专题13 立体几何中的外接球、内切球及棱切球问题（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 2
【热考考点】 3
【热考点一】正四面体外接球 3
【热考点二】三棱锥对棱相等外接球 4
【热考点三】直棱柱外接球 5
【热考点四】直棱锥外接球 5
【热考点五】正棱锥与侧棱相等模型 6
【热考点六】垂面模型 7
1、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
一、单选题
1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
三、填空题
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
6．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
7．（2023·全国·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
【热考点一】正四面体外接球
【典例1-1】已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知正四面体的外接球的体积为， 则该正四面体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．正四面体的棱长为，是棱的中点，以为球心的球面与平面的交线和相切，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【热考点二】三棱锥对棱相等外接球
【典例2-1】四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】在四面体中，三组对棱棱长分别相等且依次为，，5则此四面体的外接球的半径为（ ）
A． B．5 C． D．4
【变式2-1】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【热考点三】直棱柱外接球
【典例3-1】将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】在直三棱柱中，底面满足，，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【热考点四】直棱锥外接球
【典例4-1】已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
1．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若三棱锥（以为顶点）的侧面积为6，则球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【热考点五】正棱锥与侧棱相等模型
【典例5-1】已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知三棱锥，，，，，三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
1．某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【热考点六】垂面模型
【典例6-1】如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
1．在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【热考点七】二面角模型
【典例7-1】已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是
【典例7-2】已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【变式7-1】如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 .
【变式7-2】已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .
1．在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 .专题13 立体几何中的外接球、内切球及棱切球问题（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 2
【热考考点】 10
【热考点一】正四面体外接球 10
【热考点二】三棱锥对棱相等外接球 14
【热考点三】直棱柱外接球 17
【热考点四】直棱锥外接球 23
【热考点五】正棱锥与侧棱相等模型 28
【热考点六】垂面模型 34
1、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
一、单选题
1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
三、填空题
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
6．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
7．（2023·全国·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 A C C ABD
1．A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
2．C
【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，
当且仅当即时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，
(当且仅当，即时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高.
故选：C．[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，
，，单调递增， ，，单调递减，
所以当时，最大，此时．
故选：C.
【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
3．C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
4．ABD
【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，
所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；
对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
可知，则，
即，解得，
且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，
可知：，则，
即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；
故选：ABD.
5．2
【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.
【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，
设的外接圆圆心为，半径为，
则，可得，
设三棱锥的外接球球心为，连接，则，
因为，即，解得.
故答案为：2.
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；
（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；
（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；
（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；
（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
6．
【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.
【详解】设球的半径为.
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；
分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，
连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.
综上，.
故答案为：
7．12
【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.
【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，
由题意可知，为球心，在正方体中，，
即，
则球心到的距离为，
所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，
所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.
故答案为：12
【热考点一】正四面体外接球
【典例1-1】已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接.
在中，.易知点为等边的中心，
所以.
易知，所以.
所以，点即为球心，球的半径为，
表面积为.
故选：D.
【典例1-2】小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，
O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上，
则，则，
即得，所以，
又设正四面体外接球的半径R，
则，即，即得，
故外接球体积为.
故选：C．
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
【变式1-1】已知正四面体的外接球的体积为， 则该正四面体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正四面体的外接球半径为，则， 解得，
将正四面体放入正方体中，设正方体的棱长为，如下图所示：
则，所以，，故该正四面体的棱长为.
故选：C.
【变式1-2】已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，是正四面体的高，是外接球球心，设外接球半径为，
∵正四面体棱长为，∴，，，，
由得，
解得，∴．
故选：D．
1．正四面体的棱长为，是棱的中点，以为球心的球面与平面的交线和相切，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点在平面内的射影为点，则为的中心，
取的中点，连接，则，取线段的中点，连接，
因为、分别为、的中点，则且，
因为平面，则平面，因为平面，则，
正的外接圆半径为，，
所以，，
易知球被平面所截的截面圆圆心为点，且，故，
因为为等边三角形，为的中点，则，
因为以为球心的球面与平面的交线和相切，则切点为点，
则球的半径为，
因此，球的体积是.
故选：D.
