为，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【热考点五】全称量词与存在量词
【典例5-1】（2024·湖北·一模）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为“”的否定是“”.
故选：C
【典例5-2】[新考法]（2024·吉林长春·模拟预测）已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】定义域为的函数是偶函数，
所以不是偶函数．
故选：D．
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当的真假不易判断时，可转化为去判断的真假.
【变式5-1】已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命题为假命题，
在上无解，
即与，函数图象没有交点，
由图可知：或，
命题为真命题，则，解得，
综上所述：实数a的取值范围为.
故选：C
【变式5-2】命题“”为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，“”为真命题，即在上恒成立，
令，，则在上恒成立，
即在上恒为增函数，则，故.
故选：A.
【变式5-3】（2024·高三·江苏连云港·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据题意可得“”是真命题，
当，即时，命题成立；
当时，得，解得，
综上，符合题意的实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式5-4】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知命题；命题，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】C
【解析】对于命题，因为，所以，所以命题为真命题，为假命题；
对于命题，当时，，，不成立，
所以命题为假命题，为真命题.
故选：C.
1．已知命题“，”是假命题，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得“，”是真命题，故，
因为，所以m的取值范围是．
故答案为：
2．若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可知，题“”为真命题，
当时，由可得，不符合题意，
当时，根据题意知不等式恒成立则，
解之可得.
故答案为：
3．若命题“”为真命题，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若命题“”为真命题，
则，解得，
所以a的取值范围是.
故选：A.
4．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此命题“，”的否定是，.
故选：A
【热考点六】新定义题型
【典例6-1】（2024·广东·模拟预测）对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】设，，
则 ，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是.
故选：B
【典例6-2】（2024·高三上海模拟）已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，即，即，
所以，或，（舍），
故解得，此时在单位圆上的5等分点，
取到的，，，，，不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
故选：C
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.
【变式6-1】（2024·高三·四川·开学考试）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（ ）
A．3 B．4 C．14 D．16
【答案】B
【解析】依题意，，
的2划分为，共3个，
的3划分为，共1个，
故集合的所有划分的个数为4.
故选：B.
【变式6-2】（2024·高三·北京海淀·开学考试）设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且 中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有个元素 B．一个“好子集”中最多有个元素
C．一个“好子集”中最多有个元素 D．一个“好子集”中最多有个元素
【答案】A
【解析】则 三者为1或0，
若 三者均为0，则此时A中只有1个元素，即，
不合要求，舍去，
若 三者中有1个0，则，有3个元素，满足要求，
若 三者中有2个0，或没有0，则此时不满足，
综上，一个“好子集”中最多有个元素.
故选：A
【变式6-3】（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）
A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集
C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集
【答案】C
【解析】集合中，，则，
即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集；
集合，，
，
即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集.
故选：C
1．称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记为集合包含的好整点的个数．若，则正整数的最小值是（ ）
A．1976 B．1977 C． D．
【答案】B
【解析】一方面：由题意，，使得不等式恒成立，
注意到
，
等号成立当且仅当，即，
所以正整数应该满足，
另一方面：当时，
我们证明：成立，
证明过程如下：
注意到，
所以，
，记，则，，
，
即成立，
综合以上两方面，可知正整数的最小值是1977.
故选：B.
2．（多选题）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则是3阶聚合点集
B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集
C．若，则不是阶聚合点集
D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件
【答案】ACD
【解析】对于A，由可得，故是3阶聚合点集，即A正确；
对于B，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故B错误；
对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确；
对于D，因是阶聚合点集等价于，
因，可得，又因，依题意可得，反之也成立，
故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即D正确.
故选：ACD.
3．（多选题）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．存在，使得
【答案】AB
【解析】A选项，且，则，
故，且中元素不能出现在中，故，A正确；
B选项，且，则，
即与是相同的，所以，B正确；
C选项，因为，所以，故，C错误；
D选项，，
其中，，
故，
而，
故，D错误.
