专题09 三角函数的图象与性质（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 3
【热考考点】 6
【热考点一】齐次化模型 6
【热考点二】辅助角与最值 7
【热考点三】三角函数的最值 7
【热考点四】三角函数中绝对值 8
【热考点五】三角函数综合问题 9
【热考点六】换元配凑角 10
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
15．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
三、填空题
16．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ．
17．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
18．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
19．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
20．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
【热考点一】齐次化模型
【典例1-1】（2024·高三·江西宜春·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【典例1-2】（2024·高三·河北沧州·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·陕西安康·三模）已知，则（ ）
A．6 B． C． D．2
【变式1-2】若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
1．设，若，则（ ）
A． B． C． D．
【热考点二】辅助角与最值
【典例2-1】若函数在处取得最大值，则 .
【典例2-2】（2024·高三·江西萍乡·期中）设，且，则实数的取值范围是 ．
【变式2-1】（2024·高三·山东临沂·期中）已知关于x的方程有解，则的最小值为 .
【变式2-2】已知，求的最大值 .
1．[新考法]（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ．
【热考点三】三角函数的最值问题
【典例3-1】已知函数，则的最小值是 ．
【典例3-2】函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知，则的最大值为
【变式3-2】在中，的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
1．已知函数（），则函数的最大值为 .
2．函数的值域是 ．
【热考点四】三角函数中绝对值
【典例4-1】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最小值为
C． D．在上有解
【典例4-2】（2024·高三·上海宝山·开学考试）已知，给出下述四个结论:
①是偶函数; ②在上为减函数;
③在上为增函数; ④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
【变式4-1】关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③函数的最大值为M，最小值为m，则；
④若，则函数在上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【变式4-2】关于函数，其中有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间上是严格增函数；
③在有3个零点； ④的最小正周期为．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
1．（多选题）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期 B．是的一条对称轴
C．的值域为 D．在上单调递减
【热考点五】三角函数综合问题
【典例5-1】（多选题）已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数在上单调递减
C．的图象关于点中心对称
D．的最大值为
【典例5-2】（多选题）已知函数，若，且，则函数的最小正周期可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（多选题）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（ ）
A．函数为偶函数
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【变式5-2】（多选题）已知函数（，）图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在上单调递增
D．当时，曲线与直线的所有交点的横坐标之和为
1．[新考法]（多选题）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的最大值为
C．在上单调递增
D．方程在上最多有4个解
2．[新考法]（多选题）设函数的最小正零点为，则（ ）
A．的图象过定点 B．的最小正周期为
C．是等比数列 D．的前项和为
【热考点六】换元配凑角
【典例6-1】[新考法]若，则 .
【典例6-2】已知，且，则 .
【变式6-1】已知，则 .
【变式6-2】设，若，则的值为 ．
1．已知，，则 .专题09 三角函数的图象与性质（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 3
【热考考点】 16
【热考点一】齐次化模型 16
【热考点二】辅助角与最值 18
【热考点三】三角函数的最值 21
【热考点四】三角函数中绝对值 27
【热考点五】三角函数综合问题 32
【热考点六】换元配凑角 37
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
15．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
三、填空题
16．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ．
17．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
18．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
19．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
20．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C B C B D B A
题号 11 12 13 14 15
答案 A C C BC AD
1．D
【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以，
即，当时，，
所以当，即时，
故选：D
2．B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，，
，则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，
因为，且不恒为0，
则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
3．D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
4．C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
5．B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
6．C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，
考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
7．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
8．D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
9．B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
10．A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
11．A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
12．C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
13．C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
14．BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
15．AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
16．2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
17．
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
18．/
【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值.
【详解】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
19．
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
20．
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
【热考点一】齐次化模型
【典例1-1】（2024·高三·江西宜春·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意若，则，不符合题意，
所以，
即，解得，
故选：D
【典例1-2】（2024·高三·河北沧州·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故.
故选：D
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
或者（二次隐型齐次化）
这种类型题，分子分母同除以（一次显型）或者（二次隐型），构造成的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
【变式1-1】（2024·陕西安康·三模）已知，则（ ）
A．6 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
故选：C.
【变式1-2】若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以 ，
，
故选：A
1．设，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法一：因为，，
所以，即，
又，，
所以，
解法二：因为
，
故选：D．
【热考点二】辅助角与最值
【典例2-1】若函数在处取得最大值，则 .
