专题10 正余弦定理在解三角形（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 3
【热考考点】 6
【热考点一】倍长定比分析模型 6
【热考点二】倍长定理与正弦平方差 6
【热考点三】角平分线模型与张角定理 7
【热考点四】隐圆问题 8
【热考点五】正切比值与和差问题 9
【热考点六】四边形定值和最值 9
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C ＝＝＝2R
常见变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A
b a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin A>sin B cos A一、解答题
1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
4．（2024·广东江苏·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
5．（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
6．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
7．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
10．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
11．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
13．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
14．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共1页
【热考点一】倍长定比分析模型
【典例1-1】设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，．
(1)求AD的长度；
(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
【典例1-2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，
(1)求角B的大小；
(2)若，D为边AB上一点，且，求的值．
【变式1-1】在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角的对边分别为，且满足____．
(1)求；
(2)若的面积为在边上，且 ， ，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
1．在中，角所对的边分别为，且是的中点，，则 ， .
【热考点二】倍角定理与正弦平方差
【典例2-1】从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．
在锐角中，角所对的边分别为，且________．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【典例2-2】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的取值范围．
【变式2-1】在中，AB＝4，AC＝3．
(1)若，求的面积；
(2)若A＝2B，求BC的长．
【变式2-2】在锐角中，角，，所对的边为，，，且．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
1．在锐角中，角所对的边为，且.
(1)证明:
(2)若，求的取值范围.
【热考点三】角平分线模型与张角定理
【典例3-1】在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小：
(2)若，，，求的值；
(3)设是边上一点，为角平分线且，求的值.
【典例3-2】已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求角B；
(2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值．
【变式3-1】（2024·河北沧州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长．
【变式3-2】 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求C；
(2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为，求OC．
【热考点四】隐圆问题
【典例4-1】（2024·四川眉山·三模）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【变式4-1】已知中，，为的重心，且满足，则的面积的最大值为______.
【变式4-2】已知等边的边长为2，点G是内的一点，且，点P在所在的平面内且满足，则的最大值为________.
1．在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____．
【热考点五】正切比值与和差问题
【典例5-1】在△ABC中，且，则△ABC面积的最大值为 ．
【典例5-2】已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的最小值为 .
【变式5-1】（2024·浙江·模拟预测）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是 ．
【变式5-2】在中，角所对的边分别为，若，且，则 ．
1．在锐角中，分别为角所对的边，，且的面积．
(1)若，求；
(2)求的最大值．
【热考点六】四边形定值和最值
【典例6-1】克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．16 C． D．12
【变式6-1】如图．在平面四边形中，．设，证明：为定值．
【变式6-2】如图，平面四边形的对角线分别为，，其中，，．
(1)若，的面积为，求的面积；
(2)若，，求的值．
1．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A． B． C． D．专题10 正余弦定理在解三角形（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 3
【热考考点】 19
【热考点一】倍长定比分析模型 19
【热考点二】倍长定理与正弦平方差 22
【热考点三】角平分线模型与张角定理 28
【热考点四】隐圆问题 33
【热考点五】正切比值与和差问题 37
【热考点六】四边形定值和最值 41
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C ＝＝＝2R
常见变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin A>sin B cos A一、解答题
1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
4．（2024·广东江苏·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
5．（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
6．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
7．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
10．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
11．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
13．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
14．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
参考答案
1．(1)；
(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；
【详解】（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到；
（3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
【详解】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
4．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
6．(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
7．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
．
8．(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
9．(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
10．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
11．(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
12．(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
13．(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
14．(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共1页
【热考点一】倍长定比分析模型
【典例1-1】设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，．
(1)求AD的长度；
(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
【解析】（1）依据题意，由可得
，则，，
，，解得，
，解得AD为
（2）G为的重心，，，
，，，， ，
【典例1-2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，
(1)求角B的大小；
(2)若，D为边AB上一点，且，求的值．
【解析】（1），
，
所以，即，
故，
因为，所以；
（2）因为，所以，
，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，故，所以或，
当时，，，
当时，，.
所以的值为或1.
如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接，易知∥，且，．．
【变式1-1】在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角的对边分别为，且满足____．
(1)求；
(2)若的面积为在边上，且 ， ，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【解析】（1）方案一：选条件①.
