专题04 函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特性（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 4
【热考考点】 14
【热考点一】函数的单调性 14
【热考点二】函数的奇偶性 16
【热考点三】奇函数变形 18
【热考点四】对称轴问题 19
【热考点五】对称中心问题 21
【热考点六】奇偶性平移问题 23
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
3.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
4.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I，都有f(x)≤M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
1.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
9．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题
11．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ．
12．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C D D A D AD
1．B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，，
，则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，
因为，且不恒为0，
则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
2．C
【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.
3．D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
4．B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
5．C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
6．D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
7．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
8．A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
9．D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
10．AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
11．2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
12． ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
【热考点一】函数的单调性
1．（2024·陕西宝鸡·二模）“求方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式化简为：，即
令，则，则在上单调递增，
则不等式转化为，所以方程解集为.
故选：D．
2．已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有.则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，①
，②
①②得：，
，
又对于任意，都有，即对于任意，，
令，则在上单调递增，
当时，在上单调递增，满足题意；
当时，是二次函数，其对称轴方程为，
在上单调递增，所以或，
解得或，
综上，，
即的取值范围为,．
故选：B
3．（2024·四川德阳·一模）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对任意，都有，
令，则在R上单调递增，
其中，
当时，，解得，
且，解得或，
故，
当时，，
因为，所以，
故在上单调递增，满足要求，
综上，实数的取值范围是.
故选：A
【热考点二】函数的奇偶性
4．（2024·江西南昌·模拟预测）函数的图象经过点，则关于的不等式解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数的图象经过点，得，则，
函数在上单调递减，在上单调递减，则在R上单调递减，
又，即函数是奇函数，
不等式，则，
即，解得，所以原不等式的解集为.
故选：B
5．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，在上单调递增，且，
由，得，或，
时，，或，
又，即，或，
故，解得，
时，，或，
又，即，
故，解得，或，
则不等式的解集为：，
故选：D.
6．（2024·江西新余·模拟预测）函数为偶函数，则的值为：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
由函数为偶函数，则 ，
即，解得：.
故选：D.
【热考点三】奇函数变形
7．设函数，且，则 ．
【答案】
【解析】由于，
于是函数是一个单调递增的奇函数，
而．
故答案为：
8．已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则 .
【答案】15
【解析】
令，其定义域为，，即为奇函数，即函数在区间上满足，所以，即
故答案为：
9．已知函数，，则 .
【答案】9
【解析】令，定义域为，
且，
所以为奇函数，
所以，即，
故.
故答案为：9.
【热考点四】轴对称问题
10．已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以函数的图象关于直线对称，
设五个零点分别为，且，
则，
所以,所以，
则，由，可得，则.
故选：C.
11．（2024·河南·模拟预测）已知是定义在R上的函数，，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a
【答案】C
【解析】由，判断的图象关于直线对称，把a、b、c转化为在 x > 1的函数值利用单调性比较大小.因为，所以函数的图象关于直线对称，又，，，所以，，.因为，，所以，又当时，为减函数，所以，即.
故选：C.
12．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先设函数判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数的对称性和单调性，再将，，以及转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小.令，所以是偶函数；
当时，，在上是增函数，
将图像向右平移一个单位得到图像，
所以关于直线对称，且在单调递增.
∵，，，
∴，
∴，
又∵关于直线对称，∴，
∴.
故选：A
【热考点五】对称中心问题
13．已知函数的对称中心为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
其对称中心为
，，
，
，
故选：C
14．已知函数，则
（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
【答案】C
【解析】先判断出关于成中心对称，由此求得所求表达式的值.，
令，，
则为奇函数，所以关于坐标原点对称，则关于成中心对称，则有，
所以
.
故选：C
15．已知定义在上的函数满足 ，若函数与函数的图象的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先判断两个函数的对称性，再判断交点的对称性，最后利用对称性求和.，关于点对称，
，可知函数关于点对称，
与的交点也关于点对称，
.
故选：C
16．（2024·河南·模拟预测）已知定义域为R的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，又，
所以①，而②，
联立①②，解得：，，则．
故选：C
【热考点六】奇偶性平移问题
17．（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由为奇函数，得，
故①，函数的图象关于点对称；
由为偶函数，得②，
则函数的图象关于直线对称；
由①②得，
则，
故的周期为，所以，
由，令得，即③，
已知，
由函数的图象关于直线对称，得，
又函数的图象关于点对称，得
所以，即，
所以④，联立③④解得
故时，，
由关于对称，可得.
故选：A.
18．若定义在上的函数满足为偶函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为偶函数,所以,
又因为,所以,
即,即得,,
故,所以的周期为.
的图像关于对称,且的图像关于对称;
函数值不可知,故选项错误
因为,令得,因为的周期为.
所以,即,故选项错误; 故选项正确;
故选: .
19．（2024·高三·四川成都·开学考试）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．为奇函数
C．在上为减函数 D．的一个周期为8
【答案】C
【解析】由题设，，则关于对称，
所以，即，
则，即，
由，则关于对称，
所以，即，
综上，，则，
故，即易知的周期为8，D正确；
，A正确；
由，而为奇函数，故为奇函数，B正确；
由时递增，则时递增，显然C错误.