【答案】
【解析】因为，
设，，
则，，
当，时，
即当，函数取最大值，最大值为，
所以，
所以.
故答案为：.
【典例2-2】（2024·高三·江西萍乡·期中）设，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，
令，则，且，
所以，
因为是上的减函数，所以，
即．
故答案为：
第一类：一次辅助角:=．（其中）
第二类：二次辅助角
【变式2-1】（2024·高三·山东临沂·期中）已知关于x的方程有解，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由，其中，
则，可得，即，
两边平方化简可得，因此，
由，则，当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
【变式2-2】已知，求的最大值 .
【答案】
【解析】∵，且，
∴，即，
所以，
设，
由.
故的最大值为.
故答案为：
1．[新考法]（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ．
【答案】
【解析】因为角、均为锐角，所以的范围均为，
所以，
所以
因为，
所以，
，
当且仅当时取等，
令，，，
所以.
则的范围是：.
故答案为：
【热考点三】三角函数的最值问题
【典例3-1】已知函数，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减．
则．
故答案为：.
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为，
所以
．
当且仅当，即时，取等号．
根据可知，是奇函数，于是，此时．
故答案为：.
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，
，
当且仅当，即时，．
根据可知，是奇函数，于是．
故答案为：.
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当时等号成立．
故答案为：.
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设，则可化为，
当时，；当时，，对分母求导后易知，
当时，有最小值．
故答案为：.
［方法六］： 配方法
，
当且仅当即时，取最小值．
故答案为：.
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为，所以，
即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．
当时，，
当时， 因为
，令，解得或，由，，，所以的最小值为．
故答案为：.
【典例3-2】函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，
整理得，
令，易知，
所以知在时是单调递减函数，
因为，
整理得，
解得，代入中有的最大值为，
即的最大值为.
故选：D.
三角函数最值问题，一直是高考中的难点与重点。这类题目常融合三角恒等变换，结合函数、导数与不等式，求解不易。通常，处理三角函数最值问题，可采用以下策略：化一简化法、变量替换法（换元）、主元突出法、图形与数值结合法，以及导数求极值法。
【变式3-1】已知，则的最大值为
【答案】
【解析】，设，，
，其中，
可知当时，.
故答案为：
【变式3-2】在中，的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】根据题意，令所求代数式为M，则
，
等号当，且，即时取得．
因此所求代数式的最大值为2．
故选：C
1．已知函数（），则函数的最大值为 .
【答案】
【解析】因为
因为，，
所以，
即
根据基本不等式取等条件得，
当时取最大值，即,
即，解得，
所以，
即的最大值为．
故答案为：.
2．函数的值域是 ．
【答案】
【解析】令，则，
，
不妨设，
则，
由，得，
由，得，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，
且，，，
，即，
，
故答案为：
【热考点四】三角函数中绝对值
【典例4-1】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最小值为
C． D．在上有解
【答案】D
【解析】，
是以为周期的函数，
当时，，
则，
，
∴函数的最小正周期为，函数的最小值为1，故AB错误，
由，故C错误；
由，∴在上有解，故D正确.
故选：D.
【典例4-2】（2024·高三·上海宝山·开学考试）已知，给出下述四个结论:
①是偶函数; ②在上为减函数;
③在上为增函数; ④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
【答案】D
【解析】对于①，易得的定义域为，关于原点对称，
因为，所以是偶函数，故正确；
对于②和③，因为，
，
且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错误；
对于④，当时，，
因为，所以，
所以，所以；
当时，，
因为，
所以，所以；
当时，；
当时，，
因为，
所以，所以，
所以，综上所述，当时，的最大值为，由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故④正确；
故选：D
关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【变式4-1】关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③函数的最大值为M，最小值为m，则；
④若，则函数在上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】A
【解析】由，可知为偶函数，①对.
由，得关于对称；
由，得的周期为；当时，
其中且；作出在上的图象，并根据的对称性及周期性作出的大致图象.
由图可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，②错；
的最大值，最小值，故，③错；
若，则在上有4个零点，④对，
故选：A.
【变式4-2】关于函数，其中有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间上是严格增函数；
③在有3个零点； ④的最小正周期为．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】A
【解析】的定义域为，
，所以是偶函数，①正确.
