专题11 数列的通项公式、数列求和与综合应用（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 5
【热考考点】 7
【热考点一】等差、等比数列基本量 7
【热考点二】证明等差、等比数列 8
【热考点三】等差、等比数列综合 9
【热考点四】数列的通项公式 10
【热考点五】数列求和 11
【热考点六】数列性质综合 13
1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明；
2、数列满足，则是等差数列；
3、数列满足，为非零常数，且，则为等比数列；
4、在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解．
5、遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：
（1）形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出；
（2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论．
8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
9、用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和；
（2）通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列中，若（，，，，），则．
在等比数列中，若（，，，，），则．
12、前项和与积的性质
（1）设等差数列的公差为，前项和为．
①，，，…也成等差数列，公差为．
②也是等差数列，且，公差为．
③若项数为偶数，则，．
若项数为奇数，则，．
（2）设等比数列的公比为，前项和为
①当时，，，，…也成等比数列，公比为
②相邻项积，，，…也成等比数列，公比为．
③若项数为偶数，则，；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列和均是等差数列，且等差数列的公差为，，为常数．
①的等距子数列也是等差数列，公差为．
②数列，也是等差数列，而是等比数列．
（2）设数列和均是等比数列，且等比数列的公比为，为常数．
①的等距子数列也是等比数列，公比为．
②数列，，，，，
也是等比数列，而是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小．
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
4．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
8．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
三、解答题
9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
10．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
11．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；
（ⅱ）求．
12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
13．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
14．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
15．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
16．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【热考点一】等差、等比数列基本量
【典例1-1】已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】记为数列的前项和，若，为等比数列，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【变式1-1】已知各项均为正数的等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．25 B．16 C．9 D．4
【变式1-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ）
A． B．2 C． D．3
1．已知正项等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【热考点二】证明等差、等比数列
【典例2-1】已知数列满足，公差不为0的等差数列满足成等比数列，
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求和的通项公式．
【典例2-2】已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【变式2-1】设数列满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【变式2-2】[新考法]（2024·山西吕梁·二模）已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为1的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为.
(1)求点的坐标；
(2)记，证明：数列为等比数列；
1．[新考法]在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，证明：数列为等比数列，且；
【热考点三】等差、等比数列综合
【典例3-1】已知数列满足，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
【典例3-2】（2024·湖北十堰·三模）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和．
【变式3-1】已知等差数列和等比数列满足，，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.
【变式3-2】已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为．
(1)若是等差数列，求k的值；
(2)若，，求；
(3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．
1．已知等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
【热考点四】数列的通项公式
【典例4-1】已知数列满足：，且，则数列的通项公式是
【典例4-2】在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 .
【变式4-1】求通项公式
(1)已知数列、、、、求通项公式；
(2)在数列中，，且点在直线上，求数列的通项公式；
(3)数列的首项为，且前项和满足，求数列的通项公式；
(4)数列满足，，求数列的通项公式；
【变式4-2】（1）已知数列满足（n为正整数），且．求数列的通项公式．
（2）记为数列的前n项和．已知，．求的通项公式．
（3）已知数列中，，．求数列的通项公式．
（4）设数列满足，对于n为正整数，都有．求数列的通项公式．
1．已知数列的前项和为，且.
证明：是等比数列，并求出的通项公式；
【热考点五】数列求和
【典例5-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知是等差数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式及；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【典例5-2】（2024·高三·天津滨海新·期末）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若，求数列的前项和．
【变式5-1】设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ，
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，求证：；
(3)若，求数列的前项和.
【变式5-2】（2024·山东潍坊·三模）在①数列为等差数列，且；②，；③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知数列的前项和为，且__________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
1．已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，.
(1)求和的通项公式；
(2)若，求
【热考点六】数列性质综合
【典例6-1】（多选题）（2024·高三·重庆·期末）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．满足的最小值是14
C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项
【典例6-2】（多选题）（2024·高三·甘肃白银·期末）已知数列满足：，则下列说法不正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．存在，使得
C．存在，使得 D．存在，使得
【变式6-1】（多选题）（2024·广东·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．
B．
C．当时，取得最小值
D．记，则数列的前项和为
【变式6-2】（多选题）（2024·四川眉山·一模）已知数列满足，，且，则（ ）
A． B．
C．当时， D．
1．（多选题）已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当或10时，取得最大值 B．
C．成立的n的最大值为20 D．专题11 数列的通项公式、数列求和与综合应用（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 5
【热考考点】 23
【热考点一】等差、等比数列基本量 23
【热考点二】证明等差、等比数列 25
【热考点三】等差、等比数列综合 30
【热考点四】数列的通项公式 35
【热考点五】数列求和 40
【热考点六】数列性质综合 47
1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明；
2、数列满足，则是等差数列；
3、数列满足，为非零常数，且，则为等比数列；
4、在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解．
5、遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：
（1）形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出；
（2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论．
8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
9、用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和；
（2）通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列中，若（，，，，），则．
在等比数列中，若（，，，，），则．
12、前项和与积的性质
（1）设等差数列的公差为，前项和为．
①，，，…也成等差数列，公差为．
②也是等差数列，且，公差为．
③若项数为偶数，则，．
若项数为奇数，则，．
（2）设等比数列的公比为，前项和为
①当时，，，，…也成等比数列，公比为
②相邻项积，，，…也成等比数列，公比为．
③若项数为偶数，则，；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列和均是等差数列，且等差数列的公差为，，为常数．
①的等距子数列也是等差数列，公差为．
②数列，也是等差数列，而是等比数列．
（2）设数列和均是等比数列，且等比数列的公比为，为常数．
①的等距子数列也是等比数列，公比为．
②数列，，，，，
也是等比数列，而是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小．
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
4．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
8．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
三、解答题
9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
10．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
11．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；
（ⅱ）求．
12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
13．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
14．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
15．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
16．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B C C B B
1．D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则.