由，可得 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故 ，
又 ，于是 ，即 ，
因为 ，所以
方案二：选条件②．
，由正弦定理得 ，
即 ， ，
由余弦定理得
又 ，所以
（2）由题意知 ，得．①
，即 ②
联立①②解得
而 ，
由余弦定理得
，故
即的值为
1．在中，角所对的边分别为，且是的中点，，则 ， .
【答案】 /
【解析】空1：
在中，则，即，
整理得：，解得或（舍去），
故，
在中，则，
故；
空2：
在中，由，则，
在中，由，则，
故.
故答案为：；.
【热考点二】倍角定理与正弦平方差
【典例2-1】从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．
在锐角中，角所对的边分别为，且________．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）选择①：由及余弦定理可得
；
即，
又，
所以，
即，可得．
又易知，可得，
所以或，
即或（舍），
故．
选择②：由及，得，
则由正弦定理得，
又，
，
即，
所以．
又，可得，
所以，
故．
选择③：由可得，
即，所以．
又，可得，
所以，
故．
（2）令，
由（1）可知，可得．
由锐角可得，
即，解得，
所以．
令，
根据对勾函数的性质知在上单调递增，
可得，
即的取值范围是．
【典例2-2】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的取值范围．
【解析】（1）证明：∵，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
∴A，B，C∈（0，π），∴即．
（2）∵，且a＝2，∴
∵A＝2C，∴，
∵为锐角三角形，所以,
∴，∴，
由a＝2，，所以，则，
且，
设,，
设，则，
∴，，
所以,为减函数，
∴．
，这样的三角形称为“倍角三角形”．
推论1：
推论2：
正弦平方差：
【变式2-1】在中，AB＝4，AC＝3．
(1)若，求的面积；
(2)若A＝2B，求BC的长．
【解析】（1）在中，设角A、B、C所对的边分别为a，b，c．
由余弦定理得，
即，得或（舍），
由，，得，
所以的面积．
（2）在中，由正弦定理得，
所以．
在中，再由余弦定理得，
所以，解得．
【变式2-2】在锐角中，角，，所对的边为，，，且．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
【解析】（1）∵，
由正弦定理，得，
即，
∴，
∴或（舍），即，
∴，
∴．
（2）由锐角△ABC，可得，，．
即， ∴．
∵．
令，，
因为在上单调递增，
所以当，
当，
∴．
1．在锐角中，角所对的边为，且.
(1)证明:
(2)若，求的取值范围.
【解析】（1）∵，
由正弦定理，得，
即，
∴，
∴或（舍），即，
（2）由锐角△ABC，可得，，．
即， ∴．
由正弦定理可得：，
所以.
所以的取值范围为：.
【热考点三】角平分线模型与张角定理
【典例3-1】在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小：
(2)若，，，求的值；
(3)设是边上一点，为角平分线且，求的值.
【解析】（1）由题意及正弦定理可得：，
可得，即，
在中，，所以，
因为，所以；
（2）因为，，，
由余弦定理得，
所以，即，
所以，，由正弦定理可得：，
可得，
因为，则，则，
可得，
且，
所以
；
（3）因为，是角平分线，即，
因为，
所以，由正弦定理可知，
所以，所以，
整理可得，
又因为，且，
即，解得.
【典例3-2】已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求角B；
(2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值．
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理可得，即，
又因为，则，
因为，所以.
（2）因为
所以，
因为，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当时，取得最小值.
角平分线张角定理：如图，为平分线，（参考一轮复习）
斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积一下积．
【变式3-1】（2024·河北沧州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长．
【解析】（1）在中，由余弦定理及，
得，即，由正弦定理，得，
即，
由，得，则，
因此，即，则，
所以．
（2）由，得，由，得．
在，中，由正弦定理，得，
则，解得，从而，又，
由余弦定理，得，解得，
所以BD的长为.
【变式3-2】 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分线.
（i）证明：；
（ii）若，求的最大值.
【解析】（1）因为中，，
故
，
因为，故；
（2）（i）证明：中，由正弦定理得①，
又②，
同理在中，③，
④，
BD是的角平分线，则，
则，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，
则
，
即；
（ii）因为，故，
则由⑤得，则，
由以及（i）知，
即，则，
当且仅当，结合，即时等号成立，
故，即的最大值为.