【热考点二】三棱锥对棱相等外接球
【典例2-1】四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，
可将其补为一个三个面上对角线分别为，，5的长方体，如图所示：
长方体的三边长分别为2，3，4，
长方体的外接球即是四面体的外接球，四面体的外接球的半径为，
四面体的外接球的表面积为：，
故选：．
【典例2-2】在四面体中，三组对棱棱长分别相等且依次为，，5则此四面体的外接球的半径为（ ）
A． B．5 C． D．4
【解析】四面体中，三组对棱棱长分别相等，
故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为，，5的长方体，
则其外接球的直径，
则
故选：．
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
【变式2-1】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，
可得长方体的三条对角线分别为，2，，
即，，，
解得：，，．
外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．
故选：．
【变式2-2】在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，
则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，
，
三棱锥外接球的直径为，
三棱锥外接球的表面积为．
故选：．
1．在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：如下图所示，
将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，
由勾股定理得，
上述三个等式全加得，
所以，该四面体的外接球直径为，
因此，四面体的外接球的表面积为，
故选：．
【热考点三】直棱柱外接球
【典例3-1】将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
若将这2个直三棱柱合成1个高为4的直三棱柱，
则底面正三角形的外接圆半径，
所以其外接球的半径为；
若将这2个直三棱柱合成1个高为2的直四棱柱，
则底面为边长为2，锐角为的菱形，
则底面菱形的外接圆半径，
所以其外接球的半径为．
故该球体的体积的最小值为．
故选：A.
【典例3-2】已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
过点作于点，连接，
因为三棱柱为直三棱柱，
平面，
又平面，
，
，，平面，且，
平面，
平面，
，
易知，，
，，
，
则，
设外接圆圆心为，外接圆圆心为，
则，即，
且三棱柱外接球球心为中点，
则外接球半径，
表面积为，
故选：.
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【变式3-1】在直三棱柱中，底面满足，，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.
本题中，将直三棱柱放在圆柱中，如下图所示：
设，因为，则，
则的外接圆直径为，，
设，则，可得，
，
令，其中，则，
当时，，此时，函数单调递减，
当时，，此时，函数单调递增，
所以，，即，
故该三棱柱外接球的表面积，
故选：A.
【变式3-2】已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径，
所以球O的半径，故球O的表面积为．
故选：D
1．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设正六棱柱下底面的中心为，其外接球的圆心为点，
则，为等边三角形，
故，即为其外接球的半径，
所以，
所以该正六棱柱的外接球的表面积为.
故选：B.
【热考点四】直棱锥外接球
【典例4-1】已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，，
则的外接圆的半径，
因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为，
则，
则三棱锥的外接球的表面积为．
故选：B．
【典例4-2】已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，所以，
取中点，则是的外心，
又，所以点在底面上的射影是的外心，即为，
所以平面，因此外接球球心在上，的外接圆就是球的大圆，
，所以，
，，这就是外接球的半径，
外接球表面积为，
故选：C．
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
【变式4-1】已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，底面的外接圆半径，
又平面，且，则三棱锥的外接球半径，
所以外接球表面积为.
故选：B
【变式4-2】三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的外接圆圆心为，过点作底面，
为三棱锥外接球球心，设该球半径为，
由平面，则，连接、、，
由是正三角形，，故，
由，，则，
故有，
故该球的表面积.
故选：D.
1．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若三棱锥（以为顶点）的侧面积为6，则球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知平面，，所以三棱锥的外接球，即为以为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球，
所以外接球半径，其中，
令，，则三棱锥（以为顶点）的侧面积为，
所以，
所以，
又因为，即，
所以，所以，
又因为，所以，当且仅当时，，
所以当，即时，，
此时球的表面积的取得最小值为.
故选：B.
【热考点五】正棱锥与侧棱相等模型
【典例5-1】已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上.
设正三棱锥的高为，外接球的半径为，
由，可得正三角形的面积为，
所以，解得.
球心到底面的距离为，
由，得，
所以外接球的表面积为.
故选：D.
【典例5-2】已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设的外接圆半径为，因为，，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，所以，
记的外心为，连接，，，则，
取，的中点分别为，，则，，
又因为，可得，，
因为，，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又因为平面，平面，
所以，，
因为，平面，
所以平面，可得，
由题意可得外接球的球心在上，或在的延长线上，设外接球的半径为，
则球心到的距离为，
则有，解得，
所以球的表面积，
故选：A.
1、正棱锥外接球半径： ．
2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
【变式5-1】已知三棱锥，，，，，三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，即，则，
可知的外接圆圆心为斜边的中点，
又因为，可知点在底面的投影为的外接圆圆心，
可得，
则三棱锥外接球的球心，设外接球的半径为，
可得，解得，
所以外接球的表面积为，
的面积为；
的面积为；
的面积为；
所以三棱锥的侧面积为，
所以三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为.
故选：A.