故选：D
2．B
【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
3．C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
4．C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
5．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
6．B
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
7． 23 57.5/
【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.
【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则，
故，.
故答案为：.
8． 48 384
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
10．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
11．(1)
(2)①证明见详解；②
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解；
（2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
当时，则，即
可知，
，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，则；
若，则，
当时，，可知为等差数列，
可得，
所以，
且，符合上式，综上所述：.
【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列；
2.根据等差数列求和分析可得.
12．(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；
（2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明；
（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路三：利用点差法得到，，再结合（2）中的结论得，最后证明出即可.
【详解】（1）
由已知有，故的方程为.
当时，过且斜率为的直线为，与联立得到.
解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.
故，从而，.
（2）方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.
展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.
从而根据韦达定理，另一根，相应的.
所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.
所以.
这就得到，.
所以
.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
方法二：因为，，，则，
由于，作差得，
，利用合比性质知，
因此是公比为的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
而又有，，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明的取值是与无关的定值，所以.
方法二：由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
这就得到，
以及.
两式相减，即得.
移项得到.
故.
而，.
所以和平行，这就得到，即.
方法三：由于，作差得，
变形得①，
同理可得，
由（2）知是公比为的等比数列，令则②，
同时是公比为的等比数列，则③，
将②③代入①，
即，从而，即.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
15．(1)，；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，
取，当时，，取，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.
【详解】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
则数列的公比满足，
当时，，所以，
所以，即，
当时，，所以，
所以数列的通项公式为，
其前项和为：.
【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
【热考点一】等差、等比数列基本量
【典例1-1】已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
有，
可得
．
故选：A．
【典例1-2】记为数列的前项和，若，为等比数列，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】D
【解析】因为为等比数列，所以的首项为，第二项为，
第三项为，
故的公比为2，所以，
所以当时，，显然当时也符合，
故，所以.
故选：D.
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
【变式1-1】已知各项均为正数的等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．25 B．16 C．9 D．4
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由，得，
（也可由等差数列的性质得，得）
解得，又，所以，
解得或．
因为各项均为正数，所以，所以，，所以．
故选：D
【变式1-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】由可知，故，
故，故，
故选：B
1．已知正项等差数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为等差数列，所以，，
则，
所以，
从而，
故，
故选：C.
【热考点二】证明等差、等比数列
【典例2-1】已知数列满足，公差不为0的等差数列满足成等比数列，
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求和的通项公式．
【解析】（1）数列中，，
则，而，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为；
（2）由（1）知，，，
所以数列的通项公式为.
设等差数列的公差为，
由成等比数列，得，
即，则有，
又，即，于是，
所以数列的通项公式为；
【典例2-2】已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】解①③②.
已知是等差数列，.
设数列的公差为，则，得，
所以.
因为数列的各项均为正数，
所以，
所以（常数），所以数列是等差数列.
①②③.
已知是等差数列，是等差数列.
设数列的公差为，
则.
因为数列是等差数列，所以数列的通项公式是关于的一次函数，则，即，
所以.
②③①.
已知数列是等差数列，，所以.设数列的公差为，
则，得，所以，所以，
所以时，，对也适合，
所以，所以常数），所以数列是等差数列.
判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于的任意正整数：
①若为一常数，则为等差数列；
②若为常数，则为等比数列．
（2）通项公式法：
①若，则为等差数列；
（2）若，则为等比数列．
（3）中项公式法：
①若，则为等差数列；
②若，则为等比数列．
（4）前项和法：若的前项和满足：
①，则为等差数列．
②，则为等比数列．
【变式2-1】设数列满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【解析】（1）由，，得，
由，
得，
所以，
故数列是以为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）得，则，
则；；，
．
由累加法可得，
又，则，同时满足上式，
所以．
【变式2-2】[新考法]（2024·山西吕梁·二模）已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为1的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为.
