专题12 数列不等式放缩（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 3
【热考考点】 9
【热考点一】先求和后放缩 9
【热考点二】裂项放缩 15
【热考点三】等比放缩 21
【热考点四】型不等式证明 26
常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二项式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，则；若，则．
1．（2023年天津高考数学真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
【解析】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
则数列的公比满足，
当时，，所以，
所以，即，
当时，，所以，
所以数列的通项公式为，
其前项和为：.
2．（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
3．（2021年天津高考数学试题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
4．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
5．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
【解析】（I）依题意，而，即，
由于，所以解得，所以.
所以，故 ，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依题意设，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
【热考点一】先求和后放缩
【典例1-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）已知的前n项和为，，且满足______，现有以下条件：
①；②；③
请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前n项和，并证明：．
【解析】（1）若选择条件①：因为，
当时，，
两式相减得，
所以当时，当n＝1时符合，
∴；
若选择条件②：因为，
当时，
两式相减得，，
∴是首项为2，公比为2的等比数列，
∴；
若选择条件③：∵，
∴时，，
两式相减得，
当n＝1时，，可得，，
∴时成立，
∴是首项为2，公比为2的等比数列，
∴；
（2）由（1）可知，
则，
所以，
因为，
所以各项均为正数，
所以，
又因为，
所以．
【典例1-2】已知数列满足：是公差为6的等差数列，是公差为9的等差数列，且.
(1)证明：是等差数列；
(2)设是方程的根，数列的前项和为，证明：.
【解析】（1）因为是公差为6的等差数列，则，
设，可得，，
又因为是公差为9的等差数列，
则，
可得，即，
且，解得，
即，，可得，
综上所述：，所以是等差数列.
（2）构建，则是函数的零点
因为，则在上单调递增，
且，可知有且仅有一个零点，
又因为，
可知数列是以首项，公比为的等比数列，
则，
又因为，可得，
所以.
先求和后放缩方法是一种处理数列不等式问题的有效策略。其核心思路在于，首先通过求和将数列的项合并，简化问题形式；接着，在求和的基础上进行适当的放缩，即利用不等式的性质对求和结果进行放大或缩小，从而更便于进行后续的比较和推导。
【变式1-1】已知数列满足.记.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)若，数列的前项和为，求证：.
【解析】（1）由，得，而，则，
又，因此，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）得，，则，
令数列的前项和为，则，
，
两式相减得，则，
所以.
（3）由（2）知，
，
而，所以.
【变式1-2】已知在数列中，，且当时，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【解析】（1）当时，，
又，可得，
当时，，则，即，
又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，故；
（2）由（1）知，
则，
则数列的前项和
，
又，则，
故.
1．设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．
(1)若，判断数列是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”，
①求的值；
②设为数列的前项和，证明：
【解析】（1）因为，
当时，，
当时，，
又，即也满足，
综上可得，
当时存在或使得（即或），
对于任意的正整数，总存在正整数，此时，
综上可得对于任意的正整数，总存在正整数，此时，
故是“数列”；
（2）①因为是等差数列，其首项，公差，设的前项和为，
故，，
对任意的正整数，总存在正整数，使得，
即，
当时，，此时只需，
当时，，解得，
又，故,又为正整数，故,此时；
当时，，
下面证明恒为正偶数，
当时，，满足要求，
假设当时，为正偶数，
则当时，，
由于和均为正偶数，故为正偶数，满足要求，
所以恒为正偶数，证毕，
所以.
②由①可得，所以，
所以
，
因为，
所以单调递减且，所以，
所以.
【热考点二】裂项放缩
【典例2-1】已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：；
(3)求使得成立的最大整数．
【解析】（1）因为，
所以当时，，
作差得，
两边同时除以得，
又，所以，得，
所以，故对，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，则．
设等比数列的公比为，
因为，所以由，或
又因以数列是递增数列，所以．
（2）因为，
所以
．
（3）由（1）知，即，令，则，
，
所以当时，，当时，，当时，，
即有，，
又，
故当时，，所以，，
又，
所以，当时，，故使得成立的最大整数为6．
【典例2-2】数列中，，，（）.
(1)试求、的值，使得数列为等比数列；
(2)设数列满足：，为数列的前n项和，证明：时，.
【解析】（1）若为等比数列，
则存在，使对成立.
由已知，代入上式，
整理得①
∵①式对成立，∴，解得，
∴当，时，数列是公比为2的等比数列；
（2）由（1）得：，，所以，
所以，因为，
所以，
，（1）
现证：（），
当时，
，∴，（2）
根据（1）（2）可知对于，都成立.