【变式5-2】已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h，
由题意得，，解得，
该三棱锥为正三棱锥，,
，，
令 ，
由，可得或（舍去），
当时，，当时，，
在 单调递增，在单调递减，
，.
故选：B
1．某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设该正六棱锥的高，侧棱长为，设该正六棱锥外接球的半径为，如图，
因为正六棱锥外接球的表面积为，
所以有，
因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，所以，
设，在正六边形中，因为正六边形边长为，所以，
在中，由余弦定理可知，
在直角三角形中，，
所以有，
由勾股定理可知，
因为，所以，
因此有4，而，所以，
该正六棱锥的体积，
，当时，单调递增，
所以，，
因此该正六棱锥的体积的取值范围是，
故选：C
【热考点六】垂面模型
【典例6-1】如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设中点为，连接，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，，
所以，，
过点作，
因为平面平面，平面平面，平面，平面
所以平面，平面，
所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为，
则由得，由得，
又因为，
所以为等腰直角三角形，
设球心为，中点为，连接，
则，
所以，
即，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C
【典例6-2】在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取的中点，连接，，
因为，，所以，
因此点就是三棱锥的外接球球心，
在平面内过点作，为垂足，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
设球半径为，则，
又，则，
因为，，，
所以，
所以，
所以三棱锥的体积，
所以，所以球的体积为．
故选：C．
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
【变式6-1】在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点在平面内作作，垂足点为，
取线段的中点，连接、，如下图所示：
因为，，则，
所以，三棱锥的外接球的球心为中点，
因为平面平面，平面平面，，
平面，则平面，
设球的半径为，则，
又，，所以，，，，
所以，，
所以，三棱锥的体积为，
解得，因此，球的表面积为.
故选：A.
【变式6-2】在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
【答案】B
【解析】在中，，则，中点为的外心，
于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC，
平面平面，平面，则平面，，
令正的外心为，则为的3等分点，，
又平面，则，而，则四边形是矩形，
，因此球O的半径，
所以球O的表面积为.
故选：B
1．在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，取的中点，连接，，
因为，，所以，因此点就是球心，
又，故是等腰直角三角形，所以．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
设球半径为，则，，
又，则，
所以三棱锥的体积，
所以，所以球O的表面积为．
故选：D．
【热考点七】二面角模型
【典例7-1】已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是
【答案】/
【解析】
如图，取中点，连接，
因，则，且，
又二面角的平面角为 60°，即， 故 是等边三角形，
分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点，
则点为四面体的外接球的球心，
由已知可得，
连接，易得，故得，，则，
在中，，
故该球的表面积是.
故答案为：.
【典例7-2】已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，∵，即，∴.
∴球心在过的中点与平面垂直的直线上，
同时也在过的中心与平面垂直的直线上，.
∴这两条直线必相交于球心.
∵二面角的大小为，
易知，，
，，
，
∴三棱锥的外接球的半径为.
∴三棱锥的外接球的体积为.
故答案为：
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
【变式7-1】如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 .
【答案】/
【解析】取和的中点分别为，，过点作面于点，
连结，，,平面,故，
又，则又平面,
故平面，平面，故
则为二面角的补角， ，
因为，，则，且，
易知，
因为为等腰直角三角形，所以是的外心.
设三棱锥的外接球的球心为，则面，易知，
作，易知为矩形，，
设，，则在中，，
且中，，解得，
所以外接球表面积为.
故答案为：.
【变式7-2】已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】将沿折起后，取中点为，连接，，
则，，
可知即为二面角的平面角，即；
设，则，
在中，由余弦定理可得：，
即 解得，
即，可得，
所以与是边长为的等边三角形，
分别记三角形与的重心为、，
则，；；
因为与都是边长为2的等边三角形，
所以点是的外心，点是的外心；
记该几何体的外接球球心为，连接，，
根据球的性质，可得平面，平面，
所以与都是直角三角形，且为公共边，
所以与全等，因此，
所以；
因为，，，平面，
所以平面；
又平面，所以，
连接，则外接球半径为，
所以外接球表面积为.
故答案为：.
1．在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】/
【解析】设中点为，外接圆圆心为，球心为，因为，所以，
又是边长为2的正三角形，所以，结合题设有，
所以，得到，所以是等腰直角三角形，其外接圆圆心为，
又因为，所以为二面角的平面角，结合已知该角为锐角，
由题意可知，，过，分别作平面，平面的垂线，相交于一点，
由截面圆的性质可知，两垂线的交点为球心，如图所示，
所以，，得到，
又易知，，所以，
所以外接球半径，
所以外接球表面积，
故答案为：.