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求C；
(2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为，求OC．
【解析】（1）由及，
有，
又由正弦定理，有，
有，有，有，
又由，可得；
（2）由，有，
可得，
在△OAB中，由△OAB的面积为，有，
可得，
又由余弦定理及AB＝7，有，
有，
代入，有AO＋BO＝8，
联立解得或
由对称性不妨设
在△OAB中，有，可得，
又由OA为角A的角平分线，有，
在△OAC中，由正弦定理有，有，
可得．
【热考点四】隐圆问题
【典例4-1】（2024·四川眉山·三模）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，设的外接圆半径为，
则，
以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
则、，
设点，由，可得，
化简可得，
所以，的边上的高的最大值为，因此，.
故选：A.
【典例4-2】在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【答案】A
【解析】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则,因为，，所以由平面几何知识得A点轨迹为圆弧（因为为平面四边形，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E,则由正弦定理可得圆半径为，
因此对角线的最大值为
故选：A
若三角形中出现，且为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上．
【变式4-1】已知中，，为的重心，且满足，则的面积的最大值为______.
【答案】/
【解析】以的中点为原点建立平面直角坐标系，，，
设，则，
当时要使，则在坐标原点，显然不成立，
当时要使，则，解得，显然不成立，
所以且，因为
所以，即
整理得，(且)
所以当点的纵坐标为时，的面积取得最大值为.
故答案为：
【变式4-2】已知等边的边长为2，点G是内的一点，且，点P在所在的平面内且满足，则的最大值为________.
【答案】
【解析】由，可知点G为的重心，以AB所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，表示出的坐标，设，由可知在以为圆心，为半径的圆上，根据点与圆上的点的距离最值求出的最大值.由，可知点G为的重心.
以AB所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，.
设，由可知P为圆上的动点，
所以的最大值为.
故答案为：
1．在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____．
【答案】
【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.
则，，
设，则，，
因为
所以，即：
整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为2的圆上.
在轴上取，连接
可得，所以，所以
由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.
此时最小为.
故答案为．
【热考点五】正切比值与和差问题
【典例5-1】在△ABC中，且，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】6
【解析】因为，故，
又，所以，
，故，所以，
故同号，因 ，故．
设边上的高为，则，
由基本不等式有，当且仅当时等号成立，所以即面积的最大值为，当且仅当时取最大值，
综上，填．
【典例5-2】已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的最小值为 .
【答案】 2 /
【解析】∵，
∴，
∴，.
又，
∴
∴
又∵在锐角ΔABC中，
∴，
当且仅当时取等号，检验可取，
∴，
故答案为：2，
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式）中，．
【变式5-1】（2024·浙江·模拟预测）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】由余弦定理，得，则由，得，所以，
由正弦定理，得，所以，
所以，，．
因为，
所以，
则．
令，而
则，
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：
【变式5-2】在中，角所对的边分别为，若，且，则 ．
【答案】
【解析】中，，，
，
由正弦定理有，，
由，得，
有，即，
，得，
由，可得，
即，代入，
得，∴，
由余弦定理，
，得，
故答案为：
1．在锐角中，分别为角所对的边，，且的面积．
(1)若，求；
(2)求的最大值．
【解析】（1），解得：；
，，，
由余弦定理得：，解得：.
（2），即，
由正弦定理得：，
，
，
；
，，，
则当时，取得最小值，的最大值为.
【热考点六】四边形定值和最值
【典例6-1】克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
在中，由余弦定理得，
由题知，，即，
所以，当且仅当四点共圆时取等号，
所以的最大值为.
故选：D
【典例6-2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．16 C． D．12
【答案】C
【解析】设，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因为，，
因此，
.
故选：C.
正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．
托勒密定理：在四边形中，有，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立．
【变式6-1】如图．在平面四边形中，．设，证明：为定值．
【解析】证明：设，则．
在中，因为，，所以．
在中，由余弦定理，
即，
则，即，
故为定值．
【变式6-2】如图，平面四边形的对角线分别为，，其中，，．
(1)若，的面积为，求的面积；
(2)若，，求的值．
【解析】（1）由题意得，，，
在中，由余弦定理得，．
由余弦定理得，，
∵，
∴，
∴，
故，
∴．
（2）在中，由正弦定理得，，
∴．
在中，，，
由正弦定理得，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
解得．
1．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因为四边形ABCD内接于半径为的圆，
它的对角互补，所以，
所以,所以，
所以四边形ABCD的周长为．
故选：A．