放缩方法是一种处理数列求和及不等式证明的技巧。其核心在于将数列的通项进行裂项，即将其拆分为两部分或多部分，以便更容易地观察其规律或进行放缩。
在裂项后，我们可以根据不等式的需要，对拆分后的项进行适当的放大或缩小。这种放缩通常基于数列的单调性、有界性或其他已知性质。
裂项放缩方法的关键在于准确裂项和合理放缩，它能够帮助我们简化问题，揭示数列的内在规律，从而更轻松地证明数列不等式。
【变式2-1】已知正项数列满足，，且对于任意，满足．
(1)求出数列的通项公式；
(2)设，证明：数列的前n项和；
(3)设，证明：．
【解析】（1）因为，，，
当时，，计算得，·
由，可得，
两相减可知，
整理可得，·
所以为定值，定值为，
所以
所以为等差数列，故．
（2）证明:由（1）得，所以，·
，
故
因为·，所以，所以，即
（3）证明：
，·
因为，·
所以
．·
另．
【变式2-2】已知数列的前项和为，，且．
(1)求；
(2)若从数列中删除中的项，余下的数组成数列．
①求数列的前项和；
②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）∵，∴当时，，
两式相减得，，整理得，即，
∴当时，，满足此式，
∴.
（2）①由（1）得，，∴，，
∴数列是首项为，公差为的等差数列.
当为奇数时，为偶数，为的整数倍，是数列中的项，
当为偶数时，为奇数，不是数列中的项，
∴数列中的项为数列的偶数项，且，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴，
∴，，
∴.
②由①得，，∴，
∵成等比数列，∴，即，
∴，∴，
∴.
1．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1）由，①
当时，，所以，
当时，，②
由①②得，
所以，
当时，上式也成立，
所以；
（2），·
因为，
所以，
当时，，
当时，
，
综上所述，.
【热考点三】等比放缩
【典例3-1】已知数列满足,（）.
(1)记（），证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设（），且数列的前项和为，求证：（）.
【解析】（1）
，
又，
所以，数列为以为首项，为公比的等比数列.
由等比数列的通项公式知.
（2）由（1）可知，又，.
设，则，
设，，
，，
故.
（3），
，
所以欲证，只需证，
即证.
设，
，故在上单调递减，，
时，.
，得证.
【典例3-2】已知数列和满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)证明：．
【解析】（1）由题意知，，
所以，
即，又，
所以是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）知，所以，
所以
．
（3）由（1）知，所以．
当为偶数时，．
所以．
当为奇数时，，
而，所以．
综上可知原命题成立．
等比放缩方法是一种处理数列不等式问题的有效技巧。其核心思想在于，通过观察数列的项与项之间的关系，发现其等比规律，并利用这一规律对数列的项进行适当的放大或缩小。
在具体应用时，我们可以根据数列的等比性质，选择一个合适的等比数列作为放缩的基准，然后对原数列的每一项都按照这个等比数列进行放缩。这种方法的关键在于准确把握等比数列的性质，以及合理确定放缩的倍数，从而确保放缩后的不等式仍然成立。
【变式3-1】数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列和的公共项组成的数列记为，求的通项公式；
(3)记数列的前项和为，证明：
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由可得，易知，所以，解得；
又可得，可得；
由可得，即；
因此可得，；
所以数列和的通项公式为.
（2）数列和的公共项需满足，
可得，即是4的整数倍，
可知，由二项式定理可知若是4的倍数，则为正数，即；
所以可得，
即的通项公式为
（3）易知，显然对于都成立，
所以对于都成立，
即
，
即可得.
【变式3-2】已知数列的前项和为，若，且满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1）依题意，·可知（），
当时，由，可知，
由，可得两式相减可知，，即（），
因此时，为公比为2的等比数列，故（），
所以.
（2）由（1）可知，，，当时，，也符合该形式，
因此（），
.
1．已知数列的前n项和为，且．
(1)求；
(2)若，记数列的前n项和为，求证：．
【解析】（1）当时，，解得；
当时，，，则，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即；
（2）由（1）知，
依题意，
因为，，则，即；
因为，
所以，
而，
故，即．
综上所述，．
【热考点四】型不等式证明
【典例4-1】已知函数．
(1)若，证明：；
(2)记数列的前项和为．
（i）若，证明：．
（ii）已知函数，若，，，证明：.
【解析】（1）设，当时，，
所以在上为增函数，故当时，，
所以当时，
设，当时，，
所以在上单调递增，故当时，，
所以当时，
故当时，
因为，当时，，
所以在上为增函数，
因为当时，，且由，
可得，所以，即，
所以
（2）（i）因为，
所以，
则，
所以，
即，
所以
（ii）函数，
因为当时，，
所以当时，，
所以当时，，
因此，
故，即
因为，
所以当时，，
综上，，所以，
所以，
即.
【典例4-2】数列的前项和为， 满足 且首项 .
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)令讨论（为的导数）与 的大小关系.
【解析】（1）由已知可得时，，
两式相减得，即，
∴，
当时，，∴，
∵，∴，∴，
故有，∴，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，故.
