专题14 直线与圆及圆与圆（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 3
【热考考点】 16
【热考点一】直线的方程 16
【热考点二】圆的方程 20
【热考点三】直线、圆的位置关系 25
【热考点四】圆的动点与距离问题 28
【热考点五】阿式圆 31
【热考点六】圆的数形结合 36
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，
则圆心距d＝|C1C2|＝.
则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 外离 内含 相交 内切 外切
圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－2|图示
公切线条数 4 0 2 1 3
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·.
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
8．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
9．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
11．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
13．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
14．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
15．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
16．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D C C D B A
1．C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，的最小，
此时.
故选：C
2．D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
3．C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.
故选：C
4．C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
5．D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
6．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.
7．A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
8．/
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.
【详解】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
9．
【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
10．（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
11．
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
12．
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
13．
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
14．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
15．或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
16．或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
【热考点一】直线的方程
【典例1-1】已知，，若的平分线方程为，则所在直线的一般方程为 .
【答案】
【解析】直线的斜率，其方程为，即，
由，解得，令，
依题意，的平分线为直线，
由正弦定理得，
由于，由此整理得，
则，设，则，
整理得，解得，则，，
直线的方程为，即.
故答案为：
【典例1-2】光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】如图，入射角，设折射角为，，，
则，，
所以，则，，
所以，且.
该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为，
则其所在直线的斜率为
，
直线的方程为，整理得.
故答案为：
1、已知直线，直线，则，且(或)，.
2、点到直线(A，B不同时为零)的距离.
3、两条平行直线，(A，B不同时为零)间的距离.
【变式1-1】已知过原点的直线与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心，半径
直线截圆所得弦长，则弦心距
当过原点的直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1，不符合题意要求；
当过原点的直线斜率存在时，的方程可设为，
由，可得，此时的方程为
综上，直线的方程为.
故答案为：.
【变式1-2】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ．
【答案】
【解析】设点关于直线的对称点为，则解得
所以．又点，
所以，直线的方程为，
由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为．
故答案为：.
1.过定点A的直线与圆交于B，C两点，点B恰好为AC的中点，写出满足条件的一条直线的方程 ．
【答案】或
【解析】由直线，整理可得，当时，故直线过定点，
设，则，
由在圆，则，整理可得，
联立可得，消去可得：，解得或，
当点的坐标为，由两点式方程，可得，整理可得，
当点的坐标为，由两点式方程，可得，整理可得，
故答案为：或
【热考点二】圆的方程
【典例2-1】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设该圆的半径为，如图，
由题意知：，，，
由勾股定理得：，即，解得：，
，即圆的圆心为，则圆的方程为.
故选：A.
【典例2-2】过点引圆：的两条切线，切点分别为，．若，则过，，三点的圆的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由，得，可得圆心，半径．
由，得，所以，
故，即，
解得或，则或，
根据，，故四点共圆，且为直径，
所以线段的中点为或，且，
所以过，，三点的圆的方程为或．
故选：C．
1、圆的方程
（1）圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
（2）圆的标准方程
设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
（3）圆的一般方程
圆方程为，圆心坐标：，半径：
【变式2-1】已知直线l与抛物线交于A，B两点（B在第一象限），C是抛物线的准线与直线l的交点，F是抛物线G的焦点，若，则以AB为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得抛物线的焦点为，焦准距，
设准线与x轴交与点D，设，
设的中点为，
过点作准线的垂线，垂足为，
设，由可得，
由抛物线定义得，
由于，故，则,
则直线AB的倾斜角为，
故，即，故，
设，则，
则，故，
则，即，
又由可知直线l过抛物线焦点，
故l方程为，将代入得，
即的中点，，
故以AB为直径的圆的方程为，
故选：D
【变式2-2】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，
于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，
则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为.
故选：B
1.已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.
故选：C.
【热考点三】直线、圆的位置关系
【典例3-1】若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由知直线过定点，
由曲线，两边平方得，
则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），
当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，
此时，解得，
当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心到直线的距离，解得，
要使直线与曲线恰有两个交点，
则直线夹在两条直线之间，因此，
即实数的取值范围为.
故选：B.
【典例3-2】在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，
所以不等式组表示的区域是圆与圆公共的内部区域，
画出图象如下图所示，，两圆半径都是，
设两个圆相交于两点，则，
由于，，
所以是圆的切线，是圆的切线，
同理是圆的切线，是圆的切线，
，所以四边形是正方形，
所以区域面积为.
故选：D
1、直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
2、圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
【变式3-1】设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离均为2，则实数（ ）
A． B．1 C．21 D．31
【答案】D
【解析】的圆心为，半径为
若圆上恰有三点到直线的距离均为2，则圆心到直线的距离为
解得或，
由于直线不经过第三象限，则直线与轴的交点，
故，
故选：D
【变式3-2】已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：，所以圆心，半径，
由两圆相交于、两点可知：，
所以的面积，
因为是半径为的圆，所以，
当时，，
又，
此时由，解得，，故可以取最大值，
所以当时，最大，且是锐角，
根据函数的单调性可知：当时，最大，
在中由余弦定理可得：，
所以，所以，
故选：C.
1.设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆，其圆心为，半径为．
因为圆上恰有两点到原点的距离为1，所以圆与圆有两个交点．
因为圆心距为，所以，解得．
故选：B
【热考点四】圆的动点与距离问题
【典例4-1】若实数、满足条件，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，可得，
则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
即的取值范围是.
故选：B.
【典例4-2】已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是 ．
【答案】
【解析】设点，则，而，
则，整理得，即点的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆，
因为点在圆，即圆与圆有公共点，
而圆的圆心为，半径为1，
因此，即，解得或，
所以实数a的取值的范围是.