故选：AB
4．（多选题）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对所有的a、，有；
②、b、，有；
③，使得，有，e称为单位元；
④，，使，称a与b互为逆元．
则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．关于数的乘法构成群
B．自然数集N关于数的加法构成群
C．实数集R关于数的乘法构成群
D．关于数的加法构成群
【答案】AD
【解析】对于A选项，对所有的、，有，且满足①乘法结合律；
②，使得，有；
③，，有，故A正确；
对于B选项，①自然数满足加法结合律；
②，使得，有；
但是对于，，不存在，使，故B错误；
对于C选项，对所有的、，有，
①实数满足加法结合律； ②，使得，有；
但对于，，不存在，使，故C错误；
对于D选项，对所有的、，可设，，，，，，
则，
①满足加法结合律，即、、，有；
②，使得，有；
③，设，，，，使，故D正确．
故选：AD．专题01 集合和常用逻辑用语（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 3
【热考考点】 5
【热考点一】集合的概念 5
【热考点二】集合间的基本关系 6
【热考点三】集合的运算 7
【热考点四】充分条件与必要条件 9
【热考点五】全称量词与存在量词 10
【热考点六】新定义题型 11
1、集合中的逻辑关系（备注：全集为）
（1）交集的运算性质．
，，，，，．
（2）并集的运算性质．
，，，，，．
（3）补集的运算性质．
，，，，．
补充性质：．
（4）结合律与分配律．
结合律：．
分配律：．
（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的补补的并”，“并的补补的交”．
2、由个元素组成的集合的子集个数
的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
3、容斥原理
．
4、从集合与集合之间的关系上看
设．
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件．
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
4．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
14．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
15．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【热考点一】集合的基本概念
【典例1-1】（2024·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】[新考法]（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·高三·江西赣州·期中）已知、，若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．或
【变式1-2】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无穷多个
1．[新考法]集合,则以下可以是的表达式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
3．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知集合，若，则（ ）
A．或3 B．0 C．3 D．
【热考点二】集合间的基本关系
【典例2-1】（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·宁夏·模拟预测）设集合
，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则集合A的真子集有（ ）个.
A．7 B．15 C．31 D．63
【变式2-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，
若集合且，则的子集的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【变式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知集合为全集的子集，，则（ ）.
A． B．
C． D．
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）已知，则的值可以为（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
3．（多选题）已知集合，，集合满足，则（ ）
A．， B．集合可以为
C．集合的个数为7 D．集合的个数为8
4．（多选题）若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【热考点三】集合的运算
【典例2-1】（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·宁夏·模拟预测）设集合
，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则集合A的真子集有（ ）个.
A．7 B．15 C．31 D．63
【变式2-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，
若集合且，则的子集的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【变式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知集合为全集的子集，，则（ ）.
A． B．
C． D．
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）已知，则的值可以为（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
3．（多选题）已知集合，，集合满足，则（ ）
A．， B．集合可以为
C．集合的个数为7 D．集合的个数为8
4．（多选题）若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【热考点四】充分条件与必要条件
【典例4-1】（2024·高三·福建宁德·期中）对任意实数,“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例4-2】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（多选题）（2024·山东临沂·二模）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 .
1．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ．
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（多选题）若，则“”成立的充分不必要条件可以为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合，集合其中是的充分不必要条件，则的取值范围是 ．
【热考点五】全称量词与存在量词
【典例5-1】（2024·湖北·一模）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】[新考法]（2024·吉林长春·模拟预测）已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】命题“”为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·高三·江苏连云港·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
【变式5-4】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知命题；命题，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
1．已知命题“，”是假命题，则的取值范围是 ．
2．若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
3．若命题“”为真命题，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【热考点六】新定义题型
【典例6-1】（2024·广东·模拟预测）对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【典例6-2】（2024·高三上海模拟）已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-1】（2024·高三·四川·开学考试）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（ ）
A．3 B．4 C．14 D．16
【变式6-2】（2024·高三·北京海淀·开学考试）设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且 中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有个元素 B．一个“好子集”中最多有个元素
C．一个“好子集”中最多有个元素 D．一个“好子集”中最多有个元素
【变式6-3】（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）
A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集
C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集
1．称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记为集合包含的好整点的个数．若，则正整数的最小值是（ ）
A．1976 B．1977 C． D．
2．（多选题）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则是3阶聚合点集
B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集
C．若，则不是阶聚合点集
D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件
3．（多选题）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．存在，使得
4．（多选题）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对所有的a、，有；
②、b、，有；
③，使得，有，e称为单位元；
④，，使，称a与b互为逆元．
则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．关于数的乘法构成群
B．自然数集N关于数的加法构成群
C．实数集R关于数的乘法构成群
D．关于数的加法构成群