（2）∵，∴，
∴
，
∴，
①-②得， ，
∴，
∴，
当时，，∴.
当时，，∴.
当时， ，∵，
∴ ，∴ ，
综上，当时，；
当时，；
当时，.
通项分析法进行放缩
【变式4-1】已知函数在点处的切线与轴重合．
(1)求函数的单调区间与极值；
(2)已知正项数列满足，，，记数列的前项和为，求证：．
【解析】（1）因为，且，
由题意可得，即，可得，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以有极大值，无极小值．
（2）由（1）可得，当且仅当时取等号，
可得，当且仅当时取等号，
等价变形为，即，当且仅当时取等号，
代入题干中可得，
则，即，
当时，，即，
且符合上式，所以，，则，
由，令得，即，
所以.
【变式4-2】已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对任意，都有恒成立，求的最大整数值；
(3)对于任意的，证明：．
【解析】（1）当时，，
所以函数定义域为，，
令，则，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，又即，
所以即在上恒成立，当且仅当时，，
所以在上单调递增，即的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）因为对任意，都有恒成立，
所以对任意，恒成立，
即对任意，恒成立，
所以，
所以，
因为在上恒成立，所以在上单调递增，
又，
所以存在，使得即，
所以当时，即，当时，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，令，
则在上恒成立，所以函数在上单调递增，
又，
所以的最大整数值为3，即的最大整数值为2.
（3）证明：由（1）知在上单调递增，
则函数，所以，
故，
所以，
累加得，
所以.
1．柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：，等号成立条件为或至少有一方全为0．柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题．已知数列满足．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）因为，
所以为常数，
又，得到，
所以数列为首项为，公差为的等差数列，
由，得到.
（2）要证，
即证，
即证，
由柯西不等式知，
当且仅当时取等号，
即，
所以只需证明，
由（1）知，
所以只需证明，
即证明，
下面用数学归纳法证明，
（1）当时，不等式左边，不等式右边，所以时，不等式成立，
（2）假设时，不等式成立，即成立，
则时，，
令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，所以，
得到，取，得到，
整理得到，即，
所以，
即，不等式仍成立，
由（1）（2）知，对一切，，
所以.专题12 数列不等式放缩（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 3
【热考考点】 4
【热考点一】先求和后放缩 4
【热考点二】裂项放缩 5
【热考点三】等比放缩 7
【热考点四】型不等式证明 8
常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二项式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，则；若，则．
1．（2023年天津高考数学真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
2．（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
3．（2021年天津高考数学试题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
4．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
5．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
【热考点一】先求和后放缩
【典例1-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）已知的前n项和为，，且满足______，现有以下条件：
①；②；③
请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前n项和，并证明：．
【典例1-2】已知数列满足：是公差为6的等差数列，是公差为9的等差数列，且.
(1)证明：是等差数列；
(2)设是方程的根，数列的前项和为，证明：.
【变式1-1】已知数列满足.记.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)若，数列的前项和为，求证：.
【变式1-2】已知在数列中，，且当时，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
1．设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．
(1)若，判断数列是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”，
①求的值；
②设为数列的前项和，证明：
【热考点二】裂项放缩
【典例2-1】已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：；
(3)求使得成立的最大整数．
【典例2-2】数列中，，，（）.
(1)试求、的值，使得数列为等比数列；
(2)设数列满足：，为数列的前n项和，证明：时，.
【变式2-1】已知正项数列满足，，且对于任意，满足．
(1)求出数列的通项公式；
(2)设，证明：数列的前n项和；
(3)设，证明：．
【变式2-2】已知数列的前项和为，，且．
(1)求；
(2)若从数列中删除中的项，余下的数组成数列．
①求数列的前项和；
②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：．
1．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【热考点三】等比放缩
【典例3-1】已知数列满足,（）.
(1)记（），证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设（），且数列的前项和为，求证：（）.
【典例3-2】已知数列和满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)证明：．
【变式3-1】数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列和的公共项组成的数列记为，求的通项公式；
(3)记数列的前项和为，证明：
【变式3-2】已知数列的前项和为，若，且满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
1．已知数列的前n项和为，且．
(1)求；
(2)若，记数列的前n项和为，求证：．
【热考点四】型不等式证明
【典例4-1】已知函数．
(1)若，证明：；
(2)记数列的前项和为．
（i）若，证明：．
（ii）已知函数，若，，，证明：.
【典例4-2】数列的前项和为， 满足 且首项 .
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)令讨论（为的导数）与 的大小关系.
【变式4-1】已知函数在点处的切线与轴重合．
(1)求函数的单调区间与极值；
(2)已知正项数列满足，，，记数列的前项和为，求证：．
【变式4-2】已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对任意，都有恒成立，求的最大整数值；
(3)对于任意的，证明：．
1．柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：，等号成立条件为或至少有一方全为0．柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题．已知数列满足．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)证明：．