故答案为：
解决与圆相关的长度或距离的最值问题，通常的策略是根据所涉及的长度或距离的几何定义，借助圆的几何特性，通过数形结合的方法来寻找解答。
【变式4-1】已知点是圆上一点，则的范围是 ．
【答案】
【解析】由，得，
所以圆心，半径为1，
表示圆上的点到直线的距离的2倍，
因为圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最小值为1，最大值为3，
所以的最小值为2，最大值为6，
所以的范围为，
故答案为：.
【变式4-2】已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为 ，最小值为 ，的范围为 ．
【答案】 64 4
【解析】由圆C的圆心为，半径为3，且P在圆上，
则表示在圆上点到距离的平方，
而圆心到的距离为，
所以在圆上点到距离的最大值为8，最小值为2，
故的最大值为64，最小值为4；
又表示在圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为，
所以的范围为.
故答案为：64，4，
1.已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
【答案】1
【解析】联想数量积公式，
得，
记，，则z为向量，的夹角余弦值的倍，
且由题意点B在以为圆心，1为半径的圆上，
如图所示，
若与的夹角余弦值要取得最小值，
则与的夹角需取得最大值，
由图像可知，当时，与的夹角最大，
代入上式可得，此时．
故答案为：1.
【热考点五】阿式圆
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】设，不妨取，使得，
则，
整理得，
此方程与相同，
所以有，解得，
所以，
所以，当且仅当在线段上时，取等号.
因为，所以在圆内；
，所以在圆外；
所以线段与圆必有交点（记为），
当重合时，，为其最小值，
故选：C.
【典例5-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设，
则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”．特殊地，当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
【变式5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 .
【答案】
【解析】设，则，
整理得（或）.
设，则，
故
.
令，则=.
故答案为：；
.
【变式5-2】已知实数满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，
所以
，
则，
相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图，
因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求，
所以所求最小值为.
故答案为：.
1.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为 .
【答案】 或（）
【解析】设，由得，
化简得，
抛物线的焦点为，，
，
，
易知当四点共线时，取得最小值为，
所以的最小值是．
故答案为：；．
【热考点六】圆的数形结合
【典例6-1】过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆的圆心为，
由图知，当直线关于直线对称时，与直线垂直.
(理由：设直线切圆于点，易得平分，
又直线关于直线对称，故直线平分的邻补角，故可得)
故直线的方程为，即，
由解得：，即点的坐标为.
故选：B.
【典例6-2】已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的圆心，半径，
由直线上存在两点，使得成立，
得以为直径的圆与圆有公共点，当长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图，
圆心到直线的距离，
所以.
故选：A
利用几何意义转化
【变式6-1】已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直线的方程可化为，由可得，
所以，直线过定点，
直线的方程可化为，由可得，
所以，直线过定点，
对于直线、，因为，则，即，
设线段的中点为，设点，
由直角三角形的几何性质可得，
即，化简可得，
所以，点的轨迹为圆，
因为，所以，圆与圆外离，
所以，，，
因此，的取值范围是.
故选：B.
【变式6-2】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将圆化为标准方程为，
所以圆心为，半径为1，
根据题意及图形可知切线的斜率存在，
设切线的方程为，即，
则有，整理可得，
则，
设两切线的斜率分别为、，
则、为关于的方程的两根，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，
由题意可知，所以，
由，解得．
故选：D．
1.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】由题意知直线与直线，满足，
故两直线垂直，
直线过定点，直线过定点，
故两直线的交点P在以AB为直径的圆上（不含点），
该圆方程为，设其圆心为，半径为3，
则，当且仅当共线时，即位于B点时，等号成立，
故的最小值为，
故选：C专题14 直线与圆及圆与圆（新高考专用）
目录
【知识梳理】 2
【真题回顾】 3
【热考考点】 4
【热考点一】直线的方程 4
【热考点二】圆的方程 5
【热考点三】直线、圆的位置关系 7
【热考点四】圆的动点与距离问题 7
【热考点五】阿式圆 8
【热考点六】圆的数形结合 9
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，
则圆心距d＝|C1C2|＝.
则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 外离 内含 相交 内切 外切
圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－2|图示
公切线条数 4 0 2 1 3
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·.
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
8．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
9．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
11．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
13．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
14．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
15．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
16．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【热考点一】直线的方程
【典例1-1】已知，，若的平分线方程为，则所在直线的一般方程为 .
【典例1-2】光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .
【变式1-1】已知过原点的直线与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
【变式1-2】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ．
1.过定点A的直线与圆交于B，C两点，点B恰好为AC的中点，写出满足条件的一条直线的方程 ．
【热考点二】圆的方程
【典例2-1】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】过点引圆：的两条切线，切点分别为，．若，则过，，三点的圆的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式2-1】已知直线l与抛物线交于A，B两点（B在第一象限），C是抛物线的准线与直线l的交点，F是抛物线G的焦点，若，则以AB为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
1.已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【热考点三】直线、圆的位置关系
【典例3-1】若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离均为2，则实数（ ）
A． B．1 C．21 D．31
【变式3-2】已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
1.设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【热考点四】圆的动点与距离问题
【典例4-1】若实数、满足条件，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是 ．
【变式4-1】已知点是圆上一点，则的范围是 ．
【变式4-2】已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为 ，最小值为 ，的范围为 ．
1.已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
【热考点五】阿式圆
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【典例5-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 .
【变式5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 .
【变式5-2】已知实数满足，则的最小值为 .
1.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为 .
【热考点六】圆的数形结合
【典例6-1】过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
1.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