(1)求点的坐标；
(2)记，证明：数列为等比数列；
【解析】（1）
由题知，所以双曲线，
又过点，斜率为1的直线方程为，
由双曲线与直线的对称性可知，所以，
又过，且斜率为1的直线方程为，即，
由，解得或，
当时，，
所以，所以；
综上：
（2）设，
则过，且斜率为1的直线方程为，
联立，消得到，
由题有，得到，
由题知点在直线上，
即有，
所以，所以，所以，
由（1）知，所以数列为1为首项，3的公比的等比数列；
1．[新考法]在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，证明：数列为等比数列，且；
【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，所以，
所以的通项公式为.
（2）由题意知，所以，所以数列为等比数列，
数列前项和，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以.
【热考点三】等差、等比数列综合
【典例3-1】已知数列满足，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
【解析】（1）证明：因，
则，
则是以为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1），，
则是以为首项，公差为1的等差数列，则；
（3）由（2），，
则，
则.
证明：假设数列中存在不同的三项能构成等差数列，
设这三项项数为.其中，
则，.
设，则，
得，
注意到，，
则.
这与矛盾，则数列中不存在不同的三项能构成等差数列.
【典例3-2】（2024·湖北十堰·三模）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和．
【解析】（1）因为①，
当时，②，
①②，得．
所以，当时，满足上式，
所以的通项公式为．
（2）由题，知，得，
则③，
④，
③④得 ，
所以．
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．
【变式3-1】已知等差数列和等比数列满足，，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，
所以，所以，
又，即，所以，所以.
（2）由（1）得，
即是数列中的第项.
设数列的前项和为，数列的前项和为，
因为，，
所以数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的，
所以.
【变式3-2】已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为．
(1)若是等差数列，求k的值；
(2)若，，求；
(3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意，数列是等差数列，可得，
即，即，故．
（2）由时，，即，
整理得，故．
当n是偶数时，；
当n是奇数时，，
．
综上，．
（3）若是等比数列，则公比，
由题意，故，，．
①若为等差中项，则，即，，解得（舍去）；
②若为等差中项，则，即，．
因为，解得，；
③若为等差中项，则，即，．
因为，解得，，
综上，存在实数k满足题意，．
1．已知等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意知：
当时，，①
当时，，②
联立①②，解得（舍去），
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知．
所以，
所以．
设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列．
则，
所以，即，
又因为成等差数列，
所以，
所以，
化简得，
所以，
又，所以，与已知矛盾，
所以在数列中不存在不同的3项成等比数列．
【热考点四】数列的通项公式
【典例4-1】已知数列满足：，且，则数列的通项公式是
【答案】
【解析】由，则，
即，又，则，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
即，
则有，，，，且，
故，即，显然均满足.
故答案为：.
【典例4-2】在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】令，
则，
由条件得，解得，
即，
故数列是首项为，公比为4的等比数列，
从而，故.
故答案为：.
常见求解数列通项公式的方法有如下六种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．
（2）累加法：形如的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒数法：形如的关系式
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式．
【变式4-1】求通项公式
(1)已知数列、、、、求通项公式；
(2)在数列中，，且点在直线上，求数列的通项公式；
(3)数列的首项为，且前项和满足，求数列的通项公式；
(4)数列满足，，求数列的通项公式；
【解析】（1）因为，，，，
由观察法可得.
（2）在数列中，，且点在直线上，
则，所以，，
所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，
所以，.
（3）数列的首项为，且前项和满足，
即，
由题意可知，对任意的，则，则当时，，
所以，，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，则，
故当时，，
且且满足，故对任意的，.
（4）因为数列满足，，则，可得，
当时，，，
上述两个等式作差可得，
所以，数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列，
当为奇数时，设，可得，
则；
当为偶数时，设，可得，
则.
故对任意的，.
【变式4-2】（1）已知数列满足（n为正整数），且．求数列的通项公式．
（2）记为数列的前n项和．已知，．求的通项公式．
（3）已知数列中，，．求数列的通项公式．
（4）设数列满足，对于n为正整数，都有．求数列的通项公式．
【解析】（1）因为，
所以，所以
．
又，所以当时也适合上式，所以；
（2）因为时，，
所以，两式相减得到
，化简整理得
，
所以，当时，，
又当，，
又，解得，
所以，当时，
．
又当时，，满足，
当时，，不满足．
综上所述，；
（3）因为，，故，
所以，整理得，
又，，，
所以为定值．故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，得；
（4）因为①，
所以②，
②①得．所以数列的奇数项
与偶数项分别是公差为2的等差数列，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
所以.
1．已知数列的前项和为，且.
证明：是等比数列，并求出的通项公式；
【解析】当时，，且，所以；
当时，由，得，则
，可得，
即，且，可得，
可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，可得，
且，可知是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即.