当时，是严格增函数，②正确.
当时，，
所以在有无数个零点，则③错误.
，
所以不是的最小正周期，④错误.
综上所述，正确的为①②.
故选：A
1．（多选题）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期 B．是的一条对称轴
C．的值域为 D．在上单调递减
【答案】BCD
【解析】，图像如图所示：
由图像可得，函数的最小正周期为，故选项A错误，不符合题意；
是的一条对称轴，故选项B正确，符合题意；
的值域为，故选项C正确，符合题意；
在上单调递减，选项D正确，符合题意；
故选：BCD.
【热考点五】三角函数综合问题
【典例5-1】（多选题）已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数在上单调递减
C．的图象关于点中心对称
D．的最大值为
【答案】AB
【解析】因为，所以，根据图象可知，当时，，所以单调递增，故，从而．
又，所以，由得，
故，．
选项A：的最小正周期为，故，A正确．
选项B：令，解得，
故函数在上单调递减，B正确．
选项C：由于，，
故的图象不关于点中心对称，故C错误．
选项D：，
其中为锐角，且，（辅助角公式的应用）,所以的最大值为，D错误．
故选：AB
【典例5-2】（多选题）已知函数，若，且，则函数的最小正周期可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】的解析式经过辅助角公式变换可转化为正弦型，因为，
所以当时函数取得最小值，即直线是函数图象的一条对称轴，
又，所以，根据图象的对称性得到，
即，所以，
所以．
所以，解得，
则的最小正周期，，
当时，；当时，．验证得AD不符合题意，
故选：BC．
三角函数的综合性质解题，关键在于掌握其基本关系、图像变换及周期性。解题时，先识别函数类型，利用诱导公式化简，再结合图像分析性质，如单调性、最值等。最后，灵活运用三角函数公式求解，注意计算准确性。
【变式5-1】（多选题）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（ ）
A．函数为偶函数
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】由题意的最小正周期为，
得：，
对于恒成立，则，
图象关于直线对称，代入，得到，
由于，取，则，
所以为偶函数，
当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到的图象.
因为当时，，
所以得到的函数图象关于点对称，故D正确.
故选：ACD.
【变式5-2】（多选题）已知函数（，）图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在上单调递增
D．当时，曲线与直线的所有交点的横坐标之和为
【答案】AB
【解析】对于A，因图象的两条对称轴间距离的最小值为，则的最小正周期为，故A正确；
对于B，由A分析可得，，因为的一个零点，
则，因，取，则.
得，故B正确；
对于C，，因在上不单调，故C错误；
对于D，由AB分析可画出在上的图象如图所示，则与有4个交点，设其横坐标从左到右依次为，，，，
令，，得，，
所以函数的对称轴方程为，，
当时，，当时，，
数形结合可知，故D错误．
故选：AB．
1．[新考法]（多选题）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的最大值为
C．在上单调递增
D．方程在上最多有4个解
【答案】BD
【解析】当时，；
当时，，画出函数的大致图象，如图．
由图象可知，函数的图象不关于直线对称，故A错误；
的最大值为，故B正确；
在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
当时，方程在上有4个解，故D正确．
故选：BD．
2．[新考法]（多选题）设函数的最小正零点为，则（ ）
A．的图象过定点 B．的最小正周期为
C．是等比数列 D．的前项和为
【答案】AC
【解析】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，的最小正周期为，故B错误；
对于C，令，得，所以，
整理得，即的零点为，
而是的最小正零点，则，，
显然，，，
所以是，的等比数列，故C正确；
对于D，的前项和为，故D错误.
故选：AC.
【热考点六】换元配凑角
【典例6-1】[新考法]若，则 .
【答案】/0.5
【解析】由得：
，
所以
化简得到：
，
所以；
所以.
故答案为：.
【典例6-2】已知，且，则 .
【答案】
【解析】由于，，故.
而，故.
所以.
故答案为：
三角函数“凑角拆角”问题，常规配凑解法繁琐。采用换元法，可简化步骤，快速求解。
【变式6-1】已知，则 .
【答案】
【解析】所以.
故答案为：.
【变式6-2】设，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】，若，，
，
，，
．
故答案为：.
1．已知，，则 .
【答案】/
【解析】由可得，则，
因为，所以，
则
.
故答案为：