故选：C
20．（多选题）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上单调递减
【答案】BCD
【解析】若是奇函数，即它的图象关于原点对称，
把的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得的图象，
因此的图象关于点对称，所以，，
是偶函数，即它的图象关于轴对称，的图象向右平移一个单位得的图象，
因此的图象关于直线对称，从而，，B正确；
所以，即，
，所以，A错；
，C正确；
在上递减，它关于直线对称，则在上递增，
又它的图象关于点对称，则在上递增，
再由它关于直线对称得它在上递减，D正确，
故选：BCD．
【热考点七】抽象函数性质
21．（多选题）（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（ ）
A． B．为奇函数
C．6是的一个周期 D．
【答案】ACD
【解析】该函数满足且，
对于A，令，可得，解得，故A正确；
对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误；
对于C，令，，
可得，令，可得，
将两式相加得：，所以，
所以，所以，
因此，6是的一个周期，故C正确；
对于D，令，，，所以，
所以，
因为，，
因为，令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
由于6是的一个周期，
所以，
所以，故D正确；
故选：ACD
22．（多选题）（2024·高三·安徽·期中）已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．
【答案】ABD
【解析】定义在上的函数满足：对，，
对于A，令，则，，A正确；
对于C，令，则，
于是，
则，因此不是偶函数，C错误；
对于B，由函数为偶函数，得，即，
于是，即，，
因此函数的周期为，，B正确；
对于D，由，得，
因此，D正确.
故选：ABD
23．（多选题）（2024·高三·山西太原·期中）已知定义域为的函数满足对于任意x，，都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．
【答案】AC
【解析】对于A，令，可得，
由，则，解得，
令，可得，故A正确；
对于B，由题意可知在函数的图象上，而点关于的对称点为，
易知不在函数的图象上，故B错误；
对于C，设点在函数的图象上，点关于直线的对称点为，
当点在函数的图象上时，函数的图象一定关于直线对称，
此时由，可得，
令，可得，则，故C正确；
对于D，令，可得，则，
当时，令，可得，
则，所以；
当时，令，可得，
则，，
所以，
综上所述，，故D错误.
故选：AC.
24．（多选题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．是的一个周期
【答案】ABC
【解析】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确；
对于B,令可得，所以，
即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确；
对于C,令，则由可得，
即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确；
对于D,由于是偶函数，所以满足，即，
可得，也即，所以是的一个周期，即D错误.
故选：ABC
【热考点八】对称性与周期性
25．已知函数满足，，且，则的值为（ ）
A．96 B． C．102 D．
【答案】C
【解析】根据题意，函数满足，可得函数关于点成中心对称，
又由函数满足，即
所以函数关于对称，
所以函数既关于成轴对称，又关于点成中心对称，
所以，且函数的周期，
又因为，所以，
可得，
所以
.
故答案为：.
26．（2024·陕西安康·模拟预测）定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以关于点对称，所以；
又，所以，所以有，故关于直线对称，所以.
所以，，所以有，所以，
所以的周期为4.
当时，，所以，
所以时，.
当时，，所以.
作出函数在上的图象如下图
当时，由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，解得，所以.
根据图象可得时，的解集为.
又因为的周期为4，
所以在实数集上的解集为.
令，可得区间为；令，可得区间为，故A项错误；
令，可得区间为，故B项错误；
令，可得区间为；令，可得区间为，故C项错误；
令，可得区间为，故D项正确.
故选：D.
27．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．为奇函数
C．
D．
【答案】D
【解析】由是奇函数，知的图象关于点对称，
所以，，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
则，所以，所以为偶函数，则也为偶函数，故，项错误.
由，得，所以，故项错误.
因为，所以，所以函数的周期为.
由，得，所以.
因为，所以，
所以，
因为，所以，故正确.
故选：.
28．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由为奇函数，知的图象关于点对称，则，
由，得．
由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，
所以，，
综上，，
由上，，得，
所以，则4为的一个周期，
所以.
故选：C专题04 函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特性（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 4
【热考考点】 5
【热考点一】函数的单调性 5
【热考点二】函数的奇偶性 6
【热考点三】奇函数变形 6
【热考点四】对称轴问题 6
【热考点五】对称中心问题 7
【热考点六】奇偶性平移问题 8
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
3.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
4.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I，都有f(x)≤M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
1.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
9．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题
11．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ．
12．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
【热考点一】函数的单调性
1．（2024·陕西宝鸡·二模）“求方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有.则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川德阳·一模）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【热考点二】函数的奇偶性
4．（2024·江西南昌·模拟预测）函数的图象经过点，则关于的不等式解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·江西新余·模拟预测）函数为偶函数，则的值为：（ ）.
A． B． C． D．
【热考点三】奇函数变形
7．设函数，且，则 ．
8．已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则 .
【热考点四】轴对称问题
10．已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·河南·模拟预测）已知是定义在R上的函数，，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a
12．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【热考点五】对称中心问题
13．已知函数的对称中心为，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，则
（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
15．已知定义在上的函数满足 ，若函数与函数的图象的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·河南·模拟预测）已知定义域为R的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（ ）
A．0 B． C． D．
【热考点六】奇偶性平移问题
17．（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
18．若定义在上的函数满足为偶函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·高三·四川成都·开学考试）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．为奇函数
C．在上为减函数 D．的一个周期为8
20．（多选题）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上单调递减
【热考点七】抽象函数性质
21．（多选题）（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（ ）
A． B．为奇函数
C．6是的一个周期 D．
22．（多选题）（2024·高三·安徽·期中）已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．
23．（多选题）（2024·高三·山西太原·期中）已知定义域为的函数满足对于任意x，，都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．
24．（多选题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．是的一个周期
【热考点八】对称性与周期性
25．已知函数满足，，且，则的值为（ ）
A．96 B． C．102 D．
26．（2024·陕西安康·模拟预测）定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（ ）
A． B． C． D．
27．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．为奇函数
C．
D．
28．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