【热考点五】数列求和
【典例5-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知是等差数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式及；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）设数列{an}的公差为.
，
，
，
所以，
所以.
（2）若选①：，
；
若选②：，
.
若选③：，
.
【典例5-2】（2024·高三·天津滨海新·期末）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若，求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，，则由，
即，得 ，
解得 或，因为，故舍去，
所以，．
（2）由（1）得，，所以，
令数列的前项和为，则，
即①，
②，
两式相减得：
，
所以.
（3）设数列的前项和为
由，，得，
则，即；
故
.
求数列前项和的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前项和公式求数列的前项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项：；
②根式裂项：；
③对数式裂项；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
【变式5-1】设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ，
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，求证：；
(3)若，求数列的前项和.
【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，化简，得，
整理，得， 解得(舍去)，或，则，
，.
（2）由 (1) 可知，，
则，
，
.
（3）由 (1) 可得，
，
，
令，
两式相减，可得
，
，
令
,
.
【变式5-2】（2024·山东潍坊·三模）在①数列为等差数列，且；②，；③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知数列的前项和为，且__________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）若选①，因为为等差数列，令，则，所以公差，
所以等差数列的通项公式为；
若选②，当时，，因此，
即，所以为常数列，因此，所以；
若选③，当时，，即.
又因为，所以.
当时，有，，
所以，即.
又因为，所以，所以是以2为公差的等差数列，
所以.
（2）若选①，由（1）可知，
；
若选②，由（1）可知，
；
若选③，由（1）可知，
.
1．已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，.
(1)求和的通项公式；
(2)若，求
【解析】（1）设数列的公比为，依题意，，
由是递减数列，解得，因此；
数列，，当时，，
而满足上式，因此，
所以的通项公式为， 的通项公式为.
（2）当n是奇数时，，则，，
两式相减得：，
因此；
当n是偶数时，，
则，
所以.
【热考点六】数列性质综合
【典例6-1】（多选题）（2024·高三·重庆·期末）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．满足的最小值是14
C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项
【答案】ABD
【解析】由可知．
对于选项A：由为负，为正可知，最小，A正确．
对于选项B：，
则满足的最小值为14，满足的最大值是13,故B正确，C错误．
对于选项D：由为负，为正，且为负，为正可知：
为负．考虑到，故最大，即最小，正确．
故选：ABD
【典例6-2】（多选题）（2024·高三·甘肃白银·期末）已知数列满足：，则下列说法不正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．存在，使得
C．存在，使得 D．存在，使得
【答案】ABC
【解析】因为，则，可得，
由可得，则，则，
设函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，，
因为，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，
故数列为递增数列，A错，B错，C错；
因为，则，
，
因此，存在，便得，D对.
故选：ABC
解题时，首先要深刻理解等差、等比数列的基本概念和性质，并熟练掌握常用的方法和技能。对于复杂的数列问题，要学会将大问题分解成小问题，运用函数与方程的数学思想处理数列问题。同时，要善于运用猜想与归纳等数学思想，将实际问题或非分等比等差问题转化为等比等差问题处理。此外，数列与不等式、函数、解析几何等知识的交汇也是常考点，需要灵活运用相关知识和方法。总之，解决数列性质的综合问题，需要综合运用多种数学思想和方法，加强解题反思，提高运用知识解决问题的能力。
【变式6-1】（多选题）（2024·广东·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．
B．
C．当时，取得最小值
D．记，则数列的前项和为
【答案】BCD
【解析】由题意可设公差为，则有
由有：，故A错误；
故B正确；
，由二次函数的性质可知：
当时，取得最小值，故C正确；
因为，
所以
所以为等差数列，公差为4，首项为，
所以的前项和为：故D正确.
故选：BCD.
【变式6-2】（多选题）（2024·四川眉山·一模）已知数列满足，，且，则（ ）
A． B．
C．当时， D．
【答案】ACD
【解析】对于B，由，
得，
即，整理得，
当时，，
满足上式，因此，B错误；
对于A，，即，又，解得，A正确；
对于C，当时，，又，因此，即，C正确；
对于D，由，得，又，，
因此，令函数，求导得，
函数在上单调递增，，即，
因此，即，D正确.
故选：ACD
1．（多选题）已知等差数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当或10时，取得最大值 B．
C．成立的n的最大值为20 D．
【答案】AD
【解析】因为，则，
且数列为等差数列，则，
可得，即，
又因为，可知：当时，；当时，；
对于选项A：由可知，所以当或10时，取得最大值，故A正确；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：由的符号性可知：①当时，单调递增，则；
②当时，单调递减；
且，可知：当时，；当时，；
所以成立的n的最小值为20，故C错误；
对于选项D：因为，所以，故D正确；
故选：AD.
